книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

получим для

(jc) — 8д_1 (х)

неравенство

Из полученных

выше оценок для разностей о£(х) — 8 ^

(х) сле­

дует, что ряд

3о (*) + [ 5, (х) - %(х)] +

------Н [8Л(х) - Зд_1 (x)J +

•••

§

6.

Задача

V

Обозначим через Д ,

ту

часть

области Д которая

остается

после удаления из нее области Д

и характеристик

ОС,

и ОС2.

Решение уравнения (II. 1), удовлетворяющее условиям

u \oc~ ^v

и |ос, =

^2>

и \ос ~ Тз(i')>

/ з \3/з

< у

: 0,

однозначно

определяется

где ®2(У) = <р(у) при — 1— 1

и. ,|, - / — ^ ( у ) , и т |

°2{У), ч т\ос, = Ф2 ~

(IL4°)

ос,

здесь функция иц(у) =

ш(у), 0 < у < Л

должна

быть подобрана

таким образом, чтобы удовлетворялось условие

u t \o n = ?! (У) - W1 (у).

(11.41>

где <?, (у) = <р(у), 0 < у < h.

Из процесса редукции ясно, что производные

искомого ре­

шения и. (л, у) задачи V на характеристиках ОС,

и ОС2 могут

перестать быть непрерывными.

Без

ограничения

1. Единственность

решения задачи V.

общности опять будем

предполагать,

что

Ш1 (у)> ^ rjo .v =

Ш1 ( у ) ’ ^ г |о с , =

^ rlo c ., =

(П .42)

О, положительного максимума и отрицательного минимума

мо­

жет достигать лишь на кривой о. Но ввиду того,

что

ит\0N —

= — cu,(y), эти экстремальные значения не

могут быть

реализо­

ваны на открытых

частях

AN и BN кривой а. Отсюда,

так

как

ит(А)— uT(N) = ит(В) = 0,

заключаем, что

(у)=0, ит(х, у) —0

всюду в области

D v и,

следовательно,

и(х, у) = 0

всюду в

области D. Этим самым единственность решения задачи

V

до­

казана.

Будем

предполагать,

2. Существование решения задачи V.

что кривая а удовлетворяет тем условиям,

которые были сфор­

кривая о совпадала с нормальным

контуром а0.

Однако

метод,

использованный

Геллерстедтом, т.

е. метод

Карлемана,

с

по­

мощью которого сингулярное

интегральное

уравнение сводится

к интегральному

уравнению

типа

Фредгольма,

позволяет

без

Отметим, что

функция

Грина

G(£, 77; х,

у), рассмотренная

при исследовании

задачи

II,

может быть

представлена

в ви­

де

[1,

62]

i

G(£,

Tj;

х,

у) — G0 (е,

7j;

X,

у) =

|X (s,

?,

77) G0 (s, X,

y)ds,

-откуда

6

i

x) =

G(;, 0;

x,

0) -

Go (S, 0; x,

0) = J4 (s ,

5, 0) G0(s,

x,

0)rfs,

0

G(S, 0; x, 0) = (?„(?, 0;

x, 0) +

Я($, x),

(11.43)

где

G0(;,

77;

x,

у) — функция Грина для

нормального контура о0,

1 / (

г

,Л

_

^

;

^ C ( £ ( s ),

T)(s);

х , у )

d-q

dG (Hs). n(s): х,

у)

d?

v

di

' ds

d^--------------dA'

Заметим, что при — 1 < x < 1,

— 1 < £ <

1,

справедливо

нера­

венство

[44]

d//(S, х)

d x

< (1 - x t ) ' 1* ’

где

С — постоянная,

зависящая

только от области Dt. На

осно­

вании (11.43)

из формулы (11.20)

получим

/i W = - r\J\f(s) - ®1 [4(s)]J 4

$ , ■*. 0)rfs.

1г

-

i

_L

j '*{t)(x - t) 3 d t =

f - Н ( ^

П - \ t -

x

1

3 Н - ( 1 +

j r f ) “ 3 x

0

i

X »m Ш + Г / , w

0

L

( 4 i f

X

~ A

0 <

1,

x *

3 ( - * - * )

x

<

(11.45)

J V(t)(t — x)

» л =

j'

- H { x ,

t )

— 11 — X

3 + ( ! - * * )

в

X

k

X v ( O d * + y / 1(*) +

X

_

где

X

t ~ \ t -

x )

3 dt,

-

1 < x < 0,

(II.46)

ф1(У) = Ф1( У ) - “а(У)» Ф2(У) = <М У ) - Ш2(У)’ * = T-

Теперь, применив формулу обращения интегрального

уравнения

Абеля, представим уравнение (11.45)

в виде

-1

О

{ t - Ц 3 - ( 1 - « )

3 +

H ( t ,

6)

3/а(Е)Л,

(11.47)

+

где

X

а/з

1

v

Xе/-

Г*

*

3 {x — t)

dt.

-

4 *

£

Л (*> =

1 Г Л ( * > - Щ Г л г Н

Когда х лежит стргого

внутри

интервала (0,

1), второй

интег­

ральный член в левой

части (П.47)

в результате

замены

пере-

менного

1 _

^ =

г 3

можно переписать в виде

А

| V(/)i t

| (х -

?)-“'■<!

-

«

Г Х Л =

^

J

48) (

-1

о

-1

Рассмотрим теперь

функцию

1

ж

__1_

_ 2 _

J( x) =

fv(t)dt Hit- Ц

3( x - Z ) ~ * d i =

-1

6

О

х

_____________2_

= \ 4 {t)d t\

$ - t )

3 (х — S)

3 ^ +

-1

о

1

х

_ _1_

_ _2_

+

Jv(f)fltt

3 ( х - £ )

8 С(Е =

У1(Х) +

У8(Л).

о

о

3-11

33

Функцию У2

запишем в виде

л —е

г

___i_

__

У, =

ПтУ2. = lim {

v(t)dt

J > - E )

\ х - У )

3 а?Н-

г

1

^

„

„

_ __

_ _2_ \

+ f (Б -

t)~ т (х -

Б)" ~

d%

+

(

v (t) dt

] { t - \ ) 3 U -

E) 3 di .

?

J

дг+s

u

j

Заменой

переменного

интегрирования

%=

t + {x — t)z

легко на­

ходим

(11.49)

1

-1

J ( Б - * ) 3 ( * - 5 )

=

У з

* > * •

д. _ £

Далее, применяя подстановку

z3,

получаем

t

=

| ( « - « ) ' , ( д :- 6 ) ‘ * Л = - 3

J

t < x ,

°

( f ) '

-з f г ^ р + r^ F . О Л

/ з

Следовательно,

( т ) ‘

A . = #

f

+

/3

A-+S

б

'

_ з П ' +

1) .( « < «

1 А -

\ 0

А-+Е,

(4Г

Дифференцируя по х,

находим

Д\ 3 у (l)dt

4 = Т У ”(А - ■> -

т г 1 <■* +

•) +

( I +

X j t — X

Л| , ) ( А

— з [N (х — е) — v (х + е)]

f

d z

Г

d z

J

1 - г*

, J

1 - Z3

Ш ' !‘

ш

Отсюда следует существование

равномерного предела

уИ ? Л = г И х ) + И т Г ^ -

(П.50)

Подставляя

(11.48),

(П.49), (11.50)

в (11.47),

имеем

v(x)

— М

1

+ ■

v (t) d t +

У з я J |\ х ) t —

х 1 1 — xt

t \k

1

*?/»

1

v (0 dt +

- y = z

JL(X, t) V(t) d t =

X

I

t —

X

1 — xt

УЗ- 0 *-

,c

(11.51)

где

£ (* ,

0

=

x - ^ - j Я(5,

*)

( x - | ) " 3 ^ .

Аналогично из (11.46)

получаем

1

о

V ( x )

м '3

1

.

с - ^ г 3/з

V(f) dt

/3~-

JC/ £ — X

'

1— tx

+

-

J -

П

2/ а

П

____ Ы

j Л>(t)dt +

УЗт. J

L\- х) t - x

l - t x

1

о _

Г'-

v (t)d t +

/3

-1 *-

tx

i _

.

I

f

____u i l

v(t) dt +

~

V

n J

\\x\j t — x 1 — b

/3

1

+ 7 k

=

Я (* ),

(11.53)

где

H (x) =

l ( X ,

S) 0)j [rj (<?)] ofs -f Нг (jc).

5t(x, 5)= - 1 _ . ^ .| (д : _ $ )- ^

X(s>St 0)<ft,

0 < a <

1,

0

Sx(x,

s) =

X(S, E,0)de,

— 1< л < 0,

r

X

l

X

H, w =

- j

S. (л,

s)f(s) a s

- -

1

■ £ ■ $ ( * - !)-’ • Л й X

0

r

11

о

fl

I-

“ т л ,

о < a < i ,

I

1

о

tfl W = — j" St(a , s)/(s)afs —

2 y j *Tlrf

0

t~%(t -

6)

6

— 1

< A <

0.

+ * 2/31 (x, t) + - L -

j

L ( tv

t) Г (x, t x) dt,

—1

\x\(l + t)

1

1 3 /

l

Г (x , t) =

(1+■*)( —0 J

\/—X l - t x ’

— 1 < £ < 0,

_1_

Г (* ,* ) = -

\\x (1 - t) ]

з /

1

_ -

J - )

0 < *< 1.

(1 — x ) t J

\ t - X

1

— tx ]'

V(X) = / * {X) + -L = - |

N(x,

t ) f* (t) dt.

-i

Учитывая выражения для функций

f *

(х) и Н (х),

предыдущее

равенство перепишем

в виде

i

S2 (•*> s) mi [4 (s)] ds,

v (л:) =

[j. (л) + j

(11.55)

где

0

^

,»(x) = 4 - 1 H, (x) +

f

(*■ t) H, (<) d t +

-i

Функции p-(x)

и 5 3 (x,

s) могут

иметь

особенности лишь при

х = — 1, х =

0, х = 1 ,

причем

порядка

ниже

2'3. Регулярное в

области D t решение ит (х, у) уравнения (II.8),

удовлетворяющее

условиям

дит (х, у) I

=/ (« ) - ® t[y (s )] . ду

ly-o = v (x )’

правой части (11.55).

должна удовлетворять

и

условию (11.41).

Функция ит(х, у)

Приравнивая полученное выражение ит(х, у),

вдоль ON

функ­

ции »! (у) — (Uj (у) для

определения

mi (у)

имеем

интегральное

уравнение

(у )

+

j

“ i [ -П(s)] S* (у , s)ds

=

3 (у ),

(11.56)

где

о

1

S * ( y , s) — S (у ,

s) — j S2(t, s)G(t, 0;

0, y) dt,

s (У) = <Pi (У) +

j

V-(0 G V, 0; 0,_y) dt +

j /(s) S (y, s) ds.

- i

о

Доказательство существования решения интегрального

уравне­

ния (11.56) требует воспроизведения рассуждения,

приведенного

при исследовании уравнения (11.22).

Этим и завершается дока­

зательство существования решения задачи V.

§

7.

Некоторые

обобщения

Задачи, сформулированные в §

2 для

уравнения (II.1), ана­

логично рассматриваются и для уравнения

д_

(11.57)

дх ( уХ л- + S

,

где in — нечетное положительное

.целое

число.

В этом случае

характеристики

АС,

ВС, ОС(

и ОС2

уравнения

(IIЛ) должны

быть заменены соответствующими

характеристиками

уравнения

(11.57). Кривая а также подчиняется

всем

указанным

в § 2 тре­

бованиям, только

условие б)

следует заменить на условие

d x

<

Cym+1 (s).

d s

Доказательства

единственности

и существования

решений

задач I, II и III для

уравнения

(11.57)

совершенно аналогичны

доказательствам

единственности и существования

решений этих

Ф1 (У) = Ук Фф (У). Ф2(у) = Ук Фа (У). ?х (У) = У* ?2 (У)-

(и-58)

где ф*, ф* и 9г — конечные и непрерывные функции, a

k — не­

Как уже было показано в § 5,

для k =

2, не

ограничивая

общности, можно добиться выполнения условия (11.58).

Пользу­

ясь формулой Дарбу,

на основании представления решений (1.10)

и условий (II.5) для определения неизвестной

функции

(у) по­

лучаем функциональное уравнение

ш{у) +

(2 - 4j3)1-2‘3

у j ( * 2 - е у - 1 tl- 0

X

о

X -fi-j о) ( t\ ) t f - 1(t -

dtx=

ф* (y),

(11.59)

U

где

X

Ф* (У) = <Pi (y )+

(2 - 4 ^ - 2‘3y j f * 2 -

e f - 1 tl-*dt x

0