книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

угодно малой

длины дужками нормального контура, задача дС

редуцируется

к системе сингулярных

интегральных уравнений,

содержащей,

кроме сингулярной части,

и регулярную. Поэтому,

эквивалентна

системе

сингулярных интегральных уравнений

(IV.35).

Если

же

значения искомой

функции

будут заданы на

кусках

характеристик

одинаковых

семейств,

на ОС и OD или

на AD

и ВС,

то

в принятых выше

обозначениях относительно

а у {х, +

0) =

р, (*) иу {х, — 0 ) + Ъ 1(х),

0 < х < 1 ,

« ( + 0 ,

у) =

«2(у )“ (— 0,

у) + 42 (у),

о < у < 1,

и ,( + 0 , у) =

Р2(У)«*

( - 0 ,

у) + \ ( у ),

0 < У < 1 .

Задача дС, а также

другие

упомянутые выше смешанные задачи

с такими разрывными условиями

склеивания

при некоторых ог­

рим

уравнения

^ £ , « = 0,

(IV.41)

~ L 2u = 0,

(IV.42)

где

1 — sgn у

1 + sgn у

„

L xii =

tt

2

1уу

"

2

1

У'

т

____ 1 + sgn у +

(1 — sgn у ) у „

,

1 -

sgn у „

1 + sgn у

„

~

2

"'.1-Л-

2

11уУ

2

У

Пусть Д — область,

ограниченная

отрезками

АВ,

В В 0,

В 0А0 и

AqA прямых

у = 0, х = 1 , y = h

и х =

— 1. Точку

пересечения

отрезка Л0£ 0

с осью

у обозначим

через

N (О, Л).

Через

D-, обо­

В и пересекающимися

в

точке С. Из точки О (0, 0)

проведем

две характеристики

различных

семейств

уравнения (IV.41) или

(IV.42) и точки

их

пересечения

с характеристиками

В С и АС

обозначим

через

Д

и

С2 соответственно. Пусть

Д , — область,

ограниченная

контуром ОС2ССхО. Совокупность

областей Д

и

D2 вместе

с открытым отрезком АВ обозначим через Д.

З а д а ч а

Г.

Требуется

определить функцию и(х,

у) со сле­

дующими свойствами: 1) и (х , у)

непрерывна в замкнутой обла­

сти D ; 2) и (х ,

у)

имеет непрерывные производные и х, иу в об­

ласти Д за

исключением, быть

может, характеристик ОС,

и

ОС2; 3) функция и (х , у)

является регулярным решением урав­

нения (IV.41)

или

(IV.42)

в области D

при у=^0 и 4) и(х,

у)

удовлетворяет условиям

aU . = A(y).

«1№= Л (у).

«1ос. =

(v)

(IV.43)

И IОСа= ^2 (у)>

U IciV = ? ( У )

где А ,

/2.

Ф1,

Ф2

и

? — заданные гладкие

функции,

причем

ti (0) =

*2 (0) =

<р(0).

решение

уравнения (IV.41) или

Заметим;

что

регулярное

(IV.42)

в области Д

при у =/=0

может быть представлено

в виде

и (х ,

y) =

v (x , у) +

со(у),

(IV.44)

где v(x, у )-- регулярное

решение уравнения

или

L tv = 0

(IV.45)

L 2v

— 0,

fIV.461

?(У) =

?1 (У).

j ®i (У),

У > 0 ,

?2 (У),

ш(У) = I Ш2 (У),

у < 0,

причем ©, (0) = ©2 (0),

ш, (0) = и>2 (0)

и функция

(у) один раз, а

ш2(У) — Два

Раза непрерывно дифференцируемы.

Отметим, что

функции ш, (у) и ш2 (У)

без ограничения

общности

могут

быть

подчинены условиям

(0)

■0,

ш2 (0) = ш2 (0)

- 0.

Кроме того,

/. (0) = Л (0) =

© (0) =

ф, (0) =

фа (0) = 0

(IV.47)

<?2 (0) =

ф| (0) =

Ф2 (°) =

0

что также не нарушает общности предположения.

Отметим,

что решение

уравнения (IV.41)

или

(IV.42),

удов­

лена неизвестная

функция ш,(у). Это означает, что при б, = ф2=

= ©2 =

0

ш2(у) =

0.

Следовательно, решение задачи Г, согласно

представлению

(IV.44),

сводится

к

нахождению регулярного ре­

шения

в

области

Д 4

(при

у=^0),

ограниченной

контуром

OCxBB qAqACvO уравнения (IV.45) или (IV.46),

удовлетворяющего

условиям

и 1.4ло

= А (у) -

“ iOO. v U

= А (У) -

Ш1 (У)

(IV.48)

® Iojv =

?! (

-) Ш1 (У)- ®1ос, =

Ф*(у). v loc, = Ф2 (У)[

У

где ф* (у) =

б, (у) — а)2 (у), ф* (у) =

ф2(у) — со2 (у) — известные

функ­

ции, а функция to., (у) пока неизвестна.

На основании

принципа

экстремума

Бицадзе

и

известного

принципа максимума для

параболических уравнений,

рассуждая

так же, как и при

доказательстве

единственности

решения за­

дачи

V

(гл. II),

легко

убеждаемся,

что

однородная

задача

Г (/, = /2 =

© =

ф, =

ф2 =

0)

не

может

иметь

отличного от нуля

решения. Отсюда следует единственность решения задачи Г.

2.

Существование

решения

задачи

Г. Будем

предполагать,

что функции ф,, ф2,

©2

дважды

непрерывно дифференцируемы в

случае

уравнения

(1V.41), а в случае

уравнения (IV.42)

ф,, ф2

пять раз, ©2 четырежды

непрерывно дифференцируемы, а функ­

ции /ь /2

непрерывны, ср4

непрерывно дифференцируема.

т' (х) + v (х) =

2 J L

(| ), -

1 < * < 0 ;

(IV.50)

в

случае

уравнения (IV.45)

Л-

_ _1.

■Z{x) =

k \

( x - t )

3 V(t)dt +

Xl И ,

О < Л <

1,

(IV.51)

О

0

- L

X (X) =

k j

(t - X)

3 V(t) dt +

X2 (*),

— 1 < -*<0,

(IV.52)

в

случае

уравнения

(IV.46),

где т:{х) =

ъ ( х ,

0), v (л) =

v y {х, 0),

м

т

' П

" .

L

J

Ъ (X) :

( - Х ) 516 d

[ - ( *

/ )

" ] *

2*71

x" C * ) - v(jc) = 0.

(IV.53)

х ( -

1) =

х(0) = х(1) = 0.

(IV.54)

В случае уравнения (1V.45), исключая

функцию v(^c)

из (IV.49),

(IV.50), (IV.53) и решая полученные уравнения

относительно х(х)

в промежутках — 1 < х: < 0, 0 < х < 1,

получаем

X

X (X) =

2е~х

j б* ^

е* d t -

-1

- 2(1T ^ l " 1)

]' ^

(5-) e<+1 dt, - \ <

x < 0 ,

(IV.55)

-1

1

X ( * ) = 2ex j* 6*

e~* dt —

X

2(1 r ^ \ ^ [ - - j ) e ~ t+1dtt 0 < х < 1 .

(IV.56)

-V

1

т (х) — J (х — s) v (s) ds — х

J (1 — 5) v (s) ds, 0 < х < 1,

(IV.57)

и

и

: (х) =

j

(s — x) V (s) ds +

X

f (1 +

s) V (s) ds, — 1 < x < 0.

(IV.58)

-i

Исключив функцию

x (x)

из

соотношений

(IV.51),

(IV.52) и

(IV.57),

(IV.58),

получим

• V

X

>(x) — X | (x — s) /av (s) ds =

Ф! (x) — lx'u j (1 — s) v (s) ds,

(IV.59)

и

и

(x ) — ^ J

($ — 'V'),,!,v(s)rfs =

Ф2 (x) — X(— х),/з j (1 + s) v (s)ds,

где

(IV.60)

Ф,

u

Ф

Заметим,

что в

силу

предположений

относительно

заданных

функций

®i (х) g С(0 < х <

1) п С2(0 < х <

1),

Ф2 ( х ) е С ( -

1 < х < 0) п С2 (— 1 < х < 0),

(•*),

Ф2 (х) могут иметь особенность

порядка

не выше

4 - при

х - + 0 .

После обращения уравнений

(IV.59),

(IV.60)

типа

Вольтерраv

имеем

v (х ) — * j k\ (х,

s) v (s) ds =

F t (x),

0 < x < l ,

(IV.61)

0

0

1(x) — X j

ko (x, s) v (s) ds =

F2 (x ),

— 1 < x

< 0;

(IV.62)

F\ (■*) = ® i fa) +

X J Г, (х,

s,

X) Ф, (s) ds,

ОО

Fo (х) — Ф, (х) +

X j Г2 (х,

s,

X) Ф2 (s) ds,

kx (х, • ? ) = - ( ! - s )

k, (x,

s) = -

(1 + s)

(— x)v- + x J

( — 0 Var 2 (JC, t,

X) dt

fa fa, s, X)

и Г2(х,

s,

X) — резольвенты ядер (x — s )h

и (s — x)'h .

Очевидно,

что fa

(x),

F 2(x)

обладают такими же свойствами, что

и функции

(х), Ф2(х).

В силу единственности решения уравнения (IV.46),

принимаю­

щего наперед заданные

значения на А0А, В В 0, ОСА и ОС2 [2],

классам, к которым принадлежат их правые части.

После определения v(x) из уравнений (IV.61)

и (IV.62) функ­

ция т(х) находится из соотношений (IV.51)

и

(IV.52). Теперь в

в области jfa функция v (x , у) представляется

формулой

V (X, У) =

( у

fa fa)] Oi (X,

у ■ -

1,

7)) ofa -

|j [/j fa) ~

— j [/2fa) — fa fa)l <fafa> у;

1,

7i)cfa +

J x(E) G (x,

y;

%, 0) dVt,

a

- i

j

(IV.63)

где Gfa, у; l,

tj) — функция Грина первой

краевой

задачи для

уравнения теплопроводности

[48].

Удовлетворяя третьему из условий

(IV.48),

для

определения

функции fa (у) получаем уравнение

(У) + j К(у,

yj) fa fa) d-n = F { у);

(IV.64)

здесь

О

^

= Т р т [°б(°*

У’

Ь

у ;

— 1.

F(y) =

?! fa) -

|j

[/, fa) Gt (0,

у;

-

1,

rj) -

+ а хих + b xtiy + cxii = f { x ,

у)

(V.1)

в некоторой области £>(у> 0), граница которой содержит

учас­

ток прямой

у = 0.

Коэффициенты

уравнения

(V.1)

а (х, у),

Ь(х > У), с (х ,

У), a t (x,

у),

bt (x, у),

с, (х, у)

и свободный член /

являются заданными действительными функциями в

области D;

т — положительное действительное

число.

В области

£ > (у > 0)

уравнение

(V.1) является

уравнением

составного типа, а при у = 0 имеет

место

параболическое

вы­

рождение.

§ 1.

Постановка задач

Пусть D — конечная

односвязная

область, граница

которой

состоит из двух частей: а + АВ, где о — гладкая

дуга

Жордана

соответственно части AN и BN кривой a, 7V — точка

пересече­

ния кривой о с осью у-ов.

З а д а ч а

Л0.

Найти регулярное в области D решение и(х, у)

уравнения (V.1),

удовлетворяющее краевым условиям

(V.2)

где п — внутренняя нормаль дуги at.

З а д а ч а

А0 . Требуется

определить в области D

регулярное

решение и(х, у)

уравнения

(V.1), удовлетворяющее

условиям

(V.3)

При исследовании задач

А0, А* будем

предполагать,

что

коэффициенты уравнения (V.1) а ( х , у),

b (х,

у), с ( х , у)

непре­

рывны вместе со

своими

производными до

второго

порядка,

щ { х ,

у), b x(x,

у/),

сх{х, у)

и свободный член f ( x , у) — до

пер­

вого

порядка,

а кривая а обладает теми

свойствами,

которые

указаны в § 1

гл.

III.

§ 2. Задача А 0

1. Задача А0 для уравнения (V .I)

при а ~ Ь — с ~ а х =

Ьх —

— с х — 0. Рассмотрим сначала задачу

Ай для уравнения

^ ( уХ , + « „ ) - / ( а% У).

(V.4)

При нашем предположении относительно функции / (х, у),

как

«„(•*.

“Ч; •*. У ) /( S. Ti)QfW7]

(V.5)

D

является

решением уравнения (V.4),

где

Л'

go (S. ч; х,

у) = — J g

(5, у]; t, у) dt,

a g(H,

х, у) — фундаментальное

решение уравнения

(Ш.11)

(см. § 2, гл. III).

(V.2),

Решение уравнения (V.4), удовлетворяющее условиям

будем искать в виде

и (х , y) = w (x , у) +

и0(х, у).

(V.6)

При этом функция на (х, у) удовлетворяет уравнению

jd_

ymwхх + W

(V.7)

дх

) = °

Задача (V.7), (V.8J изучена нами в § 2 гл. III.

Отметим, что значения самой функции и0(х, у)

на кривой а

и ее нормальной

производной на дуге ot удовлетворяют

всем

условиям, которые были наложены на заданные

функции

при

изучении задачи

(V.8) для уравнения (V.7). Таким

образом, на

основании результатов § 2 гл. III можно заключить,

что задача

(V.7), (V.8) имеет единственное решение, которое

определяется

по формуле

I

■®'(*.,y ) = ‘J K M ® ) .

(»)J-f-®L^i

, . .

0

X AS [G ( ^ (s), 7]; (s);

x , y)] ds -f u>(y).

(V.9)

•Функция ш(у), входящая в формулу

(V.9),

находится из интег­

рального

уравнения

(III.56).

Правая

часть этого

уравнения в

рассматриваемом случае имеет вид

. . ..

F {s0) =

JJ* At (£,

tj;

s0) f( z ,

tj) d\d%

где . '

D

Al (£,

T)l Sq) -- X (.Sg) A (?,

7],

Sg) -j-

+

У' («0» y"'!~(sa)

t-

IX

_1____

y(J+*o)

it K x '-(s 0) + y"‘ (s0) y'2 (s0)

rrs

— eT

1 -

f^o(5.

*(«),

y(s)) r„

„ч

«2

(So, s) + n3 {s0, s)]

ds

J

5 Г -

’

Г

1

S'

¥ W

’

0

a n, (s0, s), «2(s0, s)

и A, (s0,

s) — те же

функции, что и в урав­

нении (III.54)

(§

2 гл. III).

Обозначив

через

N (s0,

s)

резольвенту уравнения (III.56),

ре­

шение этого уравнения можем представить по формуле

“>' (У) = F («о> +

Ji N (So, s) F (s) ds.

L

2

О)(у) = JJp(E,

7,; у)/(?, -/]) ЛЫц,

(V.10)

D

где Р (£, у]'; у) — вполне определенная

функция,

выражение .ко­

торой легко выписывается.

На основании (V.10)

решение задачи (V.7), (V.8)

примет вид

с. «.(& ..?) -

Я

-v;

У)Л&. .'*1) ^

ff4.it

? (V..11)

' о

9 -1 1

129