книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

Учитывая,

что

_

П !+ 2

gs (s0, Л (s0). У (So)) =

-

4^гУ

2

(s0),

в силу формулы

(III.50)

окончательно получаем

( д г .'

=

~

1

(s) Л.1 (s0, s)

ds,

(111.51)

Ш

]

х'

о

g f)

=

-

J

X' (s) Ав (s0,

s) ds,

(111.52)

гд е

//.! (s0, S )

=

1

■*' (s0)

!h (s0, 5)

---------------

+ y"‘y'~ (s0)

i

t

x ’~(so)

Til+2

+

j As (£, s)

^Г+

2

У 2

(0

&

(*, -V'

(s0),

у (s0))

x

m + 2

m +2

m +2

m +2

X

У 2 (О—У 2

Ы

у 2

( 0 4 - у 2 (S o)

г2

“

г?

( 1 - p 2) - 1

Aj (£,

х ( s0), )/

(’ s0))

dt,

l

Г

m_

m+2

h-o (s0, s) = j A3 (*,

s) I 2y

2 (s0) y ~ ( t )

g 2 [t, x (s0), у

(s0) ) X

А а ( Л ^ ( s 0 ) , y ( s 0) )

a t f -

2

У СТЫ

y ' (S q)

h3 (s0) s).

■*'2 (s„) +

ym (s0) v'2 (s0)

Теперь необходимо

вычислить

производную

функции Т ( х 0,у 0)

по направлению внутренней

нормали в точках

дуги о, и выяс­

нить поведение этой производной в точках А и В-

Имеем

дТ

/

А-g (х, 0; *о, у0)

d x

дх0

^ >

ду дх0

-1

(III.53)

дТ

- ( г \ д2°

(■*• о; -*«» уо)

j ..

дуя

w

а х

-1

dG0 (х, 0; хп, уо)

- * о Г

4

о т + 2 3 - 1

ду

{тп +

2)2 у 0

?-1

дТ

дТ

,

, .

дТ

.

ч

—n = WQC0S («,-*o) +

^ c o s ( « ,

У0)

всюду на а, удовлетворяет условию Гельдера.

Таким образом, предельные значения производных

функции

z (x о, у0) на дуге а,

найдены.

Подставляя эти

производные в ус­

ловие

(III. 14),

получаем

—=-------Х

' „/2 , о у

[У (so)] +

j ш/ [У (S)] [Д1 (so>s)

+

х'~ («о) + У

(So) У " (So)

где

- Г

>h (s0, s) +

f h

(C„, s)] ds —

© * (s0),

(III.54)

m+ 2

n, (s0, s) =

4/ (s) у

2

(s) g, ( s, x (s0), у (s0)) X

m +1

m +2

m

2/

(So) (1 -

p2) - 1

У 2 (»>

- У

2 (s»)

+

X' (s0) у 2 (s0) x w

~

X ...

■ r> V

Г '

r2

тп + 2

ш. + 2

«2 (So, s) =2 -

— Р 2- У '

(s0) y' (s) у

2 ~~(s) g 2(s, X (s0), у (s0)) X

от +2

m+ 2

x

( l —

p2 ) - 1

у

2 ( s )

+ У

2 (So)

)

dn =>,

* '2 (so) + 3’"' (so) у'2 («о)

+ \ f (s)

[«. (So. s) + Ho (s0, s) + /z3(s0, s)] flfs.

0

Ядро щ (s0, s) всюду

на а, является сингулярным,

а п2(s0, s)

регулярно за исключением точки А, где оно имеет

особенность

первого порядка. Из выражения функций,

входящих в a-- (s0, s),

следует, что ядро я3 (s0 s) фредгольмово. Для

приведения уравне­

а se=) сначала разобьем

интеграл по а на два интеграла: от 0 до

и от 4 р

до

/. В силу условий, наложенных на кривую а,

интег­

рал от 0

до

можно

преобразовать

в интеграл от

до I

заменой

s=a.(t), где se

(О, А Д

А

9

+ П-1 (S0, S) + ll3 (S0, s) +

[л , (s0, a (s ))

+

п2 (S0, a. (S)) +

+

П3 (s0, a (s ))]

a'

(s)} ds =

<p* (S0).

Положив s = A -0,

s0 = -A 0O

и

произведя

некоторые простые

ш' [У («о) ] + J N (s0, s) о/ [у (s)l

ds = F (s0).

(111.56)

2/2

Как и в случае нормального контура о0, выражения ядра

N(s0,s)<

и известной функции F (s0) можно легко

выписывать. Принимая

(III.8) решений уравнения

(III.1), не ограничивая общности, про­

извольную функцию си(у)

можно подчинить условиям

(d (TV) = о/ (0) = 0 .

(111.57)

дг

дг

= — со' (у) COS (я, у). (III.58)

4 , = - ш(у )> ду

= о. dn

Ав

“1

Д = — ш(у),

д г

= -

- ж = — с«' (у) cos (п, у).

(III.59)

ду

лв

В силу (III.9),

(III. 10),

первого и третьего из условий (III.59)

функ­

вой а. Необходимо показать, что

функция z (х, у) не достигает

экстремума и на отрезке АВ. Если и/ (0) = 0,

то наше последнее

утверждение будет очевидным и,

как уже было доказано,

задача

А * имеет единственное решение.

Рассуждая

точно так же,

как

в работе [13[, легко доказать, что

величина и/ (0) не может быть

отличной от нуля.

Пусть «/ (0) ф 0.

Тогда

возможны два случая:

1)

ш' (0) > Q.

Нетрудно

заметить,

что функция z(x, у)

не

может

достигать

отрицательного

минимума

на отрезке

АВ. В

противном случае в некоторой точке

(S, 0),

0 < £ < 1,

получим

неравенство -0 - =

— о/ (0) <

0,

что

невозможно,

так

как

в

•случае

минимума

Следовательно, в замкнутой области

Д min г (х, у) = 0,

т.

е. z (х, у ) > 0 в Д . Отсюда

на основании

первого из условий

(III.59;

ш (у )<;0.

Таким

образом,

так

как

ш(0) =

0, то со' (0) <

0. Это неравенство противоречит допущению

•ш' (0) >

0;

В этом случае,

рассуждая так же,

как

и выше,

2)

и/ (0) < 0.

убеждаемся, что функция z (х, у)

не может

достигать

положи­

тельного максимума на отрезке АВ.

Следовательно, max z (x ,y )= 0

в Д , т. е. z (х, у ) < 0 всюду в Д .

Вейлу условия z|a= —ш(у )-<0

получаем,

что ш (у )> 0 . Отсюда

на

основании <о (0) =

0

имеем

•ш' (0)

0,

что противоречит допущению и/ (0) < 0. Итак, ш' (0) = 0.

Z ( * 0. Уо) =

— | v (t) G*

-*o, Уо) d t —

l

-1

- J {/ (*) -

ш [y (s)] } л , [G* (?(s), V](s); X0, y0) ] ds,

(III.60)

U

где на этот раз функция Грина имеет вид

G* (х, у;

jc0, Уо) = g *

{х,

у; х 0,

у0) +

Ь* {х, у; х 0, у0),

g* (■*, у ;

* 0> Уо) =

р, р, 2Р, 1 -

1 /

4

\2РР (Р )

4л I т + 2 I

Г (2р)

а функция

(х, у;

;с0,

у0) — регулярное решение

уравнения

(III. 11), которое определяется,

как и в случае задачи А,

с помощью

потенциала двойного слоя,

т.

е.

i

(•*, У; х

у ) =

J ц* (t, х

у0) At [g*

(6 (t), т) (0;

у) 1 dt,

о

(III.61)

i

P* (s, * 0, Уо) -

2 j

AT* (s, 2f) JJ.* (t, x 0, y0) dt =

2g*

(6 (s), v; (5), * 0, Уо),

(III.62)

где

•AT* (s, 0

=

Л

(* ( 0 ,

ч ( 0 ; ■* 0s),

y (s )) ].

Р* (s, х 0,

y0) = 2g* ( х (s), у (s); х 0, у0) +

i

+ 4 J R* (s,

t, 2) g * (6 (О, V (t); х 0, уо) Л .

(Ш.63)

5-11

65

^ ( S ’ - W o ) = 2 A

S k

S ( s > * o > y 0)J

+

l

+ 4 j * * ( * . S>Z) At [g* (t, x v

y0)

] dt,

Тогда

g *

(s. x 0, Уо) = g *

(x (s),

У (s);

X0, y„).

(III.64)

As

[ 0 *

(x

(s), у (s); x 0, уо)] =

[i* (5, л'0, y0).

(III.65)

В силу (III.65)

и (III.64) формулу (III.60)

можно записать так:

1

г (-«о. Уо) = — J v (О G* (t , 0;

у0) dt —

I

-1

- 2 j {/(s) -

со [ у (s)] }

[ g* (5,

jc0, у0)] ds -

-

4 J {/(s) - ® [y (s)] }

/?* (t, s, 2) Л,

[g* (*, jc0> y0) ] dt J ds.

(III.66)

Производная

As

|g* (x (s),

у (s); „v0, y0 j j

легко вычисляется и ее

можно представить в виде

As

[ г * (* (s ).y (s ); ^о*У0) ] =

где

=

(s >* 0>Уо) +

* 2

( S>-*0. Уо) Р

(5>* 0’ У0) .

m-rl

& (s- *о> Уо) =

-

ё

(*. * 0- Уо)

йгЬ -

У' (s) у"’ * ( х

-- Х о )

т + 2 /

т + 2

т

т

тп+ 2

Й (». V

Уо = --- f (

2

2

-

Л ,

Р. Р. 2 Н - 1. 1

Л* (5, * 0,уо) Н ~ Т -- V

4

от+1

ЙГ+1 Г у

у ' ( * ) ( * - * 0) +

+

х ' (s) (х -

хоу +

{т^ 2)-3-X'(S) (у ” +2

-

ут+ 2^

Теперь остается реализовать последнее из условий (Ш.З),

т. е.

az

= c? (S0) - ш ']у (So)jCOS ( ll, у).

(III.67)

д п

*'

(Sp)

[ y ( so)] +

J “'[y (s)] [ M

v

s) +

til

У2 (So)

о

+

tl2 (s0, s) +

nz (s0, s) Jflfs = C? (Sg),

(III.68)

где

m-4-2

th (50,S) =

/

(S>

У

* (S) d

(s> •* (*„ ). У ( S0) )

X

w+2

2

X

2y' (s0)

у

2

(s) — у

2

(sn)

(«о) У 2 (s0)

m+ 2

r3

(1 — P2) -1 +

X

X (s)

— X ( S (i)

* '2 (So)+ ym(s0) / 2 (So)

X

r3

У 2 (s0)

16

m-f2

n,2( so- *) = ~

2

( s ) ( l - p 2)

^ (

s

,

*

( s

0).

-(m+- 2)V У ' (■s) /

( s0) У 2

m+ 2

m+2

У (Sp))

X 2 (sq) + ym(s0) y '2 (s0)

у 2

(s) +

y

2

(Др)

,

У 2 (So)

+

4 М /

(s) / (Sg) -

< 2 fa) + У" (So) y,2(s0)

x

у2 (So)

s

(0 ym{i) ( rl )~P_1 -P(p, p„ 2P, 1 -

X

j y'

P2) ^ ,

ns(sQ, s) = 2y' (s) -* ■ (S° ^ 2^ J

(So)

{ У' (s0) [^ (s, л: (s0), у (s0j)

+

+

2 \ (s0, s) ]

-

x' (s0)

[ 2 A4 (s0,s) -

7i2 (s ,

x (s0),

у (s0)) Jj,

cp (s0) =

t '

(s0) x ' ( s n) y' (Sg)

0

~

Ут (So)) +

? («о) + X'2(S0) + y m (S0)y'2(Sg)

+ 1

»

dG* ((, 0; лг0, у0)

x'\sq) +

ym(s0) ya (S o )

(О

дп

П1

"T"

-1

У 2 (®o)

+

i

7 1 ^ " ["i (5o. s) + л2(s0t

s)

+

«3 (s0) s)] ds.

Явные

выражения функций

hu lu, !ц и /г5

нетрудно

выписать

они аналогичны выражениям функций Л15 h 2, /г4 и Л5.

Очевидно,”

что ядро пх(s0, s) является

сингулярным, причем если положить

s = — 0 и s0 = —0О, то

7v

U

ГС

,.

I

9 — 0О

Ло.

/0

/00

/О0

lira tg —

х ’2 -)- упу'2

0- 0о

^

7 1 *

Ядро ti з (s0, s)

всюду на а,

может иметь

только интегрируемую

особенность,

а ядро

п2 (s0, s), как

видно

из

его

выражения,

регулярно на дуге а,, за исключением

точки А,

где оно имеет

особенность первого

порядка.

На основании параметрического уравнения нормального кон-

тУРа ао

в окрестности точки А имеем

II со

cos20+ ymsin2 0

dQ,

уШ

dx

/г.

соs О

у2 sin 0

аУ _

ds

cos2 04vm

ds

Учитывая эти формулы и обозначая

через n2x(s0, s)

первое

сла­

гаемое ядра п2(s0, s),

легко

заключаем, что выражение

-

ctg ° -4 ^

/^21

cos20 + утsin2 О

Ут

в точке А будет ограниченным.

_

Выяснение поведения второго слагаемого ядра n2(s0,

s)

в ок-

рестности точки А в силу формулы (III.49) сводится

к

рассмот­

рению интеграла

о

d t =

( r \ f ^

т + 2

2/ (t)

ym(t) In

у 2

( О - у

2

(So)

т +2

т + 2

у—

(0 + y -2- (So)

Г

/

т +2

т +2

\

1 2(Э+2 dt + 0 ( 1).

2

у ~ W + J

2

(So)

j

|_т+ 2 \

Нетрудно

убедиться, что последний интеграл в точке А

имеет

т + 2

гп+2

-1

особенность типа

.У

2

(s) + У

2

Следовательно,

второе

г (So).

_

слагаемое

ядра n2(s0,

s),

которое

обозначим через «22(^0, s), как

■2 - ^ - a j ctg 'Ц р - +

п22(s0.

О + / " s i n 2 О

s) l/ 1

А ( 0 О) Т ( в о )

—

~ 20: 1 !

1 ( в ) ( c t g

—

. 0 +

0,

dG

a C t g

- )

Tt

2

+ К

(

°о> 6)

т (в) dO =

v; ( 0о),

fl = 1 +

f li;

(1П-69)

? 1 ( 6о ) = ? 4 л

•

Уравнение (III.69),

как и в предыдущем

параграфе, ..регуля­

ризацией сводим к уравнению Фредгольма

i

^ [ У ( ® о ) ] +

$ N *(s0, s )w '[y (s )}d s =

F * { s 0) ;

т

Отсюда в свою очередь следует

существование

решения

за­

дачи А.

Следует заметить, что функция

ш(у) находится

с точностью

до постоянного слагаемого, но в

силу условия (ill. 10) это

по­

стоянное слагаемое определяется

однозначно.