книги из ГПНТБ / Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем
.pdfВторой вариант (интенсивность нагрузки |
задается в узлах |
|||
О, а, Ь, с,.d; ом. рис. 4 |
а). |
|
|
|
•^00 — Чо> ^10 — , (Яс |
Qa)i |
А01 — |
. (Яь |
4d)i |
“х |
|
“Пх |
(1.67) |
|
|
|
|
|
|
Аао—г г ( ~ 4q0+2qa+2qc); |
Ао2 = — — |
—(— 4q0+ 2qb+ 2qd). |
||
h*x \ |
|
h2x |
|
|
Приравнивая суммы значений, стоящих в каждом столбце табл. 1 (за исключением третьего), к коэффициентам нагрузоч ной функции А1к (пять условий) и подчиняя полином (1.64) ди скретным значениям прогибов в узлах сетки (двадцать одно усло вие, см. рис. 4 а), получим двадцать шесть уравнений, решив которые найдем все коэффициенты полинома.
Приравнивая же сумму коэффициентов, стоящих в третьем столбце (умноженных на соответствующие жесткости, представ ленные в первом столбце), к значению Aoo= qo, получим конеч но-разностное уравнение изгиба анизотропной пластины:
|
Он |
^ |
— (D,, |
2D„)]w„ * |
[ - |
i _ D „ |
+ H f |
||
|
|
а* |
а= |
|
|
|
|
|
|
- |
(D12 + 2DC6) (W j |
4- w 3) + |
D„- |
8 |
D22 |
•sr<D-* + |
|||
3 ~ ~ |
|||||||||
|
За2 |
|
|
|
|
||||
+ |
2D«) |
(\v2 -f |
w4) + 2 |
----— |
Dlt — |
-g-p D22+ |
(D12 -f- |
||
20
+ 2D66) + ^ (w5 + w7) + 2 - — Du - — D2,
|
|
a |
a3 |
3 |
3a< |
+ |
~“ |
(D12 + |
2D66)- |
a* |
[ 2 |
|
3a^ |
|
a |
T D ll— |
|
“ |
^ 7 |
(Dl2 + |
2D66) (Wg + |
W„) + ^"^7 D22— |
(D12 4~ |
+ 2D66)j(wi0 + w12)+ j^r-Dx*-)- -g77(D12 4- 2D66) —
|
---- —D16 |
(w13 |
4- w15) + [~ D ii+ - r-7 (D12 |
+ 2D66)+ |
|||
|
a |
J |
|
L 0 |
6a2 |
|
|
4-----Die (* u + Wi6)+ |
[— D22+ T T (D 12 + |
2D66) |
-D 26 (wt -h |
||||
a |
J |
|
L ba4 |
|
|
ai |
|
+ |
W19) + |
D22+ |
ba2 |
+ 2D86) ----- - D 26 |
( w 18 + |
W 20) — |
|
|
6a4 |
|
ad |
|
|
||
|
hi |
4- qi + |
q3 + a4 (q2 — 2q0 + |
q4)]. |
( 1.68) |
||
|
— ~ |
[4q0 |
|||||
При ’втором варианте затруднения правая часть уравнения- |
|||||||
(1.68) имеет такой вид: |
|
|
|
|
|||
hi |
2qa + |
2qb |
а4 (— 4q0 + |
2qa + 2qd) |
(1.69) |
||
3 |
9о + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1.68) по структуре отличается от уравнения, по лученного для анизотропной пластины в обычных конечных раз ностях [15], хотя количество узлов сетки остается то же самое. Однако уравнение (1.68) дает возможность учитывать болеесложную распределенную нагрузку в окрестности узла сетки. Решение при одном и том же числе узлов получается более точным
В дальнейшем будет показано, что это уравнение может быть использовано для расчета пластин переменной жесткости, по логих оболочек и для расчета пластин nd уточненным теориям (с учетом деформаций сдвига).
Для ортотроганой пластины уравнение (1.68) принимает вид:
4 ( ?1 |
+ |
7" + |
! г ) |
|
7 |
( ^ ‘ “ 3 7 |
+ |
5 7 ) (w< + |
w*> + |
||||
+ |
| |
( |
3?1_ |
8 i |
_ |
|
s i |
) |
(w, + W()_ |
^ ( Pl + |
A |
- |
|
— -§•) (w5 + |
w6 + |
W7 + |
w8)+ -y (2?i - |
(w„ + |
w,) + |
||||||||
+ ~ |
[ 2 "^ — |
|
|
|
+ Wl2^+ |
|
l j ) ( Wl3 |
Wu + |
|||||
|
- f |
W, 5 .+ W ft) |
+ |
“ |
~ ( ^ 7 |
+ |
" j j ) ( W l 7 |
+ |
Wl8 + W19 + |
W2o) ~ |
|||
|
|
|
[4q0 + |
4i |
■+■Чз + |
0(4 (Чз ~ |
2q0 -(- 44) |
|
(1.70) |
||||
Здесь |
Pi — Dj1; P2 — D22; |
Рз — Di2~b2D66. |
|
|
|||||||||
При втором варианте загружения травая часть уравнения
(1.70) |
записывается по |
(1.69): |
|
|
(1 + 4Д) q0 + |
2(qa + qb) + 2Д (qc + qd)]h*. |
(1.71) |
Для изотропной пластины: |
|
||
1. |
Прямоугольная сетка |
|
|
22
|
- -^(w 9 + |
Wn)+ y [ |
^ T |
-l!r)(Wl° + Wia)+ .6 ( 1 + |
||
+ |
^-)(W18 + |
w14 + W15+ |
W16)+ — |
( 1 + |
(Wit + W18 + |
|
|
-t- w19 -+- W20) — -гг- |
(4 |
2a4) q0 + |
qt + |
||
|
|
|
bU |
|
|
|
|
|
+ q3 + |
®4 (q2 + q*)] hx. |
(1.72)’ |
||
При втором варианте загружвния правая часть уравнения. |
||||||
(1.72) записывается также по (1.69). |
|
|
||||
2. |
Квадратная сетка |
|
|
|
|
|
+ w7 + |
w8) + |
(w9 + |
w10 + |
Wn + |
w12 + w13 + |
||
|
|
|
О |
|
|
|
(1.73). |
|
|
|
|
|
|
|
|
4" W14 |
+ |
Wj5 -f- Wie |
w17 -f- Wj8 -(- Wjg -f- w20) — |
||||
= |
——(2q0 + |
qi + |
q2 + |
q3 + |
q4)h4. |
||
При втором варианте загружения правая часть уравнения (1.73) имеет вид:
— 5q0 + 2 (q a + qb + qc + qa) h4‘ |
(1-74) |
3D
Для составления .конечно-разностных уравнений, характери зующих прайичные условия, удобно выразить коэффициенты по линома (1.64) через прогибы узлов сетки и через параметры азз, 250, а05, Ибо, а0б, которые в свою очередь определяются из усло вия удовлетворения дифференциальному уравнению равновесия
пластины.
Эти коэффициенты имеют следующие значения:
a33a3h | = |
[ l 2 (aD16 + ^-6)w0 - 2 ( 4 a D 16 + |
18 (D12 + 2D66)
23г
|
|
— ~ ( wi7 + |
w,g + |
w19 + w.0) j; |
(1.75) |
|||
a o5«5 hx = 240572 {8(3аЕ>2в + |
2a3D‘e)(wi ~ w,) - 2[3a4DH + |
|||||||
+ |
4a2(D12 + |
2D66)] (w, - |
|
w4) + |
4[a«D„ + |
a2 |
(D12 + |
2D66) - |
- |
2a3D16 - |
4aD26](w5 - |
w7) + |
4 [a«D„ + |
a* |
(D12 + |
2D66) + |
|
+ |
2“3Di6 + 4a D26](w6 - |
w8) — 8a3D16(w9 — w„) + |
4a*(D12 + |
|||||
-b 2D66)(w10 — w12) — a3(aDu — 4D16)(w13 — w15) — a3 (aDn +
+ 4D16)(wu — wlfi) — 2a [a(D12 + |
2D66) — 2D26] (w17 — w19) —» |
||||||
- 2a[(D1, + 2Dcg) + 2Da6](wlg - w20)} + |
^ - Z /q |
aihl |
. |
(1.76). |
|||
|
|
|
|
120 D22 |
|
|
|
240Dn |
|
_l_ 4(D12 + |
2D86) |
(w t — w 3) — |
8 |
+ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D22 |
|
|
|
|
|
|
|
a* |
|
|
|
|
— w 7) + 4 Г— |
4- |
D 12 ~t~ 2D66 + |
4 — + 2 |
(w6 |
w8) — |
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
4 D12 + 2D68 |
(W9 - |
wu )-b8- ^ ( w 10 - |
wlt) + 2 (~D» + 2D« |
||||
|
|
a3 |
|
|
^ |
a z |
|
24
|
|
( q s - g O h j |
|
|
(1.77) |
|
|
120 Du |
|
|
|
|
720 D.3(D12 + 2Dee) |[ 12a4 Dlt (D12 + 2D66) |
- |
96a4 D’ 5 |
||
|
|
|
|||
—■96a2D16D26 + |
24a2(D12+ 2D66)2] w0 + |
[64a4D162 — 8a4Du (D,2 + |
|||
+ |
20бб) + |
48a2Di6D26 — 12a2(Di2 + |
2D66)2](wi |
+ w3) -j- |
|
+ |
[48a4D216 — 6a 4Dn (Di2 + 2D66) + 64a2DI6D26 — 16a2 (D12 + |
||||
-f- 2D66)2}(w2 +■ W4) — 4[8a4Di62 — a 4Dn (Di2-|-2D66) + |
|||||
+ |
8a2D16D26 — 2a*(D!3 + 2D66)2](w5 + w6 + w7 + w8) — |
||||
—2[8a4Di62 — a4(Di2 -(- 2D66)Dn](w9 + wn) — 4[a2Di6D26
—a 2(Di2 + 2D66)2](wm +W i2) + a ^ D ^2 — Dn(Di2-|-2D66)](wi3-{-
-f- W14 + W15 + Wi6) + |
a 2[8 D16D26— 2(Di2 -f- 2 D66)2](wi7 -f-. |
|
-j-' wis ~b W19 4* w2o) } |
(Ч2 2 qo+ 44); |
(1.78)’ |
|
/ 20 L/i% |
' |
— D16D26 -f- — (D1S + 2D66)*j w0+ D 26
2S
4 -0 ,2 (Dia + 2D6t;)+ |
— Die D26 - ii(D i, + 2DG6)2 (w , |
+ |
|||||||||||
a4 |
|
|
|
|
а |
|
|
|
ал |
|
|
|
|
|
+ |
w3) + [ 4 |
D*6 - |
± |
D |
» |
i |
D+ 2D66)+l t |
4 d »6D26 - |
' |
|||
4 |
(Dia -j- 2D66)al (w2 -f- w4) — 4 |
Г 4 ° 1 б |
- |
— (D12 + 2Dee) |
|||||||||
+ |
“ |
D16 D2G |
—j- (D13 + 2DC6)4j (w5 4- w6 + w7 -f- w8) — |
||||||||||
- |
2 [ 4 |
D26 - |
^ |
(0,2 +2DB6)j(w10+ w12) - 2 [ 4 0 leDie - |
|||||||||
4 (0 ,* + |
2D60)j |
(w9 + w„) + - |
|
8D26—D22(Dj2+ 2Dcg) (w 17 + |
|||||||||
+ w18 4- wl9 + w 20) -i----- [8D,GD2G— 2(Dl2 4- 2D66)2] (w13 4- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
w)4 + |
w15 + |
w16)} + |
|
|
(4i “ |
24o + q3). |
(L79> |
|||
Для ортотропной пластины, |
если принять шо 'внимание, |
что |
|||||||||||
|
Die — D26 — 0; |
pi = Du; |
p2 — D22; p3 = |
D]2-f-2D66, |
|
||||||||
формулы (1.75—'1.79) |
запишутся так: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a33a3h| == 0; |
|
|
|
(1.80) |
||||
3 q5 a h | |
•— |
[2a* (3a2 |
+ |
433)(w4 — w3) + 4a2 (a2 ^ |
+ |
||||||||
|
|
|
240 ps |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Рз) (w5 — w7) + 4 a 2(a2pi + |
p3) (w6 — w8) + 4 a2p3(w10 — |
|||||||||||
- wI2)— a 4Pi (w13 — w15)— cc4Pi (w14 — w,6)— 2 a2p3 (w,7 — w19) —
- 2aap3(w18 — Wj0) + ■ - £ — (q2 - q4) hi; |
(1.81) |
IzO p2 |
|
26
*»',г =T ^[^(!r+ 44 (Wl“ W!)+Tr(^ + ь)хС-«-. +».+
+ |
w7 — w8) - |
43 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
Wi6) + |
|||
-^(w* - |
Wu)-!— ^-3 (w,3 - w,4 - w15 + |
|||||||||||||
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
— (W17 - |
Wjg - w19 |
+ w.0) +■ —рг-(Чз - |
Qi)hx. |
|
(1.82) |
||||||||
|
a* |
|
|
|
|
|
|
izu pi |
|
|
|
|
||
a06 a6 hi |
= |
|
[ 12(a* p, + |
233) w0 - |
4 (2a2 ^ + 3i33)(wi + |
|||||||||
|
|
|
720?! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ w 3) — 2(3 a 2p, + 8 p3> (w 2 + |
w 4) + |
4( a 2p, - f |
2 p3) (w 5 + w 6 + |
|||||||||||
+ |
w 7 + |
W8)+ |
2 Pi (w 9 + w , i) + |
4 p3 (Wio + W12) — a 2pi (w i3 + |
||||||||||
|
4 ~ W14 + |
W15 -f- W is) — |
Рз (W17 - |- Wi8 - |- W19 - p W 2q)] |
4 " |
|
|||||||||
|
|
|
|
+ |
? |
s r |
(4 ' - |
2q« + q‘ ); |
|
|
(1.83). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
aeohI — |
|
1 |
12 ( — 4- 2?3) w0 - |
2 |
^ + 8 3 3 ) ( W 1 + |
w 3) - |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
720 a2 ?2 ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ 3^3) (w2 + |
w4) 4- |
|
|
( w 5 + w 6 + |
w7 4- |
|||||||
+ |
we) 4" — (w10 + w12) 4 - 4r33 (w9 + |
wlt) — 233 (w18 |
! |
wl4 |
||||||||||
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
W ib |
+ |
W j g ) ------| ^ ( W l7 |
+ |
W 18 + |
W i9 + |
W2 o )j |
*Г |
|
|
|||
|
|
|
|
, |
(qt - |
2q0 + q3)h* |
|
|
|
(1.84) |
||||
|
|
|
|
_Г |
|
|
720 ?! |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
.Для изотропной пластины |
(Pi = |
p2 = Рз = |
D) |
|
|
|
||||||||
a 05a 5 h l = ^ [ 2 |
( 3 a 2 + |
4 ) ( W 4 - |
W2) |
+ |
4 ( 1 + |
a 2) ( w 5 |
> |
wc — |
||||||
27
• w7 — w8)+ |
4 (wio — Wi2)— a2 (w13 -f W14 — w15 — Wi6) ■ |
|||
- 2(w17 + |
w18 - |
w19 - w20) J + |
^ 5-(q2 - 44); |
(1.85) |
1 |
2 ( ^ |
+ 4 ) (Wl - Wg) |
- 4 ( 1 + |
(w 5 - |
Э50 hj |
||||
240a2
—\V6— W7 - f Ws)---4 (w9--- W11) -f- 2 (W13--- W|4--- WI5 -j-
;+ W l 6 ) + ^ |
( w ^ - w i 8 - w i9 + |
w 20) + |
7 ^ ( Ч з - q i ) ; |
(1-86) |
аоб «e bxe = |
a2 |
4(3 + |
2a2)(Wj + w3) - |
2 (8 + |
— [ 12(2 + «2) w0 - |
, + 3 a2) (w2 + w4) + 4(2 4- a2) (w5 -j- \v6+ |
W7 + W8) + |
2 a2 (w9 -f- |
||||||||||
-f- Wu) + |
4 (wio + |
W12) — a2 (W13 -f W14 + |
wJ5 -f- wi6) — 2w17 -f- |
|||||||||
|
+ |
w18 + w 19 + w20)]+ ^ J | ( q 2 - |
2q0 + |
q4); |
|
(1.87) |
||||||
a00 bx — |
1 |
12 ( 2 + |
“г) w ° ” |
2 ( ^ |
+ |
8 |
)(Wi + |
w .) |
||||
|
||||||||||||
|
|
720 a2 |
||||||||||
4 ( 3 + " J r ) |
¥ W i + 4 ( 2 + |
|
( W 5 + W 6 + W 7 + W j) + |
|||||||||
+ a2 |
( W 10 |
+ |
W 12) |
4 " 4 (w g |
-j- W (1) |
--- |
2 (W 13 -(- |
W 14 + Wjg -j- |
w 16) - |
|||
_1_ |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
(W 17 + |
W I8 + |
W19 + |
W20) |
+ |
|
(Q i |
— 2 Qo + |
Чз)- |
( !- 8 8 ) |
|||
a2 |
|
|||||||||||
§ 5. Составление уравнений, характеризующих граничные условия
Уравнения равновесия (1.68) должны быть составлены для всех внутренних узлов сеточной области. Кроме того, можно за-
28
писать уравнения равновесия и для узлов, лежащих на контуре области. И в том и в другом случае необходимо получить допол>- нительные уравнения, характеризующие условия, опирания пла стины.
Рассмотрим некоторые варианты этих уравнений.
1. Уравнения (1.68) записаны только для внутриконтурных узлов. При этом за контур выходит один ряд узлов. Используя полином (1.64) а также табл. 2 значений коэффициентов этого полинома, нетрудно составить уравнения, характеризующие гра ничные условия в узлах 4, 7, 8 (см. рис. 4 а).
Узел 4:
а) жесткое защемление
(1.89)
б) шарнирное опирание
w 4 = 0;
(
+ -f-(w6 - |
W6) + |
-i-(w9 - |
Wu) - ~ (wl3 - w14 + w17 - w18) + |
+ — |
( — 'w19 |
+ w20)] |
+ 2- ^ (5 a 05a5h| — lla 06a6h£) + |
4 |
|
|
a1 |
|
|
|
(1.90) |
в) свободная грань
(
+ - J (w 7 + W 8) — ~ (w16 + W 16)] + ^ - e j-^-(w3 - W j) -b
!9