книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

F + ( x ) + F ~ ( x ) =

2 J ^ (t) К ( х , t)dt,

— Ю :< 0 , 0 < * < 1 ,

(III. 118)

f

2irh

(л),

— 1 <

л: < О,

(III.119)

F + { x ) ~ F ~ (x )

0 < х < 1

\—2niv (х),

и на основании

уравнения

(III. 116)

видно,

что функция F (z)

должна быть исчезающим на бесконечности

решением

следую­

щей задачи сопряжения:

(1 — Ш ) F + ( x ) — (1 + Хтсi)F

(х) =

2-rUx*2 (х), —1 < д-<0

(1 + Х«) F +(x ) — (1 — hzi)F~(x) =

— 2-iziy* (х:),

0< д :< 1

(III. 120)

Из (III.117) легко усмотреть,

что

F+ Ш

-

F ~ ( г )

=

+ Л'

1

lF+ (х ) -

( III. 121)

где верхний

знак

берется

для

— 1 < д: < 0,

а

нижний—для

0 < jc< 1.

через г х и z2

z,

Теперь

обозначим

плоскость

вырезанную

вдоль действительной

оси

от — со до 0 и от 0 до

оо

соответст­

венно. Положим

F (z) = Ф1

(z) еаМ -

Ф, (г) e ^ z)

(III. 122)

и предположим,

что функции, входящие в правую часть равен­

ства (III.122), обладают следующими свойствами:

1) функции Ф ^г) и Ф2(г)

голоморфны в zx и z2

соответст­

виям

Ф1 (y ) = — 2ф1

ф2 ( у ) = ^Ф2 (z);

2) функции a.j (z)

и a, (г) голоморфны как

в верхней, так

и в

нижней полуплоскости, а предельные

значения

на оси

х-ов

удовлетворяют условиям

+

| оя(х) ±

r.ib ,

— 1 < лс <

о,

a" ^ )

~~ I 8П(*) +

7Г1'е.

О < jc <

1,

(п =

1, 2),

аг ( т ) = 81 ( т ) ±71г'б>

а2 (I)=

(т)+

Отсюда,

учитывая свойства

функций

(2), Ф2(г), “1(2) и

a2(t), легко убеждаемся, что условие (III.121)

будет" выполнено,

если

только

е

1

=

е

v'

1

=|х|~р*.

(III. 123)

Теперь, следуя Карлеману, функции at (z)

и a2(z)

определим так,

чтобы выполнялись условия

в ал+м(1 -

Ы ) =

* °л <Л)(1 +

Ы ),

-

1 <

х <

О,

“n(-VJ(1 -)- Хтсг) —е

п

(1 — Xiti),

О <

jc

<

1 .

(-0 ,

Следовательно,

,

(

2тсг6, — 1 < х <

О,

(III. 124)

где

0 = — arctgX7r.

Учитывая

значение X, заключаем, что

2 6 =

у - р

+

2N

[N— целое число или нуль).

Нетрудно

убедиться

[64],

что

решение

v(jc)

уравнения

(III. 115) принадлежало к тому

классу, где

имеет место единст­

венность решения задачи (III.11), (III.Ill),

N должно быть нулем.

Легко заметить, что соотношения

(III. 124)

и условия 2) будут

удовлетворены, если

положить

1

I

z d t

\^tz'

1

1

-< *> =

•-1

0

-1

Отсюда

81 (x )

=

291 nTl | L ,

h { j j

=

- 2 b \ n ( \ + x ) ,

s2 (*) =

2einT!fL -,

8a( -j)

=

— 26 In (1 — jc).

Из этих формул

и

из (III. 123) следует,

что pt = 20,

т. е.

pt =

= i — р. Теперь остается

определить

функции

Ф, (z)

и

Ф2 (г).

На основании (III.120) и (III.122) получим

Ф1+( х ) - Ф 1

(X) :

2nixl(x)e

—

1 <

Х < 0

У 1 +

XV.2

’

(III.125)

2ых1 (х) е~ Чх)

Ф2+ Н - Ф 2- ( * )

0 < Х < 1

V

1 +

№

'

Положим

® l(*) =

У

1

d t ,

1 +

Ф2 (*) =

1

_ i _______ i _

V i +

t — Z

1

—

tz dt.

Тогда легко видеть, что условие 1) и

уравнения

(III. 125)

будут

выполнены.

(z), Ф2(г),

a.t(z)

После того, как уже определены функции^

и а, (г), нахождение неизвестной

функции

v (х )

трудности не

представляет.

В силу (III.

119)

имеем

1

*(х ) ~

i + ).%a

Ха (■«) +

х J x a W

n * .

t)dt

где

[ Ш Ш 1

[t —

x

^

l — xt ) '

Г (х , t) =

LKI <1 +

JC)J

■*■4*

fl]

f

_____ L_)

о < t <

l

1^1(1 —JC)J

\

t - x

1

- x

t ) ’

U

1

Возвращаясь к первоначальной

неизвестной функции v(x),

по­

лучаем

—

\ v ( t ) R (x ,

t) d t =

Хз (*),

(III. 126)

где

- l

Ъ (х )

1

1 + Хзяз

Ха ( ■ * ) + *

К

г ) '

’ V

O

x * ( 0 ^

-1

Я , (х, г1)

г I * * s)Я1(*• ^ +

Я (* . *> = 7 Т Я ?

х IШ

-р

1

,

,

Г Г(х.

ds

П ГТ; +

Х J - T T

-г

Непосредственными вычислениями можно показать [64], что

* * -■ ( 1 -| < | *

+ ‘

И

^ -

Л

п Ь *

-1

< М \ х \

р— —

Р - —

М — const.

2 ( l - *

2)

2 ,

|R (х, t) |< М хХ*~' ( 1

- х 2)

2 , М

х - const.

Из единственности решения

задачи

(III. 11),

(III. 111) вытекает

безусловная разрешимость интегрального уравнения

Фредгольма

(III.126), а следовательно, и уравнения (III.115).

Обозначив через R* (х, t, X) резольвенту

ядра R (х , t), ре­

шение

уравнения (III. 126)

можно представить в виде

1

v (•*) =

Хз ( * )

+ х J f l * ( * .

t ,

t f X a i Q d t .

v (*)

= J x' (s) h* (X, s) ds +

ЧГ* (x),

(III.127)

где

.

0

^

h *(x , 5) = 1- 2 ^ - г |д (л , s)+ X

Г (x,

t ) h [ t ,

s )d t +

1

■2P

+ X

J /?* (*, t, X)

h {t,

s)+ X

Г (t, <1)A(^1, s) d tx

-1

M

=

+ X i ( r ) ' "? r C*- t ) V ( t ) d t +

1-2J3

+ x

J

R* (■*, t,

X)

ч/ (0 +

x Д * -)

г (*,

*,) V (^) dtx

X

s

h {x t

=

о

0

5,

0)flfSl,

jr

0

0

Функция

A*(x,

s), входящая

в

формулу

(III.127),

исследуется

так же, как и h* (х,

s). Функция ЧР (х)

непрерывна в

смысле

Гельдера в рассматриваемых интервалах.

в

формулу

Теперь функцию

v(jc)

из

Ш1.127)

подставляем

(III.83) и реализуем

условие (III.112). Тогда, как и в предыдущих

задачах,

приходим

к эквивалентному задаче

С*

интегральному

уравнению

Фредгольма второго

рода,

разрешимость

которого

сразу вытекает из единственности решения задачи

С*.

Этим и

завершается доказательство существования решения

задачи С*.

Замечание 1.

В

задаче

С*

в качестве

носителей

данных

вместо характеристик

OQ

и ОС2 могут быть взяты

характерис­

тики В С Х и АС2.

Замечание 2.

Во

всех

рассмотренных

выше задачах

вместо

условия

на оц АС или

OCt

можно

задавать

более общее

условие,

например,

Оу(у^-О) и характеристикой Г : х — т

2

—о—

= 0 уравнения

^(— у)

(III. 1);

эллиптическую и гиперболическую

части области D обоз­

начим

через D t и D 2 соответственно.

1. Постановка задачи Ст.

Найти регулярное

в

области D

решение и(х,

у)

уравнения

(III.1),-

непрерывное в

замкнутой

области D, причем и(х,

у ) - * 0

при г = ]/ л :2 +

у2

со,

частные

производные их (х, 0), иу(х, 0)

могут

иметь

в

точке

0 (0 , 0)

особенность порядка меньше

1 — 2|3, удовлетворяющее условиям

и\ ^ о = с Р(У)-

у > 0 ,

«1г•= Ф(*),

V о

(III. 128)

ди

У > 0 ,

да

л: >

0

дТ л=0 = 'Pi(y).

дп г = Y (■*).

где заданные

функции

i|>(х)

трижды, 9 (у),

'-pt (-*:)

дважды, а

9i (У) один

раз

непрерывно

дифференцируемы,

причем

при

л'-э-оо, у->оо,

Y ( x )> tyi (■*) и

9, (У). 9i (У)

обращаются

в

нуль

порядка не меньше единицы;

I — направление,

меняющееся

вместе с у ,

так что cos (/,

у) =

р (у ' — известная

функция,

удов­

летворяющая

условию

Гельдера

и

неравная ± 1

при

у > 0 ,

п — внутренняя нормаль

Г.

Решение задачи С^ будем искать в виде

и(х, у) = z(x,

у) -г u>(у);

(III.129)

здесь z(x,

у),

как и выше, — регулярное

решение

уравнения

(III.11), а ш(у) — произвольная дважды

непрерывно

дифференци­

руемая функция,

причем

Пт м (у) =

Нт «/ (у) = 0.

(III. 130)

у -*■00

у-юо

Без ограничения

общности можем предполагать, что

<о (0) =

ев' (0) =

0.

(III.131)

На основании результатов § 4

заключаем,

что

функция ш(у) =

= “2 (У). — со < у < 0, входящая

в представление

(III.129),

в силу

второго и четвертого из

условий (III. 128)

определяется

единст­

2 1л-=о — 9 (У)

Ш1 (y)i г | г = ф (-*)-ш 2’

дг

(III. 132)

д1 .г=0

= Ti (у) — “ х (у)р (у)

где (Uj (у) ь= ш(у), 0 < у <

со, — пока неизвестная функция.

2. Единственность'решения задачи См.

Предположим, что

при больших значениях г справедливо неравенство

И < А

(111.133)

где А — const, 0 < а < 1.

ливы и для функции z (x , у).

Однородная задача

и,

следовательно,

однородная

задача

(III. 11), (III. 132)

редуцируются к определению в области D

регу­

лярного

решения уравнения

(III. 11), удовлетворяющего условиям

/ \

dz

= О,

Z |г = 0.

(III. 134)

I

х = 0

дх дг-0

В области Д

построим четверть

окружности

CR

с

центром в

точке О радиусом R. Область, ограниченную CR

и

координат­

ными

осями,

обозначим

через DR.

Как

и

выше,

положим

,и(х,

0) =

х(л:),

иу (х,

0) — v(x).

Учитывая

(III.131),

будем

иметь

z ( x ,

0) =

t(;c),

zy (x,

0) =

ч(х).

Далее

будем

предполагать,

что

v(x) = 0 (x ~ r),

0 < t < 1. при больших значениях х и

сущест­

вуют следующие пределы:

к

lim

(* т (х) v (д:) dx,

lim

f П у т z2 +

z2 ) dxdy .

0

DR

'

Известно

[46],

что если z|r =

0,

то

R

| t (x ) v(x ) > 0 .

(III. 135)

oJ

Интегрируя тождество

ва (III. 133), а также

первые два условия

(III. 134),

переходя к

пределу

при R - + c o ,

получаем

со

w

v(*)dx = °-

Я (ymzl + zl )dxdy+

b

D, '

'

0

Отсюда

в силу (III. 135), (III. 131)

и первого

из условий

(III. 134)

■следует,

что z ( x , у) = 0, <»i(y) =

0 всюду в области Д

и,

сле­

довательно, и ( х , у) =

0 в Д . На основании единственности

ре­

шения задачи В или В * заключаем,

что и (х, у) — 0

в Д .

Этим

самым единственность решения задачи См доказана.

3. Существование

решения задачи

См.

Доказательство су­

уравнения (III. 11)

в области

Д ,

удовлетворяющее первому из

условий (III.

132) и условию z y(x,

0) = v (х), дается формулой [64]

z(x ,

у) ==

Д ( 6)

(X -

-1-Р

$)2 + (т + 2)2 У

___ i ____Vm+2

(X + w

4

2)

7Vm+2j

\dl +

(m +

+

Щ *

J

[<P Сч) — Ш1 (ч)] vm( A )“?_1 x

0

'

J

X f ( p

+

1,

P, 2pt l

- j r

j

d r

,

(III. 136)

здесь

m+2

m-}-2\ 2

2 ? =

X*

(тп+2)2 1 I

“ 2“

—

2

X

+

у

Отсюда, полагая y =

0,

получаем

00

Т (*) = -

Л f V (|) [] Л -

6 Г 2? -

(х +

^)-2Э] Л + F{x),

(III.137)

где

о

- 8 - 1

Р (х ) = Щ х

j

[<p (tj) -

u)t (т))]^ f х2+

-( " 4-2)3- ^ +2

Другое функциональное соотношение между функциями

t (x ) и

v (jc) было получено

нами в §

4;

в данном случае оно имеет вид

-с (х) = Ф (at) +

if j

v (s) (х — s)

2?ds;

(III.138)

здесь

о

X

Ф(х) =

J <&,(/)*#,

и

<5, м

=

X1-* А | <»-■ ( * _

X

m-f27i*

48

т )

/

! + (2 4 J t r + + ' ( i ) ( ' 54 i '

х

dt.

•W + l ] М

г Т ’> [ т ^

- т Ь ) ^

-

р ^

<ШЛ39>

где

г . м =

<•* -

S>S|M

-

ф ‘S)I * •

Г л а в а

IV

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

СМЕШАННО-СОСТАВНОГО ТИПА

С ДВУМЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

W [ а хх + эё п (* У ) и уу ] = °-

(1 У Л >

Уравнение (IV.1) при х у > 0 принадлежит составному типу, при

ху < О — гиперболическому и параболически

вырождается вдоль

прямых х = 0, у = 0.

В этой главе для уравнения (IV. 1) [25], а

также для уравне­

Пусть

Й — конечная односвязная область плоскости

перемен­

ных х, у,

ограниченная линией Жордана

о с концами

в точках

Л(1, 0) и

5 (0 , 1), которая расположена в

области jc > 0, у > О,

уравнения (IV.1);

СО (OD) — отрезок-----

характеристики

CD;

ОА (ОВ) — интервал

0 < - х < 1 ( 0 < у < 1 )

прямой у = 0 (х =

0).

Через S t и й2 обозначим гиперболические

части смешанной

области Q при л :> 0 и х :< 0 соответственно, а

через й3 — эллиптическую часть области Й.

З а д а ч а

дС.

Найти в области Й \0Л \05 регулярное решение

уравнения

(IV.1),

непрерывное в й, частные

производные перво­