книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

- j т

-1

(«-is:

го, как и выше, введем вместо искомой функции со(у)

новую иско­

мую функцию ап(у). Для со1(у) получим .интегральное

уравнение

Фредгольма второго рода

(f)]“i h ( 0 ] ^ ‘-=7i Ь Ф )].

(11Л6)

о

a (h ) = со'(0) =0.

(11.17)

« г| ,= ~ “ (У).

даТ

(11.18)

u t \o n ~ ~ ш (У)> ~ d j

АВ

du-,

= v (x ), Uj

= ? (у) - ®(j0-

= / ( s ) - u ) [ y (s)],

АВ

ON

(11.19)

ит(х , у) — — J v (t) О (t, 0;

х,

у) dt —

—1

-

j

I/ w -

” h w i i ( ч §

-£ г -

щ

4

)

0I-2O)

где G(E, т;;

х, у) — функция Грина:

G(S,

Tj;

Л',

y )= g -2( i Tj;

X,

у) +

ft G.

tj;

x , у),

(Ц.21)

£2 (S.

V,

x,

y) = k ( rj )

6 F

у ,

1 -

ft (5, tj; x. у) — регулярное решение уравнения

(II.8) везде

внут­

ри области D u удовлетворяющее условиям

&(£(s); 7|(s); х, у)

== -

g 2(Z(s), tj(s); х , у),

ft, (5.

0; х,

у) =

0.

Функция ft (?, i\;

Л',

у)

представляется

в виде

потенциала

ДВОЙ-

ного слоя

I

а (£.

%

х,

у) = J

|j.(s,

х, у) A (s, Е,

n)ds,

’Де

о

dgi (S0(s), до^); €, д)

Л (S,

Е,

7))

drta _

= 7)0

йо

d s

_

dgi Go (■?), до (■?); 6,

д) tfEo.

dvjo

‘ ds ’

*

функция [x (s,

x,

у)

является решением интегрального уравне-

ия Фредгольма

второго рода

t. e.

ix(£, x,

у)

имеет

вид

i

|x(^, x, y) =

2g., ($((),

x, y) +

4 Г((, s)g-2(^(s), 7)(s); x, y)ds.

6

На

основании

(11.20) и третьего из

условий (11.19) непосредст­

® [у ( 0 ] + j 0>h (s)l S (у (t), s )d s = 8 (у (());

(11.22)

О

здесь

S (y (t), ч М ) = 5 ( у.

=

■ §

,

l

1

8(y) = '?(y) + j/ ( s ) 5 ( y ,

s)ofs+

jv (*)G (*, 0;

0, y )d t.

0

-1

Учитывая (II. 17), можно преобразовать искомую функцию

ш(у)

в новую искомую функцию coj (у) так,

что для

последней

полу­

чим уравнение Фредгольма второго рода

i

Ш1 (У) + J ®i h(s)] S* (у, s) ds =

В, (у),

(И.23)

о

Go (Е, ч; X, у) = ga (5, ч; X, у) —

g -2 (5, г,; х, у).

S*(y, Ч) =

20/гт] (■>) — ft) ( уп- + yh + №)

X

1 + Т ^ + Т ^

V F I —

— — —

1 1+ |у 3- 4^ ,/г

Л ' I 6 ’

6 ’ 3 ’

1

(У — л) М у ) = ®(у) + 6 j

(е2 + - ^ - у 3) ° -

-1

1

- ( i

+

6

v(5) dl-

4 ^ y 3)

F I —

— JL _L 1 —

1 + - 1 ;у3 - 4-У2 /1 - £ 3

1

6

6 ’ 3 ’

1 + Т / + у / /г^ 1 - 5 2

— г 1 - т У 3

X

<о (0) = ® '(0) =

0.

(11.24)

Задача III в силу (II.4),

(II.7)

и (11.24)

сводится

к определению

регулярного в области

D2

решения ит(х, у)

уравнения (II.8),

удовлетворяющего условиям

и г (х, 0) = х (х),

_ v ^

— 1 ^ х ^

(11.25)

«г(°> У) = 'Pi(У) — ш(У)> ~ (-| )

< У < °

1

Г

-I

__5_

и Г(*, у) = 25/3 Tl J

ит| х

+ 1 ( - у?Ч, o j

(1

-

f ) 6 d t +

д“ т [ х

л

i_

6

(11.26)

5л

(1

-

*2)

dt,

§

5. Задача

IV

При изучении задачи

IV

в общем

представлении (Н.Т) без

ограничения общности можно предполагать, как и

в

задаче III,

что произвольная

функция ш(у)

подчинена

условиям

(11.24).

В условиях (II.5)

функции

ф2 и ср4

также

без

ограничения

общности можно подчинить условиям

В самом деле,

если это

не так, то,

обозначив значения

ф,, <|м и

f u а также их

производные

в точке О через

а и b

соответст­

венно,

рассмотрим функцию

ий = а +

by,

которая, очевидно, удовлетворяет уравнению

(II. 1).

Заменив за­

тем и

на и — и0,

убеждаемся,

что для

соответствующих

значе­

ний новой функций справедливы условия (11.27).

Задача IV на основании (И.5) и (11,7) редуцируется к опреде­

лению

регулярного в области

D z решения ит{х, у)

уравнения

(II.8),

удовлетворяющего условиям

'

3/

(11.28)

/11.29)

ит\ос = ? (У )~ “ (У). “ ( f ) < У < 0 -

В

силу (II.7)

и (11.24)

имеем

/

ач

,

п.

, .

ди (а , 0)

дит{х, 0)

и (х ,

0) = ит(х,

0) = т (а),

— -^Г~ = -----Ту— = VW -

Из

формулы Дарбу

(11.26) на основании условий

(11.29)

получим

х

_ 5_

_ 5 _

х

_ _1_

71Аа/з J

х (t)t

6 (х — t)

6 at — 7г J

v (t) t

ь (л- — t) 6 dt =

Г / 3

\ ’Ч

— шj

Г

(

3

\ ’Ч

,

0 <J

a < 1 ,

(II.30>

0

Н

И

Н

~

И

5

5

0

7

, A

' ^ ( t ) ( - t )

6 (

* - a)

6 ^

-

T2 jv

(f)(—0

6 ( t - x )

6 dt =

F (x) = ^

. J L ]’ ф № _ t r ' d t

о

■т j\ (*)(je — *)

3 dt,

0 < а < 1 ,

(11.32)

, .

(— а)5/“

d

( д Г

’ W = — S Д - w

_ _2_

_ _1_

- | Д

£ 3 (£ — а)

3 dt

V/

X

+ Т j

v(0 ( t ~ a)

— 1 < а < 0 ;

(11.33);

5_

_

j>_

О

T i T h —

3 dtx =

t

_ JL

( t t H - n - t j

6 (it - E )

* А Х>у '>= ^

У J f o - * ) " { * - £ )

О

“ OO + IP

t 6 d t x

где

i

J,

•j|

д-(-У) ,a

g

5

ii

'

:i;(y) =

' p . ( y ) + 2 ^ ( 4 )

у

J

( - - J y 8 -

*

2)

X ^ . f k

- ' t ' i

+ Ф,

Т ^ Г ] } ^ " 3 ( * - * i f X -

Введя обозначения

Tf W

=

(2 *)

T *

ф* (x) =

(2x) -s/a6*

‘/з

— I — x

функциональное уравнение (II.35)

перепишем

в виде

5

5

t

(X) -

1 j (х2 - г-)

6 t*

d j

T Ш

(* -

f,) 6 dt,

= T*(x),

n

n

'

'

0

< x < 1.

(11.36)

;(x) =

, с

t 4 ( t )

2 h Г ■— а- Ф dt.

J

J

(x — tYlo

и

( * - 0 5'

j

dt = 2 3 <р*(х) + 2,/з J (ха -

t2)

6 t 3 8 Ш

dt. (11.37)

О *-Х ^

о

Теперь, как и выше, применяя формулу обращения

интеграль­

ного уравнения Абеля, находим

4Г

дг

5

1

х Ч ( х ) = х \ (х) + — ^ •~ f </з 8 ( А ) Л ,

V,

V - Л)'

о

(11.38)

х \

(л'} = 2 ^ Г ' ^ I т*

{х~ ^

6d L

о

Уравнение (11.38)

после очевидных преобразований переходит в

следующее функциональное

уравнение

_ j_

S (jc) — 2 2 8

К ( Х , * ) s ( - j ) <# + ? ( * ) ;

здесь

(11.39)

и

6 d с.

В функциональном уравнении (11.39) искомая функция o(.v)

не­

прерывна при 0 < л" < 1.

Для нахождения решения функционального уравнения

(11.39)

применяем обычные способы

итераций

[70] и

последовательных

приближений. За нулевое приближение примем

=

? (■*)■

Из этого равенства находим

X

I

х

2*

2*/а°° 1

2* f_l = СО f .

Отсюда следует,

что

,

V

1

[ X

3°(х ) =

i ! ^ ' 1 ± r LoV2*+т) '

2й'2

'

\ 2*

= 2 р я ? ( - £ ) -

k=0

В силу

непрерывности

функции ® (*)

в

замкнутом интервале

0 « х < 1

| ф(х) |< М.

Учитывая это,

имеем

со

|8oW I < ж 2 Д 5 = Л1^

£

т

=

ж *.

\ (х )

1

8 ,(4 ] = ? (х) - J L - j * 2 х 2 К { х, t) S0

dt.

2'/а

1\ 2

27/зЗя О

Функция К {х,

t), как видно из ее

выражения, при

t -*■О

стре­

мится к нулю

и достигает своего

наибольшего

значения

при

х = t\ это значение равно - j.

Таким образом,

К ( х ,

t) <

На основании этого и оценки 80(х)

для разности

З^х) — 80(х)

получаем следующее

неравенство:

I

8 i( x ) - S 0(x)| < М Ч ,

X = 3e(j/5_ _ i ) < l .

Строихч второе приближение 82(х):

1

32 (X) -

± 82

( - f ) =

<р(х) -

J

Г ' их~ Т К(Х,

t) \ (4 ) dt.

О

Отсюда находим

х

.w

= * . w - ?t

2 I

*2*" ’ *(?-■ ф . (4) Л.

или

82(х ) — 81(х) =