книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

Т (■*) -

1 I * 2 -

t j - 1 t'- Ы J* т (4 -) [* - * 1 Г ? dtx=

?* (■*)•

о

о

О < л- <

1.

(II.60)

Т (•*) = 2{1~2?)

j f

(х -

t f ' 18(t) dt,

где

0

а = Л ( 1 - 2 Р ) + Р - 1 ,

уравнение (11.60)

переходит в эквивалентное функциональное урав­

нение

х

8 (х) -

2 - 8 ( 4 )

= «р(х)

-

f

t)b (~т) d t '

здесь

(11.61)

X

X- т (х) = 2«-" <*-■'-Ц* •-£ Г <*- <)»-■ т*(Оdt,

О

* ( * , о =

j бр (1 -

s)-p(i +

^ 4 4 ~ 2^ -

Пусть число А такое, что справедливо условие

Р(1 - Р )

<2(Х (2* -

1 ),

а > 0.

(11.62)

В силу принятых предположений

в функциональном уравнении

(П.61) известная функция у{х) и

неизвестная

функция 8(л:) не­

прерывны при 0 < л : < 1 ,

и к уравнению (11.61)

применимы спо­

собы,

указанные в § 5.

Отсюда

заключаем, что существует един­

ональное уравнение

(11.59) имеет

единственное решение со (у).

Тем самым доказано,

что задача IV

для уравнения (11.57) при

После того как уже доказана

однозначная

разрешимость

задачи IV для уравнения (11.57), доказательство

единственности

и существования решения задачи

V для уравнения (11.57) про­

водится так же, как и в § 6.

- г г ( / Ч „ + “„ ) = » .

о ч -»

существенно отличающиеся от задач, рассмотренных

в гл. II.

§ 1.

Постановка

задач

Пусть D — односвязная

смешанная

область плоскости пере­

менных х, у, ограниченная

простой дугой Жордана а с концами

в точках А (— 1,0), 5 ( 1, 0)

,

лежащей в верхней

полуплоскости

у > 0 , и характеристиками

т +2

т + 2

уравнения (IIIЛ), выходящими из точки С

Относительно кривой о будем предполагать, что:

1) функции x = x(s), y = y(s), определяющие

параметричес­

кое уравнение а, непрерывны вместе со своими

производными

условию Гельдера в промежутке

0 < s < Z,

где s — длина дуги,,

отсчитываемая от В к A, a

L — длина

всей

кривой с;

2)

кривая а оканчивается сколь угодно

малыми дугам» BR'

и АА'

нормального контура

а0:

{т + 2у

т + 2

= 1

(У > 0);

3)

каждая прямая у =

с, 0 < с < h,

пересекается с а в двух

точках,

а прямая y —h имеет единственную

общую точку N (0,h)'

(точку

касания) с о.

Составную и гиперболическую

части

смешанной области D

будем

обозначать

через D,

и D 2 соответственно.

З а д а ч а

А.

Найти в области

D {

регулярное

решение и ( х ,у )

уравнения (III. 1), удовлетворяющее

краевым условиям

и

= / («),

«

АВ

?(S ),

(HI.2)

где з, — часть

AN кривой

о;

« — внутренняя

нормаль

ot; задан­

ные функции ® (s)

и f ' (s) удовлетворяют

условию

Гельдера, а

(л) — Липшица.

D t

З а д а ч а

А*.

Найти

в

области

регулярное

решение

и(х,у)

уравнения

(III.1),

удовлетворяющее условиям

/* • ,

д а

сЫ

(III.3)

= /'*>■-57 ЛВ =

v ('V'),

д п

=

? («);

здесь заданные функции v, © удовлетворяют условию

Гельдера,

a /(s) имеет первую производную,

удовлетворяющую

условию

Гельдера.

В.

области D-, ре­

З а д а ч а

Требуется

найти

регулярное

в

шение и (х ,у )

уравнения (III. 1), удовлетворяющее условиям

лв = Т (*). « 1лс =

'МЛ')>

д и

АС = Ь М .

(Ш-4)

д п

где заданные

функции

т(х) и

(х)

обладают

непрерывными

производными первых двух порядков,

а б (л:) — первых трех.

З а д а ч а

5 * .

Найти

регулярное

в

области

D2

решение

и ( х ,у )

уравнения

(III.1),

удовлетворяющее условиям

д и

>(х),и АС =

Н * ) , % АС

Ь (*);

(III.5)

~ду АВ

здесь заданные функции v и б, дважды,

а б трижды

непрерыв­

но дифференцируемы.

З а д а ч а С (смешанная

задача).

Требуется

определить в об­

ласти D решение

и(х, у)

уравнения

(III. 1),

удовлетворяющее

краевым условиям

и.

_сг

\

д и

г

(S ).

= ' Н - Ч ,

^

АС =

$1 (-0.

(Ш.6)

= / ( s> - u

где заданные функции /(s), ^ (s)

дважды,

а $(х)

трижды не­

прерывно дифференцируемы; <p(s) удовлетворяет

условию Гель-

дера.

ОС{

и ОС2 характеристики

Обозначим теперь через

т-\-2

т - Ь 2

X =

—-—5(—у)

2

КХ = ------ ~ Л -

У ~

т

+ 2 '

■"

,п

-+- 2 v

*

уравнения (III. 1),

соединяющие точку

О с точками

2

Л

Г

2

1

1

Jot + 2 j m+ 2

и С 2

1

( т + 2 \т + 2

C l

2 ’

2 ’

\

4

1

соответственно.

Через £)* обозначим

область, ограниченную кон­

туром ОСъАаВС-у.

решение и {х ,у )

З а д а ч а С*. Найти регулярное в области D *

уравнения (III. 1)

с краевыми данными

ди

дп . = ?($)

(Ш-7)

и

ди

| о С , — ^ 1 ’ И | о С 3 — ^ 2 >

= ?!

Он

О С ,

где /, <р, б,, б, и <Р[ — заданные функции,

причем /,

б2

обла­

дают непрерывными производными первых двух

порядков,

ibt —

первых трех, а ® удовлетворяет условию Гельдера.

При рассмотрении сформулированных

выше

задач

восполь­

зуемся представлением

и (х, y) = z (х, у)

+ ш(у)

(III.8)

решений уравнений (III.1) и будем предполагать,

что всюду вдоль

дуги 3j (кроме,

конечно, ее конца N) справедливо условие

dx

(Ш-9)

dn

ш(0) = ш(АО = 0.

(ШЛО)

■Следовательно, однородная задача А

редуцируется

к определе­

нию в области D t регулярного решения z ( x , у) уравнения

/ 4 , + ^ = °.

(Ш. П)

удовлетворяющего условиям

* И - « ( У ) , 2|лв=0>

= -»'(У )-Й -

/ (ИГ*12)

Регулярное решение z(x, у) уравнения

(III. 11) внутри областиО[

Отсюда, учитывая

условие

(III.9),

получаем,

что и>' (у) = 0. Тогда

в силу третьего

из

условий

(III. 12) находим,

что в рассматривае­

мой точке

=

0.

Это равенство

противоречит известному свой­

крытой дуге at. В силу первого из условий

(III. 12) заключаем,

что функция z ( x ,y )

не может достигать

отличного от нуля

экстремума и на дуге

BN. Отсюда сразу следует единственность

решения задачи А.

2.

Существование решения задачи А. Без ограничения об

ности

можно полагать

в области D x регулярного решения

уравнения

(III. 11),

удовлет­

воряющего условиям

^ U

— Ш[у (s)J,

z\AB=x(x),

(Ш.13)

= ср? (s) -— ш' (у) cos (ля, у).

(III.14)

а1

В дальнейшем

нам понадобится

„явный вид“

решения

задачи

(III. 11), (III.13).

Для

нахождения

такого решения воспользуем­

Грина задачи (III. 11),

(III. 13) можно легко

построить

методом

потенциала [43, 45].

В

области D x уравнение

(III.11)

допускает

фундаментальное решение

g (х, у; х 0, yQ) =

k

X F (1 — Р. 1 — р, 2 — 2р, 1

где

т +2

т + 2 .2

У 2 +

У0 2 J .

Функция g (x , у;

х 0, у0) имеет

логарифмическую

особенность

и

удовлетворяет условию

g {х, 0; х 0, у0) = 0,

у0 > 0

для всех х.

Введем обозначение

Л [ g (&, 'П\X, У) 1 =7}

т

dg

&

_ dg_,

ds

ds

df[ ’

здесь через (£, ч}) обозначены координаты

переменной

точки

на

кривой а.

Непосредственными вычислениями находим, что

А [£ А Т, х,

У)] =-j~

V

5' (s) g

(6, г, x,

у) —

ь 0 - Р) У

р

1 — Р, — р, 2 — 2Р, 1

- 4

2vm+1-n' (s) ( S - x ) +

П

+

т +

2

Г (s)(S

- х ) i2 +

(s) ^ут + 2

^m+2'

(IIIЛ5)

т + 2

4

Отсюда следует, что при наших

предположениях относительно

кривой а

i

f \А [g(£, г, х, y)]|fifs<C,

о

где постоянная С не зависит от точки (х, у).

Нетрудно показать [43, 63] справедливость

следующих соот­

ношений:

i (х,

у) — 1, если точка

(х, у) лежит

i

внутри Д

или

на оси х-

ов,

когда — 1 <

х < 1

jX [ g (Е.

•*. У)] ds =

I i (х, у)

-----если

(х, у) принадлежит а

о

Цх,

У),

если точка (х, у) лежит

вне Д ,

где

J

(ШЛ6)

Их,

У) =

да(х,

у) = | 1л(О Л <[§-(|, 7г;х, у)] dt

(ШЛ7)

о

Очевид­

((*Ю — непрерывная функция в промежутке 0 < s < l ) .

но, что потенциал

w (х, у) является регулярным решением урав­

нения (III.11) в каждой части верхней

полуплоскости, не имею­

щей общих точек ни с кривой а, ни с осью

л-ов.

На основании соотношений (III. 16)

легко

можно

показать, что

справедливы формулы

Wt (S) == -—

JJ. (s)

-Ь щ>0 (s)

(111.18)

WA S) = 4 -н - (s) +

™0(s)

здесь

/

w0 (s) =

jAT(s, t)\i{t)dt,

0

К (s, t) = At [g (5 (t), -n(0 ; x (s),

7j (s))j.

Наряду с потенциалом двойного слоя (III. 17)

рассмотрим потен­

циал простого слоя

w (х, у) = J |1 (t) g (5 (t),

-q(f); x,

у) dt.

(HI-19)

0

нения (III. 11) в любой области,

лежащей в верхней

полуплоско­

сти, не имеющей общих точек

ни с кривой с, ни с

осью л-ов.

ных уравнений относительно плотностей (j. (s)

и jx(s):

i

t) |A(t) dt =

b (s)

|i. (s) — X J

Д (S,

о

(111.22)*

~

i

~

~

’

K{t,

p (s) - X

j

s)v.(t)dt =

o(s)

здесь

U

при X =

2

3 (s) = — 2wi (s),

о (s) =

— 2As

а

при X =

— 2 8 (s) == 2we (s),

5 (s) =

2As [®]£.

Ядра интегральных уравнений (III.22) являются

транспонирован­

ными и в силу условий, наложенных на

кривую а, могут иметь

только логарифмическую

особенность.

Следовательно, к урав­

нениям (III.22) применима теория Фредгольма.

На основании формул

(III.21)

легко

доказать,

что Х = 2 не

является собственным

значением

ядра A (s,

t).

Теперь мы можем в области Д

построить

функцию

Грина,

уравнения (III. 11)

для задачи (III. 13).

Определим

ее

следующим

образом:

х 0, у0) =

g {х,

у;

х 0,

у0) +

0(л', у;

х 0, у0),

0 (х , у;

где v (х, у; х 0, у0) — регулярное решение уравнения

(III. 11) везде

внутри области Д , удовлетворяющее условиям

& (5(s),-/)(5);

х 0, у0) =

— g(t(s), -q(s),x0, у0),

(III.23)-

(х0,

у0)е Д ,

&(■*, 0; х 0, у0) = 0

(у0 >

0).

(Ш.24)

В случае области,

ограниченной

отрезком

[—

1, 1] оси х-ов и.

нормальной

кривой а0,

функция

Грина

выписывается

в явном

виде

[63]

Go (*,

У: л'о. Уо) =

g (х, У; х 0,

у0) -

R

2?g { x ,

у; х 0, у0),

т+ 2

т-р 2

г у

_

+2 Т —

77

Уо

2

2

ло

I ( т +2)2^0

>ло—

да’ З'о

R^

Для

области Д

регулярную часть функции Грина ищем

в виде'

потенциала двойного

слоя:

[х, У! х 0, у0) =

|

[а(А х 0, у0) A t [о- (A ъ

х , у)]

dt..

(III.25)

му условию (III.23) на основании первой из формул

(III.18), по­

лучаем

интегральное

уравнение

для

определения

плотности

М * . х 0,

у0):

;

М®, х 0,у 0) -

2 1 ^ (5 ,

х 0, у0) d t = 2 g (S(s),

х 0, у0). (III.26)

о

слабую

особен­

Как уже отмечалось выше, ядро К (s , t) имеет

ность и число 2 не является его собственным значением.

Пусть R

(s, t, 2) — резольвента

ядра K{s, t).

Тогда

решение

интегрального

уравнения (III.26)

представится

в виде

Ms, Xq, Уо) = 2 g(s, х 0, у 0) +

i

R(s,

t, 2) g

(t,

x 0, y0) dt,

4 j

(III.27)

g (s, X 0, y0) =

0

7](s); JC0, y0).

g (? (S),

Подставив

найденное

значение

функции jj.(s, jc0, у0)

из (III.27) в

(III.25),

получим

» [х, у; х 0, Уо) = 2 j

g (s,

х 0, у0)

Л ,

[g(s; * , у)]

ds +

6

+ 4 j j

R(s, t, 2) As [£ (s; x, y)] g [t,

x Q, y0) dtds.

(III.28)

о 0

Как и в случае уравнения Лапласа,

G(x, у; х 0, у0)

симметрична

относительно двух пар точек (л, у)

и (д:0,

у„),

когда

они нахо­

дятся внутри области

D {.

для урав­

С помощью функции Грина решение задачи (III. 13)

нения (III.11) дается формулой

г (х 0, Уо) =

■z(x)

dG (х, 0; л'о, Уо) дг у

ду

-1

-

J {/ (s) - ю [т, (s)] }

А, [ 0 ( Ш , v (s); х 0, y0)j ds.

(Ш.29)

0

Формуле (III.29) можно придать другой вид. С этой

целью рас­

смотрим следующее интегральное уравнение,

сопряженное с

(III.26):

V- (s, х 0, у0) -

2 j К (t, s) [х (t , x Q, y0) dt = 2AS [g (s,

jc0, y0)]. (III.30)

0

Единственное решение уравнения (III.30) представится

в виде

? (S, * 0. Уо) =

2А, [g (s - *0- Уо)]

+

4 j Я(*. s, 2)At [g

{t,

x Q, y0)] dt.

(III.31)

Последнее равенство

умножим

на

g

{s, х, у)

и

проинтегрируем

по s от О до /:

i

~

i

J

V- (S, Х0, у0) g(s,

х,

y)ds

= 2

f As [g (5, х 0, у0)] g (s, X, у)ds +

о

I I

о

+ 4 J J Я (*. 8, 2) At [g (if, x0, y0)] g {s, x,

y) dt ds.

(III.32)

о 0

Сравнивая формулы (III.28) и (III.32), получаем

I>(a, y; x 0, y0)= j

t* (t,

x 0, y0) g

(t , x, y) dC

(III.33)

О

Применяя к функции (Ш.ЗЗ) первую из формул (III.20),

находим

2As [»(х(5), у (s); х 0, у0)]г =

у. (s,

х 0, у0) +

2 j K{t,

s) |х (t,

х 0, у0) dt.

О

В силу уравнения

(III.30)

2 ^ [g (x (s), у (s);

х0> у0)] =|*(s, х 0, У0) -

2 j К (t, s) ц (t,

х 0, у0) Л .

О

Отсюда следует,

что

A

[0(X{S), у (s); х 0, у0)]

=

г (s, х 0, у0).

На основании этого равенства формулу

(III.29)

запишем

в виде

1

i

*(*0 . Уо) = j ^(x ) aG(-v-^ Xo>'nW

- J j / ( s ) - со [y (s)]}y (s,х 0, y0)d s=

-1

I

о

1

= j

^ (х) -да (Х’Ь х°'Уо)

d x -

2 j* { /(s) -

О [y (s )]}^ [g (s ,

х 0,уо)]Х

-1

о

I

I

X ^ s - 4 j {/(s) — co[y(s)]}ds [ R(t,s, 2)At [ g ( C * 0’ Уо)] dt•

(ш-34)

Функция г (x0, y0),

представленная формулой (III.34),

должна так­

же удовлетворять

условию (III. 14). Для

реализации

этого

усло­

вия

необходимо вычислить производные от функции z ( x 0, у0) по

х 0,

у0 и их предельные значения

на дуге с^.

Сначала рассмотрим случай, когда кривая <з совпадает с нор­

мальным контуром а0. В конечном итоге для

определения неиз­

вестной функции ш(у) получим сингулярное

интегральное урав­

нение, характеристическая

часть которого отличается

от

харак­

4—и

49