книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

и

=. ср (Ц, (С — точка контура

а)

и. AD

i . f r

=

Фх

1

AD

(IV.2)

ОС = х ( Л о < у < т - . и -

ОС

= Х, ( У ), 0 < У < т

да

дТГ вс = Х2 (У )>4"< У < !

г д е <р, ф, ф,, х . Xi> Х 2 —

з а д а н н ы е

ф у н к ц и и , п р и ч е м

<р H e n p e p b iB H a t

Ф1 . Xi> Х 2

о д и н р а з , ф, х

— д в а ж д ы

н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м ы ;

к р о м е т о г о , Ф1 , Xj »

Х2 > Ф и X у д о в л е т в о р я ю т у с л о в и ю Г е л ь -

н и я ( I V . 1) в ы п о л н я ю т с я у с л о в и я с к л е и в а н и я

lim и(х,

у) = lim и (х,у),

lim и(х, у) =

lim a(x,

у),

у->—0

л'-f-fO

х-*-—О

lim

да

lim

ди

lim

ди

у-+о

ду

лг-+0

дх

х - * - 0

дх ‘

При исследовании этой задачи,

как и выше,

воспользуемся тем

фактом, что любое регулярное

решение уравнения

(IV. 1) можно

представить в виде

ч {х , у) = г ( х , у) +

«“(у),

(IV.3)

где z(x, у) — регулярное

решение уравнения

+

si n (*У) Z yy

= °>

(IV. 4)

а ох (у) — произвольная дважды

непрерывно

дифференцируемая

функция.

§ 2.

Единственность

решения

задачи дС

Прежде чем

доказать

единственность

решения

задачи дС,

болических частях области 2.

типичных

за­

1.

Задача В *

для

уравнения (IV.1). Одной из

дач

для

уравнения

(IV. 1)

в

области

является задача

В *

(см. § 4, гл. III), т.

е. задача отыскания решения уравнения (IV. 1),

удовлетворяющего

условиям

u \a d ~

|И а:)>

2

'^ ■ *'■ ^ 1 » ду

= vx (х),

0 < X <

1

у=0

. (IV-5)

да

= Фх и

,

< х < 1

д п

AD

При рассмотрении этой задачи без

ограничения

общности

можно предполагать, что функция ш(у),

входящая в

представ­

ление (IV.3), подчинена условиям

ш(0) = о/ (0) = 0.

(IV.6>

Общее решение уравнения (IV.4), непрерывное в замкнутой об­

ласти

с непрерывными производными до второго поряд-

(о (у) =

У 2 1 ift (t + 1) d t -

V 2

ф, (1) у.

(IV.7)

о

Реализуя первые два

условия

(IV.5), с

помощью (IV.3),

(IV.6)

и формулы Даламбера определяем функцию z(x, у):

*<*. y) =

t

+ ■>

-

1

+

(IV.8)

х - у

На основании (IV.3), (IV.7) и (IV.8)

единственное решение задачи

В * можем представить в виде

и (х, у) = ф [ х + 1 + 1] +

ф(*— 2 ~

) +

f vi {t)dt —

JT+jr-1

X—Jl-l

х - у

- /

2

J

j ф1^ + 1)^ +

+ V 2 J

Ф, (t +

\)dt + V 2

(x -

у -

1)ф,(1) - ф(1).

0

2. Задача дВ. Найти в области

2 2 регулярное решение урав­

нения (IV.1),

непрерывное в Й2 и

удовлетворяющее краевым

условиям

ди

= v2 (У)

и\ос — У-(У)> ~дп

- v = 0

(IV. 9)

ди

= 7л (У),

72 (у)

дп ос

где х(У) — два раза, хДу),

х2(у) и v2(y) — один

раз непрерывно

дифференцируемые функции, причем

X ' ( - г ) = ~ У 2 72

. 2vs (0) +

Х' (0) -

У2ул (0) =

0.

Решение задачи дВ, как и решение

задачи

В

можно

легко

выписать.

Положим

ш(у) =

МУ)> 0 < у < ~ 2 “ ,

“ а (у),

L

Ш1

2

2

(IV.10)

Без

ограничения общности будем

предполагать,

что

Ш1 (0) = ш2 (I) — 0.

(IV. 11)

°>1 (У) = V 2j 7 i

(0 d t - (Ct + C2)y,

(IV.12)

0

u2 (y) = 1 ^ 2 j 7i{t)dt

(C, — C2)(y — 1),

(IV. 13)

х + у

z { x , y ) = j b { t ) d t + x f ^ r ^ J

-

0

- ш‘ (£4 JL) -

mi ( Я г 1) -

X(0).

(iv.14)

Таким образом, единственное решение

задачи

дВ

дается

фор­

мулой

Л '+

У

у - £

а { х , у ) = *

( 4 { t ) d t - V 2

f

Xl( t ) d t - V 2

j

Xt (*)<** +

0

0

0

+ X ( Я г - ) +

X ( Я г ^

+

(Q +

c 2) у -

x (0) +

а.(у).

(IV . 15)

Функция о) (у)

в

формуле

(IV. 15)

определяется

выражением

(IV. 12)

при 0 < у < - * - ,

(IV. 13) — при

< У <

1.

3. Принцип экстремума. Единственность решения задачи д С .

Как мы видели в предыдущих

пунктах,

функция

ш(у),

входя­

щая в представление (IV.3), в силу третьего,

пятого

и

шестого

условий (IV.2)

в промежутке —

< у < 1

определяется

одно­

значно. Следовательно, решение задачи дС

редуцируется к на­

хождению

регулярного

в области 2 решения z (x , у)

уравнения

(IV.4), удовлетворяющего условиям

2|сг= ?* (У (С — точка

контура

а)

(IV . 16)

= + *

( * ) •

z\oc =

х

* (у),

0 < у

< -j -

z \a d

где

<Р* (С) =

© (д — со (т)),

0 * (х)

=

<]) (х) — со (дс —

1)

(IV. 17)

X* (У) = X (у) -

(у)

Задачи типа (IV.4),

(IV. 16) изучены

в работе

[20].

Введем следующие обозначения:

z {x , 0) = ^ (х),

0 < л < 1;

г (0,

у) =

т2 (у),

0 < у <

1;

д г

д г

=

v 2 (V),

о <

у <

1-

д у

=

v t ( A ) , 0

< х <

1 ;

—

у=о

.v = 0

Учитывая эти обозначения и (IV. 17),

из формул (IV.8)

и

(IV.14)

получаем

следующие

основные

соотношения

между

т г (х) и

v£(x) ( i

=

1, 2)

на отрезках О А

и О В ,

принесенные из

гипербо­

8-11

113

(IVЛ8)

(1УЛ9)

Однородной задаче с?С(с? = ^ = б1 =

у = Xt = 7л = 0)

соответст­

вует однородная задача (IV.4), (1УЛ6)

(®* = о* = у* =

0). Имеет

2 3 регулярное решение z(x, у)

уравнения (IV.4),

непрерывное в

замкнутой

области 2 3, имеющее непрерывные

производные zx

и zy вплоть до отрезков

ОА,

ОВ и удовлетворяющее краевым

условиям

= S(y),0<y<\,(lV .20)

где <?*, v1t

v2 — заданные

непрерывные функции,

причем

и v 2

могут обращаться в бесконечность порядка

меньше единицы на

концах интервала (0, 1).

Единственность решения задачи Холмгрена очевидна. Она

получается интегрированием тождества

z

по области 2 3 и с помощью формулы Грина.

Как и в случае задачи

Холмгрена для уравнений Лаврентье­

в а — Бицадзе и Трикоми,

для задачи (IV.4),

(IV.20) методом тео­

п. 1 § 3 вопрос о существовании решения

задачи (IV.4),

(IV. 16)

эквивалентен вопросу о разрешимости уравнений

(IV. 18),

(IV. 19)

и (IV.22).

Исключая

(х)

из (IV.18)

и (IV.22)

(при

i =

1,

j = 2),

получаем

1— xW

d t —

r f j ] М О ln /2— Л-2

1

^ P

/1 \ i |1 Ш x-t-

dt = F t (x),

(IV.23)

w

) M O ln Ы'■+ x*

где

f , W = - / 1 W + 2 ^ - r ( £ ^ i

Когда x лежит строго

внутри интервала (0,

1),

то

очевидно, что

1

1

j Z j 4 (О In (1 -

хЧ2) d t =

-

2 x j

dt,

(IV. 24)

1

1

=

{ w

h ^ T

T

^

Y

^ i t .

(1V.25)

Рассмотрим интеграл

л —a

1

J(x ) =

f vt (t) In 112 — x 2|dt — lim J

(x) =

lim

Г

(t) ln (x2 —

J

£>0

X

0

— t2) dt

+

j* vi {t) ln (t2 — x 2) dt

причем предел существует равномерно относительно х.

Отсюда

следует существование равномерного предела

lim А (х )=

lim Г v (х — е) — v (х +

е)1 In s +

£ > 0

Е > 0

L

J

+

lim Г Vj (х — е) In (2х — е) — Vj (х +

е) In (2х + е)1 —

е>0 L

\ О

-C+e

/

0

где интеграл понимается

в смысле

главного

значения по

Коши.

Следовательно, имеем

1

1

dt

v, (t) In \t2 - x 2|d t

j

=

-

2x j

■X2 .

(IV.26)

о

о

Vi

(х)

_

2х_Г [ ___ 1__________Г-

\

л J I Р — х-

1 — хЧ- J Vl (t) dt +

+

^ г /

.

)

(0"

=

<*>•

„ {

(гп Ь - w

0

Аналогично,

исключая v2(x)

из соотношений

(IV.19)

и (IV.22)

(при i = 2, у =

1),

получаем

1

M - O + ^ r f ( т г ^ - —

о

2л:

Г (

1

1 + jc-’/a

vi ( t )d t

=

F 2 {x );

(IV.28)

+ л:2

здесь

F 2 { x ) = f ' 2 ( x ) - 2 £ y * ( 4

Таким образом,

решение задачи (IV.4),

(IV.16)

в

случае,

когда а

Выясним поведение правых

частей F t (х) (i — 1,

2) уравнений

(IV.27), (IV.28) на отрезке [0, 1]. Не

ограничивая общности, мо­

жем

полагать,

что

функция <?

(С)

обращается

в нуль на концах

дуги

о, тогда

в силу

того,

что ш(0) = ш(1) =

0, этим свойством

обладает и функция <р* (С),

т.

е.

<р* (С) = £779** (С),

(IV.29)

где %и у]— координаты точки С дуги

а, а <р** (£) — непрерывная

в замкнутой области определения функция.

Непосредственным вычислением находим

dG (&. х)

2(1 — х <)

. _

го

дп

~

к [(1 +

ЛГ2)2 — 4 лг= cos2 0] » ^ ~ ~ е

’

В

соответствии с этим

в силу (IV.29)

выражение f

x (х) принима­

ет

вид

1

Л W

=

I

('> \1 -

-(Tt

W = ф 1 * . 7

=

С05Ч.

(IV.30)

о

L

J

Такое

же выражение

получается

и для / 2(х).

Отсюда

следует,

что

функции /j (х)

и /3 (л:)

стремятся

к конечным пределам при

х -*■

0.

Применив теорему о среднем

к интегралу в правой части

обладает и функция /2(•*)• Очевидно, что при 0 <

х <

1 функции

/, (х)

и /2(х)

бесконечно

дифференцируемы.

В

дальнейшем бу­

дем

предполагать,

что функции ty' (х) и х'(У)

могут

обращаться

в бесконечность

порядка

ниже

единицы на концах

интервалов

определения.

В

силу

этих

предположений

заключаем,

что

F t (х) е С^1, *г) (0 <

х <

1),

где

е£ <

1, и могут иметь

такие

же

осо­

бенности, что и ¥ (х) х' (у).

сингулярных интегральных уравнен

3.

Решение системы

(IV.27), (IV.28).

Система (IV.27),

(IV.28)

в смысле разрешимости

эквивалентна следующей системе

сингулярных уравнений:

-

^ & dt = ф‘ w

(IV.31)

где

М х ) +

М х ) =

?ч(х),

М * ) — М -*) =

М * ).

(IV.32)

Л (■*) +

F 2 М

=

Ф1( X ) ,

F x (х) -

F 2 ( х

)

=

Ф2(х).

(IV.33)

Приняв во внимание тождества

1

1

_

(1 + х ‘) (1 — Р )

— X *

1 — Х Ч * ~

<<(1 +

Х<>) — х<(1 +

/8) ’

1

И

_

l —if8

/* — X ‘

1 — Х ‘ /‘ ~

/‘ (1 + Х » ) —

Х ‘ ( 1 + t a)

’

с помощью замены переменных [20,

60]

___ _____________

2х‘

или

Х~~ 1 + /8’ ^ ~ 1 + Х«

L

_

i_

i_

_ i_

t = ¥

(l +

y i - т 2 )

4,

Л' = у4 (1 + V l

-

у2)

4

(IV.34)

систему уравнений

(IV.31)

можно

переписать

следующим обра­

зом:

X2

(IV.35)

Рг(У)

1 + X* Pi

( - :)

d z

Рг (У)

-

i

f

■ z - y

здесь

P i(y)

— X 3 ( l

+

л'8)

(x )>

Рз(),)

= х

J ( l +

x4)

1 ( 1

+

x 8) P'2(x )>

(IV.36

P l (y) =

x~i (l +

x4)_1 (l

+

л'8) Ф1 (x),

i =

1,

2.

(IV.37)

Из постановки задачи дС и, следовательно, задачи (IV.4),

(IV. 16)

и из

равенств

(IV. 18),

(IV. 19),

(IV.22), (IV.32)

и (IV.36)

в силу

(IV.34) следует, что решение системы (IV.35) надо искать

в клас­

се функций р, (у)е С1(0 < у < 1),

которые

могут

обращаться

в

бесконечность порядка

меньше

1

и

при г = 1 ,

меньше

при i

=

2, когда у

0

и у -> 1

соответственно.

равенств (IV.33),

На основании свойств функций Ft {х ) в силу

(IV.37)

заключаем,

что P t (у)е CS1,0/) (0 <

у <

1),

§г < 1,

и эти)

функции могут обращаться

в бесконечность порядка ниже у

и

р ( У ) - т . \ - т ^ г

=

р (У)’

0V.38)

О

где

p(y) = T ^ i P i ( y )

+

p2(y).

(IV.39)

Р(У) = Ъ(У) + Рг(У)-

Решение уравнения (IV.38)

естественно искать в классе

функций

р(у)еС1 (0 < у < 1), причем

при у -+ 0(у 1) р (у) может обра­

класса дается формулой [26]

1

н а -

у) ] 4

(IV.40)

О

уа

■а J

После того как уже определена функция р(у),

нахождение не­

труда не представляет. Этим

и завершается

доказательство су­

ществования решения задачи

(IV.4),

(IV. 16)

и, следовательно,

задачи дС в случае, когда дуга

а совпадает с нормальным кон­

туром х 2 + у2 = 1. В том случае,

когда а — произвольная кривая,

удовлетворяющая условию

Ляпунова

и оканчивающаяся сколь