книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

2 (/?, е„) = k

R sin e0

j

X(E) [ f ? _

2R\ c o s o0 +

F f - 1-

-

(1 -

2m

cos 60 +

R 2 E2)*-1] d l +

k (m +

4 ) l

m

+ 2

9

^ S i n 0 op \ l - ^ ) j J / ( 6 ) -

m + 2

.

0 V~2P

-s— sm

0 '

л

г

' r

2 ^ 1 -

^

2 -

^

2 -

2?’

0 Г

1 — p2) sin 6d Q ,

(III.35)

P2

/•2

r

2 •

1

Чтобы удовлетворить условию (III. 14),

сначала

вычислим

произ­

водные функции z(R, 0о), определенной формулой

(III.35),

по R

и 60, а затем, предварительно

проинтегрировав

полученные

вы­

ражения по частям, перейдем

к пределу при R

1

' 0О

- j .

В силу (III.14) получим

T(0o)sin0o +

j

?

(0)

[Ж, (0О, 0) +

Ж2(0О, 0)J d0 =

О(0о),

(Ш.36)

где

2

. ,

\ i -2 3

т

+

7

( в о )

=

ш '

—

Sin0o

ж , (0О, 6)=

k (/72 “ Ь

2 )

(//2 +

4 )

(

2

\2 3

Л

г

.

n i

_ 23

ч

4

7п

'

2

Sin в0 cos 0 (sin 0)

‘ X

---------- "---------

х ( f - 1(1 -

р2) - 1

F ( 1 -

р,

-

р,

2 -

2Р, 1

-

Р2 )

(c tg

0

-

(!,,

О-j-0o

c t g -

2

>

м 2(0 О, 0 ) = - —(т + 2H m + 4) я;п 0. (Ц ± 1 Ч1.п fl Г 23

a— 0o

sin 6U

2 sin 6 j

cos 9j|' ^ctg —2

о

-

Ctg

( /’i )3_1 (l

-

p2) _1 J [cos a + 2 (P — 1) r ~2 Sin a X

X

sin (a +

0Q)

— Э г” 4 ( 1 — p2) -1

sin a sin 0O(cos a — cos 0O)J

X

X

F ( l — £3, — p, 2 — 2f3, 1 — p2)

— 4 p r“ 4 sin a sin 0O(cos a —

-

cos 0O) F (2 -

p,

1 -

p, 3 -

2?,

1 -

P2)j da,

sin fJ0 cos 0o ( /w~j~ 2

sin 0,

,2P

m

+ 2

. n VP

-+■—

sin 0,

«(0o) =

cos-10o +

sin2 0o

sin 0o

o)

Ц

1

sin0„

% ( 0 o)

1 ^ / " c o s 2 0o + s i n 2 0o (-m^ 2 s i n 0o

+

s i n

0O l1 , (Q

______ -----------

2

°J

( l - 2

S

c o s e

0 + S

2) 2iZs^ +

-1

(m + 2

c.

,.\2?

—5— sin 0

+ j

/■' /’ON^__£__

l

/

0) +

^ 2

(0o. в)] rf0.

/

(°) -------[ M

(60.

0

В уравнении (Ш.36) ядро M t (0O, 0)

при 0 =

0O обращается в бес-

конечность

первого

порядка,

т.

е.

является сингулярным, а

(“о. ®)> как легко видеть, имеет

слабую

особенность и явля­

ется фредгольмовым

ядром.

В (III.36) интеграл от 0

до тс

разобъем

на две части от 0 до

~2 ~ и от

до тс. В первом из них заменим переменную по фор­

муле

0 = iz — 8u

а затем

вместо 9t будем писать опять 0.

В силу у(в) =

у (к — в) имеем

7 (60) sin 0О+

J

т (0) [Л*1 (0О, 6) + М 2 (0О, 0) +

Т

+

м л (0„, тс -

0) +

М 2 (0„, тс — 6)] £/0 = ф(0О).

(III.37)

Уравнение (III.37) можно

записать еще так:

it

T(9o)sin0o +

^

^

j1 T ( e ) ( c t g - ^ - c t g -

-й) db

+

j

M (0O, 0) T(0)rf0 =

<|>(0o),

(III.38)

где

л ц в 0,в ) = | м ;(в 0, в ) - л ; ( о 0,е0)

+ M3(0O, e) + Му (б0, * - 0) + м , (0О, Я - 0),

м \ ( 00, 0) =

A(m + 2)4(w + —■ ( ^

r )"3sin 9° cos 9 (sin 0)1 2? X

x ( rj J - 1 (1 -

P2) ' 1 F [ 1

-

P, -

M

-

2?, 1 -

Д

w-г- v/0^ ; ( v » ) =

“9sr ',“

В уравнении (III.38) положим t = e

, t0

— e

". Тогда контуром

интегрирования

будет четверть

окружности

с0.

Заметим, что

4 ( W

t — to

1

tt,

' d t + ± ± £ d t .

jt2 _ j

1 —

1

- t t o

f

Й4-1

sin 9o =

2ий ""’

C0S °° =

2t~o

’

e =

4

- I n ^ eo = 4 - l n ^ rf0= - r - 4 L-

+

J

N (t0, t) т, (О dt =

«I»! (t0),

(III.39)

где

Тх ( *0) = Т ( 4

" 1п *о)>. а ( *о) - 1 _

К • b ( М - 1 +

•

« = ( 1 :

^

- - 2>

( т > " ^ - г ■" т

Ф, (^) =

- 2 й „ ф (4 -

Ш^о).

=

(III-40)

<0

< Г (* о )= М * о ) - 1 N (t0, t) ъ

(t)dt.

Cq

Применив известный метод Карлемана

[47,

54],

решение урав­

нения (III.40) можно представить по формуле

ц

^ _

О- Ро) Ф~" (''о)_____________ I’ Оо)_______

f

(

^______

Ъ (

о> ~

О? (Со) - * 3 (*о)

У &

(to)

-

bH to)

' *1

J

У

- to

Со

е8

(t)

(III.41)

1 —«о

у

а-2(/) _

62 (f) dt,

где

a (t ) =

- i - l n

a (Q ~ b (t)

a (t) -j-b(t)'

Функция

(t0),

определяемая формулой (III.41),

является

един­

ственным

решением уравнения

(111.40)

в классе

функций,

огра­

ниченных (или

же допускающих

особенность

интегрируемого

занного в работе [8] (см. также [7]).

Подставив в (III.41) вместо

функции ф* (t) ее выражение, по­

лучим

ТО( М + 1

( *о. *) Ti W ^ — ^i ( *оУ>

со

здесь

* 1 (to,

t ) + ^

j

Со

1

J

«о)-“ (*l) N (tu t) d tu

1 —Vo ~

е

Возвращаясь к старым переменным, предыдущее

уравнение мо­

жем записать в виде

Т (во) +

J я (в0,

б) Т (б) db = ф2 (0О),

( III.42)

где

~Т

« (» ..» ) = « ,

( Л

( 0о) = * ; («"•)•

С с 0.

После нахождения неизвестной функции ш(у)

из

уравнения

(III.42) решение уравнения

(III. 11).

удовлетворяющее

условиям

(III.13), определяется формулой (III.29). Тогда

на

основании об­

щего представления (III.8) найдем решение задачи А.

Рассмотрим общий случай. Введем следующие

обозначения:

г < * „ ,* ,)=

i x ,

I

Z 1 (Л'о- Уо) =

j х (S) A

[g (s, ха, у0)] ds,

О

1__

z 2 { x o> Уо) =

J Х(*) А

[£(*■ хоУ0)] dt,

О

^

x (s )= / (s ) — ® [ y ( s ) ] , x ( * ) =

j

У. ($)# (*,

s, 2)ds.

и

Выражение As [g (s, x0, y0)]

запишем

в виде

где

gi (s. -«о. Уо) = 4у(У

g (x(s), У (s);

x 0, y0),

g 2 {s. XV Уо) = A(P - 1) Уо

Г 1^(1 - P, -

P, 2 - 2P, 1-

2 \

2

-

Г3

Р J.

Р

-.2 .

'

Я

^ ( S- ^0. Уо) = I 1

-

Р2)

2ym+l у' (s)X

X

(* - *о) +

ти 4- 2

,

{ * ~

л'о)! -

Т П Г

( >’“ +! - « ' “ )

* ' W

Теперь вычислим производные функции г, (х0,

у0) по л0, у0. Про­

интегрировав полученные для них выражения

по частям,

найдем

т~{- 2

т -f-2

1.

н,+ 2

2

/оЧ

„ "1“

У

0 р -

Уо

дх0

У - '^ Ь г р т У 2 М 5- Л'о- Уо)

г*

и

\

ш*!-2

m~2

У 2

(■?) +

Уо

2

( 1 -

р2 ) - 1 +

Ч 5 ’ х 0’ У о )

ds,

(III.43)

п•)

гп т +2

^ L = f /

( S ) 2 у 0 2у

2

X~

S)r i — g 2 (s - -V

Уо) ~

«?Уо

)

L

-

fh (s,

x 0, y0)

ds.

(III.44)

где

h ! (S,

X 0, y 0) =

j

h*

( f , x 0,

y 0)

d t ,

h2{s, x 0,

y 0) =

j

h\

[ t ,

x Q, y 0)

d t ,

*; ('. -V Уо) =

d

-

X

X ^ ( l - P ,

2 - 2 P ,

1

-

P2) x (^ ~ x° + 26?(1 -

p) y0(* -

x 0) X

X ( r = ) ?- 2(1

- p 2) - ' F ( l _ p ,

1— Р.2-2Р,

1— p2)/7 (/,x0,y0) -

m + 2

m + 2

/ п + 2

m - j- 2

m + 2

У

2

(t) — Уо

2

У

2 ( Q

+ Уо

2

5*2 (^> •*'0' Уо)’

* ; ( ^ у « ) - ж

- у г ( < - х о. Уо) + (1 - Р) * t y i T 3 х

X ( г2)- ? (1 - p2)1- 2pF (l - р, - р, 2 - 2Р, 1- Р2) X

r n2

I

___ Z___

l vm+2 _

vm+2\

( X — X 0)

+

(да+ 2)2

[ У

Уо

)

+

X

m+2

m+2

m+2"

4(?-1);Уо2

у 2

+.Уо2

1 +

tn + 2

X

X

/=■(! — P, - P . 2 - 2 P ,

1 — P2) — iiE + i>

(1 _

(02) x

4

(ym+2-y S ,+2)

(* ~ * 0)

+ {m + 2)-

1 — p,3 — 2P,

X

F ( 2 - f i ,

1 - P 2)

, _ 2 X ( t )

+ 1 ~ * /,

N

"Ь 2Уо

p3

<§2

^0> Уо)>

g 2 (*. *0> Уо) =

2 (1 -

P2)

1 ( F2 (*,

X0> У0 ) +

У 2

g s (F *0- Уо) П 2 X

X

2y (7) x'

(0

(л -

* 0) —

у' (t) (x

-

x 0)2 +

- ^m (■ у ^ ^ - у о — )

m

g\ (*. * 0-

Уо) “

~

^ 2 (*•

* 0>Уо)

( 0

+

2 - г^ - у- х

У

У '

/ от+2

Щ+2\

+

X

X

(*) (* ~

^о) +

2Уда(!Й

~ (у

2

+ У о 2

,

т

+ ^ = ^ У " У 0( 1 - Р 2 )(/-2 )Р

X

X

^ 4 ^

У'

{х

— х о)2+

2у (*) * '

(0 (■* -

л'0)'+

+ I t

?

(у т+2 -

Уот+2)1 F ( 2 -

13- 1 -

V’ 3 -

2?, 1

-

р2).

При вычислении предыдущих соотношений

нами

использованы

c F (a , b, с , z) + b zF {a -\ -1, b + 1, с +

1, z) — cF (a +

1, b, с, z),

(a — b )F (a , b ,c, z) — aF{a-\- 1, b ,c ,z )

= — b F (a, b +

l,c, z).

т -}-2

т +2

где a (s),

(3 (s) — некоторые

гладкие функции

в интервале

(0, /)..

Обычными методами (например, можно

воспользоваться форму­

лами Сохоцкого-Племеля) нетрудно показать

справедливость-

следующих формул:

т/

,lC4

soj

____у' Ро) Ут12 Ы

+

Vn

v u -

П2

ут (s0) У "

(S o )

• * ' “

(« о ) +

(III.45)

х' (у0)_______

УИ = - * Р ( * о ) з г

“ Г

^ 2 0

ym (s0)

(s0)

-к" (s0) +

v

____ y' Ы /n;2(^ ___

+

V.

le

'

° ^ 2 (S o ) + y ra ( S o ) / 3Ы

io>

y ,e = ^ { s 0) - ,

x' (S o )

20*

X ’ “ (S o ) + y m (S o ) y'_ (S o )

Здесь использованы общепринятые обозначения.

В силу формул (III.45) находим

\

т+2

г

(s0) у

2

(s0) g 2 (s0, л- (s0), у (s0)

l

'

m +2

m + 2

(S) & (s>

У

2

(s)

— У 0 2

( S r)

х'

(5) Ь г Т 2 У

2

У&>))

m +2

m +2

(S )

+ У

L (S o )

( l -

p 2 )

1 +

/ * ! ( * > - V

( S 0 ) , у

( S

0 ) )

ds,

(111.46)

3m+2

f i f i )

л

, ,

, У

2

(S o ) у ’ (S o )

( so>

.

( ^ У о /, —

( So)

^ '2_f_ у'» у' 2

(So). .У (So)) +

h-JY(s) 2У * (50) У

m + 2

*

(s) X- ?) ■,/ (A~") g -2 (s,

x (s0),

у (s0)) -

Л2 (s, X (s0),

У (s0))

ds.

(III.47)

^Предельные значения функций hi

и h2, как легко

убедиться на

•основании формул (III.45),

определяются

соотношениями

S

I'l (s’

so) =

К (S,

X ( s0),

у ( S0))

=

j ll* (t, X ( S0), у ( $„)) dt,

0

h2(s,

s0) =

h2(s,

X ( s0), у ( s0))

=

J fil {t,

x ( S0), у ( s0)) dt.

6

Теперь рассмотрим

функцию

z2(x0, y0).

Так

как функции

~i (х0, У0) и

(Ло>

Уо)

имеют одинаковый

вид,

то

производные

функции г , ( х 0, у0)

по л0

и у0

при (х0, у0) -> (x(s0),

y(s0))ea, оп­

ределяются формулами вида (III.46), (III.47),

если только

суще­

ствует производная функции

Z ( * ) =

J

X(s)

# (s,

t, 2)

ds.

U

Известно, что резольвента R (t, s,

2)

удовлетворяет

интеграль­

ному уравнению

i

R ( t ,s ,2 ) = K ( t , s ) + 2 f K ( t ,t i) R ( t l, s , 2 ) d t l.

0

■Следовательно,

вопрос о дифференцируемости функции у (г!) сво­

дится к выяснению возможности

дифференцирования

интеграла

i

K ( t ,s ) x ( s ) d s .

j

(III.48)

и

Выше было отмечено, что ядро К (t, s) при

сделанных

предпо­

ложениях относительно

кривой о

может

иметь

лишь логариф­

мическую особенность. Это утверждение следует из

выражения

■функции

[g (-«(s), у (s); х 0,

у0)]

в силу известной формулы для

.хипергеометрических

функций

F (a, b , a + b , \

— t) =

—

F {a,

b ,\ ,t)\ n t +

.

Г

( a

4 -

b)

у ,

Г

( a

+

А) Г

( b + k)

о П(А±1)

+

T-f(a) Г- (b)

k=о

.

(*:)-

г (A -

1)

Г

(a + k)

Г (b i- k)

^

(III.49)

Г

(a + k)

Г (b 4- k)

г

1 (s)

.)

t — s

’

о

где интеграл понимается в смысле главного

значения по Коши.

Таким образом,

производная функции у

(s)

существует

и

ее

можно представить так:

У! (t)

=

f y/(s)A3(t, s) ds-

(HI.50)

здесь

6

h3 ( t , s ) =

~

J

d K

+ H

d K ( t, f , )

R {tu su 2) d tx

d sx.

6

dt

a t

Очевидно, что функция h3 (t,

s)

может иметь только

интегрируе­

мую особенность.

z x(х0, у0)

и z2 (х0, у0)

имеют

одинаковую

Так

как функции

структуру, то на основании

формул

(III.46)

и (III.47)

предель­

ные значения

производных г, (л-0, у0),

когда

точка

(л:0, у0) стре­

мится изнутри к точке, лежащей на дуге

slt

представляются

в

виде

гп+ 2

2«у/ (so) У

2

(s0) £ 2 (®0, x (so)> y(so)) ________________(S o )

y'~ (So)

l

* ' 2

(S r) +

Ут (S o )

m + 2

m+2

m-fi

У

2

(О — У 2

(S o )

x ' ( f ) tn + T

У

~ ( * ) & ( * , *

(s0).

У (S0))

- f

( 0

+ У

2

(S o )

(l

- P 2)

1

4 - ^ i( t ^ ( s 0). У (s0))

dt.

m+2

y '"

(S o) У ' (S o)

2 « x ' (s0) У 2

£ 2

( s0i ■* (s0). У (s0))

x'2

y m y '2

l

m

m +2

+

J X' (0

2У a

(s0) У

2

(t) g 2 (t;

x (s0), у (s0)) * (/) r2— (So)

“

— h2 (t, x ( s n), y(s„))

dt.