книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

4

т+ъ

^

+ ( йгЬ ) )

{l ~

s)'n t2 >

W

-

s)

2

Д Т 2 (1 +

'ИЛИ

m -{-2

1

(1 - S

1 + t

( Z - s ) ~

'

^ 2

m + 2

( 1 -И ) + кт + 2 / v

о

легко оценивается.

Действительно,

43\рл

о t

1

Г

U - i ‘)^ ~ 1( / - s ) m+1(l

-

1) dt

<

l - / 2 i ( ^ 4 !< r i r 2 2

I

m + 2 2(5+2

- u

1+ ' + STT2</-

s)

2

m

j* ( x - t ) ,23—1

<

2?+2

p X ( / - s ) 2

1 + £

+

m+2' -2 3 -1

—i

23+ 1

m-f-2

m + 2 (/ -

S)'

d t =

2?+1 X ( m + 2

(/ — s)

~2 X

l , 2p +

l , 2p + 1,-

1 + X

m +2

1

__

Ttx -f- 2

(/-s)

=

S+

l ( 2 +

l

23

(i + * )2?

m+2

*

1 + X+ m + 2- V - s )

'Таким образом,

в

окрестности точки А для

функции

h ( x , s )

имеем следующую оценку:

(1 + x

f ‘

|h (х, s) |< С ■

(III.

104)

m+2 + 0 ( 1) .

\+Х + .

( l - s )

m + 2

Из оценок (IIIЛ02)

и (III.104)

следует, что

функция

h ( x ,s )

от-

носительно 1+ х

и (I — si

т + 2

2

имеет особенность порядка не вы-

.ше 1 — 2р.

В дальнейшем при исследовании функции

h *(х,

s)

нам пона­

добится оценка для функции h (х, s), явно

зависящая

в отдель­

ности от множителей 1 +

л: и / — s. С этой

целью воспользуемся

понятием интеграла дробного порядка. Пусть функция / (х )

ин­

тегрируема в интервале (а, Ь).

Интегралом

дробного

порядка а

от функции / (х)

называется

выражение вида

X

=

f{t)d £

( a < x < 6).

/ 'W = ^ / i - „ W

(0 < а < 1),

т. е.

/ О*) — Г ( 1 — а) ' dx

^ f { t ) d t .

если функция/ (х) ограничена в интервале (а,

Ь), т. е. \f(x)\<.Au

то для функции f a (х ) (0 <

а <

1) при а < л 1, х 2<С b справедливо

неравенство

| Л W “

Л 0

2)| < А К -

*2 Г ’

Если мы покажем,

что функция h(x,

s)

является

интегралом

дробного порядка (s будем считать

параметром), то

можно вос­

пользоваться предыдущей теоремой.

h ( x ,s )

Пусть 0 < а < 2 ] 3 .

Сначала докажем,

что

функция

имеет производную дробного порядка а.

Тогда,

очевидно,

h ( x ,s )

будет интегралом дробного порядка а от этой производной.

По определению

I f (х, s) = r ( 1 z

aj- - ^

j ( * - y

)

* fi( y ,s ) d y .

-i

Учитывая выражение интеграла J (х, s),

функцию h ( x ,s )

можно

представить в виде

л

(X -

О■2? - 1(/ -s )m+1(l — t)dt

,

. .

- i

(1 + 02+ ( йг | т )'( / - * ) я,+2

f f (х, s) =

4ftA.

dy X

(тп + 2)Г(1—а)

у

(У - t f p - ' o

— д),п+1(1 — t)dt

X

/

9 \2

m-f~2 Ж +

-II

(1 + t f + [ J f + J ) ^ — s)

+

f"(i - «) ‘

ITT

j

(

*

- У )

a lH (y ,s)d s.

-1

Второе слагаемое

I f

{x,

s) — ограниченная

величина, поэтому до­

статочно

рассмотреть

первое:

-v

у

ddx Г (л- - у г

Г

-i

m + 2 J ( * - * ) "

(l — s)m + l(l — t) dt

У)““ (y - t f - ' d y .

/ 9

^

-1

ot+2 lp+1 l1 i x -

c1+ o2+ (^7 + 2 ; « - * >

J

i

Заменой переменной интегрирования y =

t-\-(x — t)z

легко вы­

числяется

интеграл

J ( * - У Г “ (У ~

t j* ~ ldy =-- ( х - t f ~ ax

x j

23—1

(1 — 2)

a d z = A2(x — t) 23-a

здесь

A

_

г (2»_Г (l_+«)

•

2

- T (1 + * +

2?)

Подставляя значение этого интеграла

в

выражение

/ и диффе­

ренцируя по л:, получаем

I =

А2 (2$ — а)

(l - s ) m+l

(1

- t ) { x — t)^ -

тт-rdt.

Н Т *

(1 + *)2+ (m + 2 ) V

- S>m+2

т+2 2-Ьо

Очевидно,

что

т+2

(i + * ) 4 1 2

1+ ;

>

2

т + 2

( / - 5 ) 2

\т +

[ ( ■ + ' ) ’ + ( d h Г

(И+2

Г > (1 + t f ~ \

Используя эти неравенства,

находим

|/|<2Л2(2р - а ) ( 2^ ± ! ) 2+‘

т+2 п2£—1—*

( / - S )

2

X

X

X j (JC -

(1 + t)a~2? d t = 2A2 (2P -

a) \ 2 ± 1 ]2+“x

m+2

23- 1- a

m+2 -iffi-l-e

S)| < C t

( / - S ) ^

, С, — const.

(II 1.105)

Применяя приведенную выше теорему к функции h (х, s),

в силу

оценки (II 1.105) имеем

m+2

2 3 -1 -a

Л (х,

s) — h(t, s)I <

C2 ( l - s )

*

I* — r f , C2 — const.

(III. 106)

Теперь

выяснение поведения

функции Л*(х,

s)

в

окрестности

точки А не представляет трудности.

В самом

деле,

нам

доста­

точно оценить в окрестности точки

А второе слагаемое, входя­

щее в выражение функции h * (x ,s ),

так как для третьего и чет­

вертого слагаемых из-за ограниченности

резольвенты

R (х, t)

при малых

1 +

х

получается оценка не хуже,

чем

для

второго.

Пусть

s

=

j

■' ( - г Ь

-

r = 7 l )

к ('• *

>

=

-I

=

h { x ,s )

+

-1

Ь

- 4 ^

1 ________ L _

j \h (t, s) -

h (.К, J)] Л =

I

t — х

1 — tx

= Л (X, s) Л + J .

Ранее было доказано,

что при х-+1

интеграл

J t

может

обра­

щаться в бесконечность порядка не

выше-g—

(3, а прих->— 1 —

стремиться к конечному пределу.

Оценим интеграл J:

1

j

На основании оценки (II 1.106)

имеем

|у |< Со

тm±+2 I-'

(1

— + р

р — —

+ х у -

+ р(1

- x f

2 х

^ J

it -

x\l-*(l — tx)

2 LV

'

J

-1

2

0

- 0

i

x ( l + * ) *

+?(1 -JC )B

2 1 - № )

- d t ,

\t-x\ 1—a

А =

Г (1+ Q 2 Р(1- tj

d t =

-1

It — x |l~a

-v

_ L _ p

’

- L - p

3

1 _ 3

dt ,

-J-i

(i + 0 2

(i - 02

Г 0+ 0 2 i l —

___dt =

(X— t)1—a

(t — x) 1—a

L _ 3

a _ L _ p П - ; - р ) г ( « )

= 22 " ( 1

+ x ) - - *

^

------ г ^ ^ - Р - Р - Т - . - Г - Ь

r ( 4 - + — p)

v 2

2 2

( -

M

1»

+ a - p , i ± £ - U 2^ - P( l - ^ + a‘ P-

X

( A

+

- P)

1

Л = 21_“(1 + х)а' ?

2 (1

- x f

+ “

Р ■ -V2

V

( | х

■ ( т + -

»

X F ( 0-, 2 + Of. — 20, -у; +

а —

р,

1+ х

1

+ 2

Г(1

5” + « -

Р

- * ) *

X

X

1 + лг

~2~

~2~ Р — а> 2

Таким образом, при малых

1 -J- х: для

интеграла J имеем сле­

дующую оценку:

|7| С С3 [ ( / - s ) - *- ]

(1 + х)\ С3 — const.

(III. 107)»

Такую же оценку имеем и для

функции h { x , s ) при малых

Учитывая эти оценки,

а также поведение интеграла при

х -+ — 1,

в окрестности точки А для функции h*(x, s) получаем

оценку

типа (III. 107), т. е.

Л* (л:, s)| < С

т+2 2(3— 1— а

(III.108)

(/ — s)

2

(1 + * )

0 < а <

2р,

С — const.

- 4

^

“i [У ( So)] + I Ш1[У ( 5 )] [ « 1 ( V S) +

« 2 ( S0 ' S) +

У 2

(so)

°

-j- n3(s0, S) + «4 (s0, s) ] ds = <p* (s0),

(III. 109)

У * (so)

-1

Ф

(s0) =

<P(s0)

\

/ ' (Sq) x '

(Sq) y ' ( s 0)

( l — Ут(so))

T

x '2(s0) + y m (S0)y '2 (So)

dG* (t,

0;

* 0, yp)

dt

X ' 2 ( $ u ) +

y m (Sq) y ' 2 (s0) .

dn

m

'

l

У 2

(So)

+ j

[я ,

(So, S) +

~h (s0, S)

+

я 3 (So. s)

+

Я* (So, s)] ds\

0

"Свойства ядер пх, п2 и п3 были выяснены нами

выше.

Ядро

Л4(% s)> как видно из его выражения, является всюду на

ре­

гулярным, за исключением точки А.

Выясним его поведение

в окрестности точки А.

С этой целью

в силу (III.86) и условий,

наложенных на кривую

а, функцию

Грина G* (х, у; л'0)

у0) запишем так:

G (л, 0; х 0,

у0)

Gq( х , 0,

-х0,

у0) -)- G1(x, х 0, j/0j,

где

Gi { x ; х о> Уо)

=

J

н -*(^

х 0,

Уо)

Go (? (0 ,

■»! tf); х, о)dt.

н

_

можно представить в виде

Тогда вблизи точки А ядро

пк(s0, s)

Г

„ч _ ^ '2(50)+ут (50) / 2(5о)оо(.

/ ( s ) * ( s 0)

Г b * ( t , s)(l—t 2)

dt

,

Л4 (50,

S) -

щ-

m

/ (s0)

_J

[ l _ 2 ^ So)+ ^ ]P + i

+

У

(S o)

+ У' (*) X (S°)+l

(до^ -

(д")-

f h* (t,

s) G2(t;

x

(s0), у (sQ)) dt,

У

(so)

где G2 (t; л (s„), у (s0)) =

dG, (t, x0. y0)

— бесконечно дифферен­

цируемая функция.

dn

На основании (III. 108)

для выяснения поведения первого сла­

гаемого

ядра «4(s0,

s) в окрестности точки

А

достаточно

рас­

а{т-*г2)

I

2

< С ,[У Й )]

2

так как

Для второго интеграла, входящего

в выражение ядра

пк (s0,

s),

из-за ограниченности функции G2(t;

x (s 0),

y(s0))

получим оценку

не хуже чем (IIIЛ08). Таким образом, для ядра

/г4($0,

s) в силу

(III. 108) будем иметь следующую оценку:

m - j - 2 “ |2{3 — 1 —

а

o t ( m

+ 2 )

|л*(5о, 5)1 < с

( 1 - S ) 2

у

2

(So).

(ШЛЮ)

Следовательно, ядро я4 (s0,

s) в точке А,

как

и

ядро

пг (s0,

s),

может иметь неподвижную особенность первого порядка. Как

и

2

у, т. е. когда ш(у)

= ш2 (у)

в силу

условий

на основании результатов § 4

можно определить единственным

образом. Эта функция определяется по формуле

ТП~|~'2

“ 2 (У) = ф! ^ 2 (“ У) * "

1

Г

т+2

2

X

0

7-11

97

m -f 2

4p

4Г -1

+

1 + 1 ^ *

*

*1

T

г \а = / ( « ) - ®1 [У («)]•

2 1ос1= '1'1- <1)2. г 1ос, = Фа — “ а.

(И 1 .Ш )

где функция ш1(у) =

ш(у), 0 < у < Л, должна быть подобрана так,

чтобы удовлетворялось условие

дг

= ?(«) —

(Ill .112)

дп

Так как мы ищем

непрерывное решение и (х , у ) задачи

С* в

замкнутой области

D *, то единственность решения этой

задачи

непосредственно вытекает из принципа экстремума задачи

Три-

коми и из условия (III.112).

Докажем существование решения задачи С*. Как уже

было

отмечено в гл. II,

задача

(III. 11),

(ШЛИ) является задачей

Три-

коми в постановке

Геллерстедта.

Эту задачу, используя

условия

дет выражена через неизвестную функцию

(у). Основное

со­

отношение между -с (х) и v(а:), принесенное из области

Du

как

известно,

дается

формулой (III.88). С другой

стороны,

в силу

последних двух

условий

(III.111),

связь

между

-с (х)

и v (х)

име­

ет вид

X

Т (*) =

(*) +

т J V(t) (х -

t)~2?dt,

0 <

х <

1,

(III. 113)

О

О

x (x ) = T 2(^) +

t J‘ v(^ ) ^ _ ^ ) - 2^

)

-

1

< . х <

0,

(Illл 14)

X

где

(х)

определена выше, а

*2(*) = ~

(~

о

X)~t ф* (t) dt,

J(_

-

<!>*{*) =

|

X

(- t)(~ t ? - 1(t - x f-'d t + <h(|)- 44(-•f) .

Исключая х(х) из (III.88)

и (III. 113),

(III.114), получаем сингуляр­

ное интегральное

уравнение относительно v(х )

0 Г .

. 1-2Р

!(Х) = Х j

— t

)

1

v (t)d t

\х\

t — X

1

1 — tx

t_

1 - 2 0

1

- 1

)

1*12р- г

(t) d t -)-

*!

t — X

1 — tx

1

+

J-^ i

ix i

t ) '>(t) d t -{• xг (х )>

(III. 115)

где

Л

0

t ) { x - 4 f - ldi,

0 < x < 1,

# i (x, t)

=

0

\ - J z \ H $ t t ) { \ - x f - ld%t

— 1 < x < 0,

X

x_

X

J ( *

-

t f ”1 [Xi (6) -

m

d\,

о < X

<

1,

6

' dx

0

X2 ( * ) -

0

-

т

- Ж I (? -

x ^ ~ X[Xi («) -

(E)] d%,

-

1

< X

< 0.

Как уже было упомянуто,

уравнение типа (III. 115)

исследовано

Геллерстедтом и регуляризовано с помощью метода

Карлемана.

Коротко изложим

этот

способ регуляризации.

С этой

целью

уравнение (III. И 5)

перепишем в виде

1

-

(X) -

X

j

7 (t) К(Х,

t)dt =

х* (X);

(III. 116)

здесь

-1

__

М 1-2Ч х ) = V (х ),

К<.х,

‘)= ‘ Th

+ ST ^ - -

-

1 - ^

0 .

x U x ) = h (x ) + х J

г‘

-1