книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

n + p - r - [.

С А ( Х , У).

И (А ',У )= ^

(V .41)

k! < d < k.

(V.42)

Обратившись теперь к сопряженной задаче А0, получим

совер­

шенно аналогичный результат

k < d' < k ’,

(V.43)

Теорема 2.

Если коэффициенты уравнения (V-1) в области D

удовлетворяют

следующим условиям: 1) квадратичная форма

аа? + Ья$ + с?2

положительно определена; 2) яХ1.-г £,..у -Ь су}, —

~

а \х ~ Ь\у + 2^1 < 0, то

решение задачи А0 единственно.

. .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим однородную (/ = 0 )

зада­

Интегрируя это тождество

по области D и предполагая,

что

к полученным интегралам можно применять

формулу Грина,

на

основании условий

(V.2) имеем

J |их L udxdy + J J

Гаи х2 + Ьих и +

сi f -f

D

D

'■

+ у ( * й " у ) } ^

= т

j

( Ут1ш

а-| -А 5

,

_ да

ди

,

- Ш

1 d y ~ 2 W d f d x -

Интегралы

по ot и АВ в силу

условий

(V.2) исчезают. Далее,

так как

гг

п

да

=

0,

то

° ’ Т 01 Г

да

_да

dx

’

да

__ да

dy

На °2'

дх

дп

dn

ду

ду

dn

На основании этих

соотношений, используя известные

равенства

dx

dy

d x

dy

ds

dn

’

dn

ds

’

получаем

du'2r

* ■ (£ )

+ (Sr)

dy >

0.

(V.44)

dn

Учитывая тождество

a x~\-

T

y ) tLUx

+

[ i

r b x +

c >

r

гггг., =

2

+

~

y -

(a x +

- T b y ) u* JA*

~o~b

+ T

— b x + S 1 ^

— ~ 2 [ a x x + b x y + c y y ) “ 2>

a i t l l l x

“b b \U U y

~

~2~ { а \и 2 ) х

“

(^1 “2)y

2~

*ly) U >

141

окончательно

имеем

/ + |j {аи\ +

bux иу + cuzy ^ d x d y —

- 4 " J J

К - + Ь * у +

с уу ~ a u - “ Ь ' у + 2 c i ) а Ч х Л У = ° -

«о (■*. У) =

JJffo

(*•

Ч х ’ У)/(Е. v)dtdri

D

является решением уравнения (V.4).

Решение задачи (V.4), (V.3)

ищем в виде

И («К, у) = W (х, у) + и0 (х, у).

Тогда функция w (х, у)

удовлетворяет уравнению (V.7) и

крае­

вым условиям

w\ = — и,

dw

=

0, dw

(V.45)

Ос'

ду АВ

дп

где JN (х,

у;

Е, у) — вполне

определенная

функция,

выражение

которой

можно

выписать.

Следовательно,

решение

задачи

А*0 для уравнения

(V.4) запишется так:

и (х, у) = J J

Nt (х, у;

Е, ч)/(Е,

т,)Л d %

(V.46)

здесь

D

Ni (X, у;

Е, 7]) =

N (х, у;

Е, tj) +g*0 (Е,

■>?; х, у).

Перейдем

к рассмотрению задачи А*0 для уравнения

(V.1).

В

силу (V.46)

и (V.3) задача

Лд для уравнения

(V.1)

сводится

к

К *и = и (х, у) —

(х, у; Е, г,) и (Е, т?) d; dy =

= |Л/*(х, у;

s) у (s)ds +

у; Е)т(Е)йЕ + ^ ( * ,

у),

(V.47)

Со

—1

где

А *

{х,

у;

Е, у})

— (a i^ i)e+

N* (x,

y;

s) =

N t (x, у; E(s),

r, (5)) [flwj/2(s)

-

~b\'{s)-n' (s) +

cE'2(s)],

T { x t у;

E) -

/ \

du

> T (E) — м (E, 0),

^ s) =

^ r

F ( x ,

y) = j J

N±(x, у;

E,

ri) jf(E, yf) dE flfy.

Отметим полную эквивалентность

задачи Лд и уравнения (V.47).

З а д а ч а Лд. Требуется определить

регулярное в области D

решение v ( x , y ) уравнения

(V.14),

удовлетворяющее

краевым

условиям

dv

v

= 0

* L

= 0,

= 0.

и’

ду

АВ

дп

Задачу Л0 будем

называть сопряженной задачей к

задаче

Л0

Для задачи Лд справедлива следующая теорема,

аналогичная

доказанной в предыдущем параграфе.

Теорема 3. Задача Л*

для уравнения (V.1)

является

задачей

фредгольмового

типа, т.

е-

однородная (/ = 0 )

задача Л*

имеет

j j /(*, у) v] (х , у) dxd y = 0,

i = 1, 2,..., k',

(V.48)

D

где тЛ

v k, — полная система

линейно

независимых решений

однородной (Д = 0) задачи Л *,

причем

число

линейно

незави­

симых решений однородной задачи Л* также равно к'.

Необходимость условий (V.48) проверяется

непосредственно.

Докажем

их достаточность. Приняв обозначения

У) = f N * ( x , у; s )p (s )d s ,

т* (х, у) = j Г (х,

у; t) х (t) d t ,

-1

условия

разрешимости уравнения (V.47) можем записать

в виде

jjtp * (л-, у) [n* (х, у) +

х’ (х. у) + F (x ,

у)]

= 0;

(V.49)

здесь

<pj — полная система линейно независимых

решений одно­

уравнения (V.47) представляется так:

и (х, у ) =

R* (F + р * + х *) +

2

( х , у ),

(V.50)

где

i=i

R * F = F ( x ,

у ) + и ^ ? *(х , у;

$,

t\)dldt\,

/ ? * ( х , У; ^ — обобщенная резольвента,

иДх, у), как и

в слу­

чае задачи Л, — полная система линейно

независимых решений

однородного уравнения (V.47).

функции p(s0)

=

I* ( s0) “

( so. s) !A(s) ds = F i ( so) +

+

j ‘7'1(s 0, t )x { t) d t + '2i a J vJ

[s 0),

(V.51)

- i

;=i

где

JJ N2( s„; 5, y\)f (6,

Fi (s0) =

rj) d\df\,

Л^> ( s0, S,

-q) — вполне

определенная

функция,

а

Я* ( sQ,

s) и

Ti (s0, t) — фредгольмовы

ядра.

заключаются

в сле­

Условия

разрешимости уравнения (V.51)

дующем:

j x ' I К

)

Л ( М

+

-i

( so>* ) • = ( * ) < # + 2 ®

J M

so)

d s Q= 0,(V.52)

с.

L

i

= 1, 2,

j=i

здесь

X/ ( so) — полная

система

линейно

независимых

решений

сопряженного однородного уравнения,

соответствующего

урав­

нению (V.51). При выполнении

условий

(V.52)

общее

решение

уравнения (V.51)

записывается

в

виде

К*о) =

Г*

1

F d s 0) +

j

Ti(sQ,

dt

+

-1

V

'i+p

+

2

ai

v*i ( so) +

2

(

s°)>

(V,53)

где

1=1

t=v+l

f '' Л

= F,

(s 0) +

i r> ( V

s) F t (s) d s , v ) (

s„)

= Г ■Vj,

"a

Г* ( s0, s) — обобщенная

резольвента

ядра

( s0,

s'), через pv+1,...

•••> РУ+р обозначена полная система линейно независимых

реше­

ний однородного

уравнений М* р =

0,

av+1,..., а ч+

— произволь­

ные постоянные.

Функции

v } (

s 0 )

( j = 1 , . . . , v )

и (Аг ( г

=

v -

f 1 , . . . ,

v + р ) ,

очевид­

но, линейно независимы.

записать так:

В силу (V.53) функцию р* (х , у) можно

I** (•*,

У) = F2 (-П у) +

j Т2(х,

у,

t)*(t) dt +

2 а * р* (jc,

у);

-1

/=1

здесь

F2(x , у) =

j N* (х,

у, s ^ F ^ s J d s

= § \ n 3(x , у;

$, у))/(;,

y\)d\ d-q,

са

D

То (х, у,

t)

= j

N *(x,

у,

s) Г*

7\ (s,

t)ds,

аа

Pj (•*. у) =

J

n * ( x , у,

s ) v 1 (s)ds,

j =

1 ......v,

ca

(*,

У) =

j V

(■*. У, s) p, (s) ds,

j =

v + 1,...,

v + p.

a .

10-11

145

Т (jc) —

J 5 (X, t ) x ( t ) d t =

F s (х) +

2

bjV-** (■*),

-1

j=i

где

5 (х,

t)

= /?* [7 (х , у,

t) f

Т2 (х, у, ^)]3,=0,

F3 ( x ) =

R * ( F

+

F2) v=0,

|x‘* ( x ) =

Ж [X* (х,

У)|у=0,

у'

= 1 ,2 ,...,

V + /? ,

через (х^.р+1,...,

{х*+р+п обозначены

для

единообразия функции

lh (х, 0),..., ип (х, 0), а через

Ь} (у =

1,

2,...,

'>+

Р + п) — посто­

янные а.

(у = 1,...,

v -(-у?)

и a.

(i = 1

, . . . , п).

Среди

функций

V-j (х ) (у = 1,...,

v +у? + п) могут

оказаться

линейно

зависимые

между

собой,

несмотря

на

линейную

независимость

функций

Ну (■*> У)

( j = 1,...,

v + р )

и и{ (х,

у)

(i =

1,..., п).

Допустим,

что

первые q из этих функций — линейно независимые, а

остальные

линейно зависят через них. Тогда предыдущее

уравнение

при­

мет

вид

т (Л') —

| 5 (■*, t) Т (t) dt =

F3 (х) + 2

b * У*(х),

(V.54)

- i

j = i

где

постоянные

b*

выражаются

через

(у =

1,..., п

р + v).

Уравнение (V.54)

имеет решение

тогда

и только тогда,

когда

правая его часть удовлетворяет условиям

j 4 w

dx = 0, i — 1, 2,..., m,

(V.55)

условия (V.55) представим в виде

ч

(V.56)

2

ь) mvs = £v

т,

;= 1

где со;;. — определенные

постоянные, не

зависящие

от функции

/(А ', у ).

а (а < q, а < т ) .

Предположим, что ранг матрицы ||и>г;.|| равен

Тогда условия разрешимости системы (V.56) будут

заключаться

в том, чтобы

%+J + 2

еп Е' = ° > j =

2. - . т -

а-

(у -57)

ч)/(5, n)d\d-n = 0 , j = l , 2 , . . . , m - < r ,

(V.58)

D

жет

быть меньше т — а, так как мы не

можем утверждать, что

все

функции -к. (£,

т;) являются линейно

независимыми.

Предположим, что условия

(V.58)

и,

следовательно, (V.57)

выполнены. Тогда

система

(V.56)

разрешима относительно

,..., Ъ*а и ее общее решение будет иметь вид

* ; =

i

M

j

+

i

x

v

г - 1- 2 ..... »•

;=a+i

;=i

где Ьц, M.j — определенные

постоянные,

не зависящие от

функ­

ции f { x , у).

преды­

Если теперь внести в правую часть уравнения (V.54)

дущие значения постоянных Ь*

,...,

Ьа ,

то

полученное интеграль­

ное уравнение будет разрешимо

при

любых значениях

произ­

вольных постоянных b*a+v...,

b q

и его

общее решение можно бу­

дет представить

в виде

m~\-q—3

Т (*)

= Ft (х) +

2

ci

(х )>

(V.59)

i=l

где

= J j

Ft (х)

N 3 (х,

S,

т))/ (5,

г/) d\ df\\

нения

(V.54);

(^ — произвольные

постоянные;

через

ст+1, ...

...,

обозначены для

единообразия произвольные

постоян­

ные b]+v..„ b*q,

а через xm+1,..., ^m+q-* — вполне

определенные

функции, не зависящие от функции / (х, у).

Функции х. (х) (г = 1,..., т +

д — а), как легко

видеть,

линей­

но независимы. Функция x(x),

определяемая

формулой

(V.59),.

должна еще удовлетворять условиям (V.49) и

(V.52).

Удовлет­

ворим сначала условию (V.52).

С этой целью правую часть урав­

нения (V.51) обозначим через J

(s0). На основании (V.59) функ­

ция J

(s0)

представляется

в виде

m+q—я

v

J

( So) = jP5 ( So) +

2

V

l ( 5o)+

1=1

j = l

где

FA so) = i i A/-i(so’

A f (*• *»)Шг>' A ( so) =

D

=

Jf7*! («O'

*)

N4(s0,

к;)— вполне определенная

функция.

Предположим, что

функции х* ( s0) и v. ( s0) линейно

незави­

симы, в противном случае, как и выше, можем оставить

только

линейно

независимые,

выразив зависимые через независимые.

Для

удобства обозначим функции v v ..., t/v через 'гш+9_я+1 ,... >

W

- н '

а постоянные а х ......а ч -

через

cm+q_ ,+1,... , cm+?_3+v.

Тогда

•/( so) = р 5( 5о) + 2

ci x*i ( so> mi = т +

Ч ~ ® + v-

(V.60)

2 с .а и = ^, i = \,

(V.61)

имеют

вид

Я р* (I -о)f t ,

ri)dldyi = 0, у = 1 , 2,..., r„ r t < p — г,

(V.62)

D

где pj — вполне определенные функции,

не зависящие от

функ­

ции /,

выражения

которых легко можно

выписать. При выполне­

постоянных C

j сг . Учитывая

это

обстоятельство,

функцию'

p(s0) можем представить в

виде

v+p

Р ( s0) =

( s0) + ^

V 0

К ) +

2

(v -63>

j = r +1

i=v+l

где

F6 (s0) =

Я

Л^5 (s0, c,

-/})/(£,

v) dld-q,

D

Ns ( s0, I, Vj) — вполне определенная

функция, ^

( s0) =

f V * ( s0),

^ ( s0) (у =

г +

1,...,

—некоторые линейные комбинации функ­

ций ^

(s 0)

=

1,...,

/rtj); функции тj { s 0) (у = г +

1,..., /»j),

рг ( s0)

(г = v + 1

v + р ) ,

как

нетрудно

проверить,

линейно

неза­

висимы.

(V.63)

окончательное

выражение

функции

На

основании

Р * ( х ,

у) имеет вид

p+m.-r

р* (х, у) =

F* (JC, у) +

2

**Г (■*• У);

здесь

i—1

F * (*,

у) = J ЛГ* (л, у,

s0) f * F 6(s0) ds0;

через

с\,

ср+т _ Г

обозначены постоянные а*+1,...,а*+ри сг+1,...

..., с

. В силу

(V.59)

функция т* (jc, у) примет вид

__

m-~-q—z

т* (JC, y ) = F ( x , У) +

2

С1 ТГ (•*• У).

где

^

i= l