книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

здесь

' (Е, Г,

У) = P(Z,

v; у ) + J [go (Е, 4;

Ei (s),

Vi Г*))

+

P (l,

TR \ ( s )

)] Л [° ( М * )>

T}j(s); x,

y)]ds.

В силу

(V.6) й (V. 11)

решение задачи

Д

для

уравнения

(V=4)'

Представится

так:

и ( а

, у) =

J J

S , ( а - , у;

X,

7j) f{%,

т))dld-r\,

(V.12!)

где

5, ( а ,

у: Е, т}) = 5 (Е, 7j;

у) + £ 0 (Е, г, х, у).

а ,

2. Задача А0 для уравнения (V.1). Теперь переходим

к изу­

чению Задачи А0 для уравнения

(V.1).

На

основании формулы

(V.12),

краевых

условий

(V.2) и 5, (Е, 0; а ,

у) —0 задача

Л0 для

Ки = и

( а , у) — J j

К ( х , у;

Е,

г ;)

и (Е,

tj) dXd-q =

=

J

S * ( а

,

у; s) ji(s) ds + f *

(-v%y),

(V-13)'

где

K {x ,

y;

E,

rt) =

(ttjS,); +

(6,-S^

ClSj

S * ( x , y, s ) = S t

( а

,

у;

E(s),

7j(s))

[a(E(s),

tj(s) ) t/2(s) -

- * ( E ( s ) ,

•'/(s))E, (s)-']/(s) +

c(E(s), 7i(s))E/2(s)],

, .

Ou

, /* (x,

У) = J*j

S t (а,

у;

E, T})/(E, tj) dEcfTj.

p(s)

= * r

Следует отметить, что имеется

полная

эквивалентность

между

задачей А0 и уравнением (V.13).

Сопряженное с (V.1)

уравнение

(в

смысле

Лагранжа)

име­

ет вид

W

( - У " Ч « “

Vyy) +

(a v h x + <b v hy +

(™)уу

-

М

*

-

( V

) y + с{°

= Л (* .

у)-

(V.14)

С опряж енная

задана А0.

Задачу

нахождения

регулярного в

области D решения уравнения (V.14),

удовлетворяющего

крае­

вым условиям

dv

v \a b

= 0 ,

= 0,

(V.15>

4

=

° ’

ш

будем называть сопряженной задачей Д

к задаче

Д .

Теорема 1. Однородная

(/ = 0)

задача Д,

имеет

конечное

число линейно независимых решений,

а для разрешимости не­

однородной задачи Л0 необходимо

и

достаточно,

чтобы выпол­

нялись условия

y)vt {x, y )d x d y =

0,

i — 1, 2,...,

k!,

(V.16)

D

где

vl{, — полная система

линейно

независимых

решений

однородной (/, = 0) сопряженной задачи Д,.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость условий (V.16)

проверя­

ется непосредственно. Докажем их достаточность

и конечность

числа решений однородной задачи Л0.

Нетрудно

проверить, что

ядро К (х,

у; ?, г() уравнения

(V.13)

является

фредгольмовым.

Следовательно, если на время

считать

известным

выражение

I1* (-V-, у) = j

S* (X, у, s)

(5) ds,

J J ’<?/(*. У) [>*(■*, У)+/*(■*. y)]dxdy =

0, i = 1, 2,..., п,

(V.17)

D

где® .(х, у) — полная система

линейно

независимых

решений

однородного сопряженного уравнения

?(*> У) — f

т,

х, у)?(?,

r,)did'q = 0.

' d

а {х, у) = R f * +

+

2

а. и. (х, у);

(V. 18)

1

здесь через R обозначен оператор,

определяемый

формулой

R f * = / :i: (л*, у) +

у

;

S,

T()dSrf7},

D

R {x, у\ %, ■/j)— обобщенная

резольвента

уравнения

(V. 13), аг—

*11

131

■Вычислим нормальную производную

функции

и ( а*,

у ) ,

опреде­

ляемой формулой (V.18), в точках

дуги

о2. Для

этого

прежде

всего необходимо

выяснить возможность дифференцирования под

знаком интегралов, входящих в формулу

(V.18),

и

перехода к

пределу

при (х,

у ) - > з 2 .

Заметим,

что

в

выражение

ядра

К (х, у\ S,

rj) и функции S *(x , у; s)

входит функция

(х, у; £, yj),

которая состоит из двух слагаемых S(S, -/?;

х,

у)

и £•„($,

тр х, у).

Из вида функции S(i, ч; х,

у) следует, что

в

тех

слагаемых

формулы (V. 1S), где имеется эта функция,

производные по х

и у

ходить к пределу при (х,

у)->-а2 в

выражениях

и

, как в

случае задачи А (гл. III), произведем интегрирование по частям,

при этом учтем, что

£о(6, Т, (0), •/], (0)) =

Tj;

(/),

Tll (/)) = P(t,

Y,; •/), (0))

=

=

P ( t , v;

■»ii(/))

= o.

по х и у

под

знаком

интегралов

и перейти к

пределу

при

(х, у)-9-о2.

Теперь рассмотрим одно из слагаемых формул (V .18),

которое содержит вторые производные функции g-0(?,

yj; х,

у):

J

=

S J [а 5 * («•

т<’ s) 8аи +

b S * («. ГГ> s) S0^ +

+ cS* (£,

Yj; S) g {)m] dld-q.

Из выражения функции 5(«,

x,

у) легко заметить,

что

5(5, ■/); х, 0)

= 0, 5 (I, yj; х ,

у)|, =

- g Q($, r,; х ( s0),

у ( s0)), s0ea.

S* (х, 0, s) = 0,

S* L = 0 при (х,

у) еа.

Имея в

виду

эти

равенства,

проинтегрируем

выражение

J

по

частям.

Получим

J =

~

I J { [(«•$*). +

(W*)„ ] g 0, - {cS*\ g0l)) d\d-q.

Этот интеграл,

очевидно, можно дифференцировать по х

и у,

а

затем переходить

к пределу при (х,

у)-э-а2.

В формуле

(V.18)

/ имеется

еще слагаемое типа J,

только

с тем отличием, что вместо

S* (£> 7Ji

s) содержится Si (£, -q;

%и т}г).

Такое слагаемое дифферен­

Mli = |x(sn) - f/?1(s0,

s)|i(5)=/‘ (s0)+

2а,г>,(50),

(v-19)

J

i=i

где

d5*(A'(s0),

у (s0),

s)

R 1( s0, s) =

+

dn

dR(x (sft),

у (sn); ?,

vj)

S* (£, vj, s) d%d-q,

+

dn

Л

( So) = J j X

( S Q\

7i) / (*>

ч) d \

du,

d - q ,

V t

D

< 3 5 , (A-( S o ) ,

y

( s „

) ; 5

,

T|)

*^2 (S<>,

7i) —

Oil

+

•d/?(.ic (s„), у (s0); «ь -'ll)

(?i!

’^li

'q)d<,ld'qY.

cht

Отметим,

что ядро интегрального уравнения (V.19) может иметь

ции и.1(х,

у) линейно независимые, среди

функций

могут

оказаться линейно зависимые между собой.

Пусть

первые v

из этих

функций

линейно-независимые, а

остальные линейно зависят от

предыдущих, т. е.

v t =

2

l ‘JVP * = v + Ь - , п.

м i

На основании этих соотношений

уравнение (V.19) примет вид

^ = / ; ы + 2 “,ч -< л ) .

(v -2®

где

m i

а i ~ ai

+

a i h r

(V.21)

i - '-И

Условия

разрешимости уравнения (V.20)

заключаются

в следу­

ющем:

7Ч (5) /J (s) +

2

vi (s)

ds = 0,

i = 1, 2,...,p;

(V.22)

Ml

I У.1 {s)/ I (s) ds = 3.,

j -ц (s) Vj (s ) d s = — лц ,

3,

за

убеждаемся,

что условия

(V.22) имеют

вид

2 v

!

-

V

<

- u

......р .

(V.23)

1

г < р). Не

Пусть ранг матрицы |[ а.^Ц

равен r ( r <v ,

нарушая

об­

щности,

можно считать, что

определитель матрицы

1Ы|> l' J =

отличен от нуля. Тогда,

как известно, условия разрешимости

системы

(V.23)

относительно а 1

а.:

заключаются

в том, чтобы

а п

..

> i

■ а 1 г

“ 21

а 2 2

°>1

Я Л2

.

Л

3

•

Г Г

'

г

а

, .

* r + J .

.

а

. .

8

, .

Г - г / .

2 •

1 r - T j

при у =

1, 2,...,

р

— г,

или в раскрытом

виде —

Г

(V.24)

£

-1

где тд — вполне

определенные

постоянные,

не зависящие

от

функции

/ *

(s),

т.

е. от f ( x ,

у).

Внося в равенства (V.24) на

место

их

выражения,

убеждаемся, что условия разрешимости

уравнения (V.20)

имеют вид

j j '/ y

0. 7<)/(?,

г,)didr, =

0, j

=

1, 2,..., р

(V.25)

где

т<) =

J

(5;

\

V.r+j{s )

+

2

T/i Zj (s )

flfs.

I -1

решима относительно а * ,

а 2

,...,аг ;

самое

общее

ее

решение

найдем,

оставив произвольными

постоянные а*+1,..., а .,, которые

в дальнейшем обозначим

через

b v ...,

Ь._г, и

решив первые

г

уравнений системы (V.23)

относительно а

*

а г . Общее реше­

ние системы (V.23) будет поэтому иметь вид

«; = 2 - V

ь, +

2

в и ь - 1 =

1 ■2..... г ;

<v -26'

7 = i

y = i

здесь Ац, ^ . — определенные

постоянные,

не

зависящие

от

функции /* (s).

Внеся в правую часть (V.20)

на место

о*

их

выражения

из

(V.26), приведем уравнение (V.20) к

виду

= Л ( so) +

2

bi V’i ( s°)'

(V,27)

где

7 = 1

/ а (« о ) =

Я 5 з ( 5 0; $ , • » » ) /( « , ^ d l d - q ,

D

s3( 50;

ri) = S2[ S0; l,

r/j +

V

( x0) f

(s;

(s) rfs,

£

Г

( so) =

2

( So) + v r + i

(

—

< - ,( so) =

7 = 1

= 2

Л/ -^ 7 ( So) +

( so)-

7 = 1

Функции

t i , * очевидно,

линейно

независимы.

Теперь

уравнение (V.27) разрешимо при

любых

значениях

постоянных

b v ..., b.i

r. Общее

решение этого уравнения

можем

представить

в виде

v — Г

ч — Г -\ -0

^ ( s0) = А

( s0) +

2

bi

( А +

2

b i ^

{V-28)

7=i

i=v-r+i

где

A ( So) = f%( So) + J Г ( V

s) Л (s) ds>

«ч

*

А

*

! >2,...,

V-

г,

V-j ( V) = v j ( 5о) +

J г ( «о*

(s) ds> j =

°3

Г (s0, 5) — обобщенная

резольвента

ядра

^ (s0,

s);

функции

\>‘j ( s 0),

очевидно,

являются

решениями

уравнений

М у =

V . .

Через у,_г+1, Рч_г+р

обозначена для единообразия полная сис­

тема линейно независимых решений однородного уравнения

Му =

О,

а через 6.,_г + 1

Ьч_г+р — произвольные постоянные.

Теперь

легко

убедиться,

что

все

функции

у;. ( $0)> У = 1,...,

v — г +/?

и, значит, все

= 0,

i — ■>— г -f 1,...,

v — г -f р.

На основании

(V.28) функция у* (х , у) принимает вид

|i‘ (х, у) = (х, у) + 2

bj у* (X, у),

(V.29)

где

У=1

/3 (■*,

У) =

J s ^ (JC,

у;

s)/‘ (s) rfs, у* (X , у)

=

=

J S* (j:,

у;

s) y;. (s) ds.

9

b---< V ~ r + p .

p, (x, y )= 2

ач Py (x' У)> '' =

<? +

Внеся эти функции в формулу (V.29), получим

Р* {х.

У) =

/ 3 {х, у) +

2

Ь]

Ь (х' У)-

(V •30)

где

У=1

v-r+p

^• =

^ - +

2 6' ау ’ у =

1'

2..... <7-

г=и -1-1

Функция (а* (х, у), определяемая формулой (V.30),

должна еще

вместо р* (х , у)

ее

выражения (V.30) и принимая обозначения

5S?t(x, y)Vj{x,

y)d x d y =

— 9гу, / = 1, 2,..., q

D

(V.31)

jjcp .(x,

y ) f A(X, y) d x d y

=

0 .,

i = \ , 2 , . . . , n

и

f*(x , y) =

Jjs < (x ,

y\ 5,

-/))/(£, i\)d^dij,

D

s* {X, y, 5, v) =

S, (x,

y\ i, -/i) +

J s * {X, y\

s)

S 3(s; 5, ^i) +

+

J r ( s ,

s ,)S s(s,;

5,

f d d s l

ds,

приходим к системе

алгебраических

уравнений

относительно

......bV-

2

°ц b) = V

* = 1 . 2 .... л.

(V.32)

У*=1

Пусть

ранг матрицы ||9г;.|| равен р(р < §',

р<

/?-).

Не

нарушая

об­

щности, можно считать,

что

определитель

|6f/J, t

J =

2— >Р

отличен от нуля. Тогда

условия

разрешимости системы (V.32)

относительно b * , . . . ,

b q

записываются

в

виде

\+1 +

2

dn \ =* °>

J =

Ь 2,...,

л -

р,

(V.33)

/ = 1

где

— вполне

определенные

постояннее,

не

зависящие

от

функции /(х, у).

|JФ, (*'

У) / (л‘. У) й х а У = О,

J =

1, 2,..., п -

Р;

(V.34)

и

здесь

■>; (X, У> =

I

I

St (Е,

X, У )

г

1

-о

Из соотношений

(V.34)

нельзя

заключить,

что

число

условий

разрешимости

системы

(V.32)

равно п — р.

Оно

может быть и

меньше,

чем п. — р, так как среди функций

(лу у),

j =

1,2,...,

..., п — р

могут оказаться линейно зависимые

между

собой.

Предположим, что условия

(V.34) и, следовательно,

(V.33)

выполнены.

Теперь

система

(V.32) разрешима

относительно

Ьу ,..., Ьг и ее

общее

решение представляется в виде

=

2

Еп

+ 2

FJ*

Ь 2,..., р,

(V.35)

i - р + i

/0 = 1

где Ejv

Fjk — определенные постоянные,

ие зависящие

от функ­

ции / (х,

у). Теперь,

подставляя в

соотношение

(V.30)

вместо

можем представить в

виде

У (х , у) = / 5 (х, у)

+

^

b* wt (х,

у);

(V.36)

здесь

г=Р+1

Л ( * , у) =

j j 5

5 (х, у;

|, •/))/(?,

- fite d -t],

D

5 3 (х, у\ ?, 7}) =

5 4 (х,

у;

S,

7}) —

(х,

у; ?,

tj) +

+ 2

F i -

{' Х ’

(Т?*(Л'' У) s4(** У ;

5, т?) cfxrfy,

j, к=1

J J

wi (*>

у) =

^ (л'о у ) + 2

^

(** у)'

г‘ =

р + 1 ... -

/■=1

Функции те/, (х, у), очевидно, линейно независимы.

На основании

(V.36)

общее

решение уравнения (V.13), эквива­

лентного задаче

Л0, принимает вид

и (х, у) =

/? [/" (х,

у) -f- /3 (х,

у)]

-)-