Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Подставляя эти результаты в .(5.114) и объединяя с (5.11), получим:

B1X w l = Ci + FiXQi	(5-118)
где

п,,ь х ь х Пц
Пиг X Di1 X К
24 Ri X °4 X [(ПЬ4 X Пш ) (ПЬ4 X b X Пх,,)] +
ЬR*Xъ XU X Пси X ОГ1 X к
U X П5: X “ cos <?
?	(5Л19)
%
Ci = [ct®h sin <ро];	( 5. 120)
Лаг X Di х Т2	( 5. 121)
	( 5. 121)
_ Н2Х аз X I2 X n dl X Di X Т* Пд
здесь Zi и Z2 —нулевые отроки.
Выделим из Wi матрицы:
матрицу законтурных точек
wfk = [w 5 w6 w9 wi3 w 17 W21 w2 5 W29];	(5.122)
матрицу контурных параметров
wf = [aoo a10a20.......a70];	(5.123)
матрицу внутриконтурных точек
Wik = [W3 W7 W8 W11 Wi4 W 15 Wi6 Wi8 Wi9 W2o W23 w 27],	( 5.124)

Указанные матрицы удовлетворяют условиям положения 2, и поэтому можно записать:

181

Wl= n 3i x W?k + ng x wl + n 6k x wf.

(5.125)

Подставляя это выражение 'в (5.118) и разрешая относительно матрицы законтурных точек, получим окончательно:

wik = (В4 X Пбк) 1 X (Ct + F i X Q	Bi X Ш X Wi
-m x w l1).	(5.126)

Рассмотрим жестко защемленную деформированную грань,,

параллельную оси rj (рис. 23 б).

Примем для. функций деформации граней следующее разло жение:

w h ) = aj0 + VaojTf;

=о

(5.127)

On = с», + ] £ c ojrtJ

1=1

Учитывая полное удовлетворение граничным условиям по оси г), матрицу (5.82) перепишем так:

w2 = [aj0w2 aoi w4		аог W6 W7 wsWgWio а0зwi2 ao4 w»
W15........w22 ao5 w24 аоб w26 ao7 w2s aoe];				(5.128)
здесь a08 = 0 и записано для сохранения размера				матрицы.
С учетом (5.127)		примем матрицы а2 и ;Н2 следующими:
a2 =	[a0i	а02 ........ао7	а<»];	(5.129)

Н2 =	[Т]	Г\|2 Г]3 .. ...	rf T)8)

В силу положения 1

а2 = П1,1 Х %

(5.130)

182

Сравнивая (5.130) со вторым уравнением из (5.85), заклю чаем, что во всех уравнениях алгоритма, изложенного в § 3, необходимо b X П^заменить матрицей 'П|т),.

Тогда матрицы V) и Ki запишутся так:

— П„ X (ai RuX S40 X	X b X Пц + R22 *^04 X
X п4, + Пщ)		(5.131).
к,=(-ё!2 Е12) х -	(ШШ)[ь х пц х п1ч1].
Тогда (5.104) примет (вид:
(24Ki X ^ X [ПЬ4 X b X Пц ПЬ4 X Пщ] +		R2 Х ^ X
х t2 х п«х ог1 х к) х w2=(nQ- r2 х^ 2 хТ2 х Пн х
X D ~ ' X T 2)Q.		(5.132)

Определим граничные условия для рассматриваемой грани:

— — — X — costp = 0n h sin <f.			(5.133)
a;	Oft	a

Подставляя в это‘выражение полином (5.68) и выполняя со ответствующие преобразования, для грани, параллельной ц, по лучим (см. рис. 23 б):

B2X 'w2 =		C2 + F2XQ;	(5.134)
здесь
_	Пт]Ь X b X Пц
_	nd3	X Dr1 х к
24 R] X ai X	[Пь* X b X ПцПЬ4 X Пщ] -Т
+ H 2 X ^ X F , x n d lX D r 1X K
	t4	X П5т,а cos <P

(5.135)

183

			C2 = [CBfisInT 0];					(5.136)
f2= - % nd3X Dr1x T2(r2X					x l x		ndl x Dr1x
			X T j - n Q)];					(5.137)
			a10	П^ь X	a15			(5.138y
[^ii	3 \| 2	^13 З14 a15	at6] —	n d3 X ав X n d3		X	Oi X ( K T 2) X
				X R g ] ;				(5.139)
		[a<>i a02 . . . . . . a07] =			П5Т) X	w2-		(5.140)
По положению 2 можно записать:								t
По положению 2 можно записать:
	■	w2= Р к х ^ 2к + п7* х W?+■П7к х wl];						(5.141)
здесь
		w\|k = [w2	w6 w7	Wio wis Wie w22 w26];				(5.142)
		w2* =	[aJ0aoi a0 2 .......a07J;					(5.143)
W2	= [W4 We Wg W12W 14 Wi6 Wi7 Wi8 W20 W2 1 w24 W26].							(5.144)

Подставляя (5.141)	в (5.134) и разрешая Полученное уравне
ние относительно матрицы законтурных точек, получим:
w\|k = (В2 X П?ь ) - 1	X (С2 - fF 2 X Q - B 2	X T T ? X w I -
	- В 2 Х П ? Х ^ к).	(5.145)

Имея решение для двух граней, нетрудно найти выражение для угловых законтурных точек. Рассмотрим угол пластинки, на который наложена сетка (рис. 24 б).

Легко видеть, что эта сетка образована сдвигом в тгредугловые точки двух сеток.

Определим для этой сетки матрицу деформаций:

w3 = [wi w2 w3 .. ■w26 3g9 аю a.2o... a70 a(}0 аю a20 ... a7o]. (5.146)

184

Запишем матрицы Wi (5.107) и w2 (5.128) в обозначениях рис. 24 б:

W i — [аоо Эю W]7 а 2о W] W 2 W<i W js W3 аз( Wig 840 W4 W2o Wg

w 2! W5 w 22 w c w 23 w 6 a50 \v24 ago W7 азо w 25 aso Ws];

w 2 — [aoo Wg a0l	W17 3o2 W10 W11 Wig W eW i2 Зоз W]8 3o4 W26	W13
W23W f W25 Wi4	W24 W 15 W i W5 Эо5 W2j Эоб Wi6 Эо7 W2o Эов].

185

Учитывая разложение функции деформаций -граней, можно записать:

		7			7
w d = aj0;	wc =	aoj;		we = ajj„; w t =	]£ jaio.	(5.147)
		]=0			i=0
Очевидно, матрицы Wj, W2 и W3 удовлетворяют условиям по
ложения 1.
Отсюда		_	_____			(5.148)
		wi =	n iyw3;			(5.148)
		w2— П2у\у3.				(5.149)
Подставляя (5.148)		в (5.118), а (5.149) в (5.134), найдем:
	Вз X w3 =		Сз -f- F3 X Q2*			(5.150)
Здесь
	В3 = [Bi X			ffiy -ВаХП^у];
		С3 =1		С[С2—
		hз	=	1 1112 —l,

матрица Q для каждой сетки имеет вид (5.73) и записана для

точек e n d (см. рис. 24 б ).

Если же нагрузка представлена в форме (5.75), то для Q2hF3

находим следующие значения:
Q2 — [Че ЯкЧп QfQi Ч24<j Qie Чз ЧюЧ12Чь4* Чз QeЧ11 Q12 Q>]>	(5.151)
F3 = (Ft X H qi F2 X n Q2l,	(5.152)

где pTqi и n Q2	— матрицы, преобразующие (5.151) в матрицы
вида (5.75).
По положению 2 йредставим матрицу деформации:
w3 =	n fiy X wfk + П\|у X w3 -f- П6ку X w3i	(5.153)

(86

здесь	wl k = [w4w2 ........	wi6];
w3	— [зоо3i0 Ззц ■.. • 870 a?o	3q2 . •.. З07];	(5.154)'

W3 — [Wj7 W18 . . . ■ \\^2б] •

Подставляя (5.153) в (5.150) и рззрешая систему относи тельно W3к, получим:

w33 = (в, X п 6у) X (С3 -f- F3X Q2	В3X П5у X wf —
- B 3x n 6ky x w k).	(5.155)

Для определения ззконтурных точек можно использовать по лученные здесь формулы, если принять матрицу преобразова ний следующей:

■Пь,: (9X29)0 : 1; 2:3; 3:5; 4:11; 5:13;

6:23; 7:25; 8:27; 9:29];

(5.156)

а матрицу Q (5.75) записать так:

Q = [qi q2 qs q4 qa q7 qe qg qs qio qi3 qi2 qn]-

(5.157)

Определим выражение для законтурных точек при условиях на контуре, отличных от жесткого защемления. В общем случае будем считать, что грань защемлена в упругой балке. Рассмот рим грань, параллельную оси | (рис. 24 а).

Изогнутую ось балки, расположенной по оси £, аппроксими руем полиномом:

7
w(5)= a k - f - V a i06‘.	(5.158)]

i=l

Коэффициенты полинома будем рассматривать как неизвест ные, подлежащие определению вместе с законтурными точками. Считая условия на контуре неоднородными, примем, что функ ции заданных контурных усилий допускают разложение в ряд Тейлора на отрезке +1 и удовлетворительно аппроскимируются следующими выражениями:

18?

		7
a3h3 sin3 9 X	Pt = Pi	+ E	Pio S';	(5.159)
		1
		6
ah sin* tpx	mt — m‘	+ ^	mi0 V.	(5.160)
		l

Для удовлетворения кинематическим и статическим условиям на контуре участка примем сетку (см. рис. 24 а).

Ввиду совпадения (5.158) и (5.105) исходные матрицы для определения коэффициентов (5.68) можно принять в виде (5.110; 5.111). Определим граничные условия для рассматриваемой гра ни [43]:

S,	^ + s , ^ + s ,			д3 w I g й3 w + S5й3 w »
S,	0:‘	'		di2 йу + b*di йу2		йу3
			= — Р* a3h3 sin3 ср;.			(5.161)
			Bt
	й3w . й3 w .			д2 w	+ e5	d 2 w
ei	-------- b e ,------ he«------				+ e5	й$ йт\|
ei	di2йу		Й;3	di2		й$ йт\|
			— mt a* h2 sin2 <p;			(5.162)
здесь
=: — sin2 cp;			Sj = — 4-(2a3 R 16 +		aS Ri*cos <p);
	h			Bt
S3 = —-(a2 Rlt -+• 4a2 Re6 + 2a' R26 СОЗ cp);
	Bt					(5.163)
S4 = ----—(4aR.,6 + aR,2 cos?);						(5.163)
S4 = ----—(4aR.,6 + aR,2 cos?);					= — — R22;
	Bt				Bt
et — — Ct — sin <p;			eo = Ct — sin <? cos ?; e3 =			— a2 R12;
	h			h
	e4 =		— R22;	e5 = — 2aRj6.

188

Подставляя полином (5.68) в уравнение (5.161) и (5.162), получим в (5.161) равенство двух полиномов пятой степени, а в (5.162) — шестой степени. Приравнивая коэффициенты при оди

наковых степенях				находим систему 13 уравнений:
St X t5 X			а6£+ S,X t6 X an + SaXl, X a8£ + S4X t8 X a9£ +
				+	6S5 aio£ = -j-Pt;						(5.164)
									bt
еД 6 a7£-f e3tj am +				etl 7 a8£ -f 2e4am +						e5t10 ai3 = mt;	(5.165)
					2e4 aG2=			mG0;
здесь:
7 6 = i	24 1 2 0		360 840 0 0 _ j;			Г6 =	Г б		24 60 1 2 0 2 Ю 0 _ j; '
T7 = I		2	6 1220300_j;			Лв =	1	2	46 8	1 0 1 2 _j;
F9	= ^	26 12203042 X;					^	0 =	Г 1	2 3 4 5 6 ^ ;
a6£ = [a40 a30a60a7oOO];					an — [a30a40a5oa6Qa70 0];
a8£ =	[ац a31 a41 a51 a610];				a9£ =		[a7? a22 a34 a42 a52 aG,J;
aio« —	[а0з a43 a23 a33 a43 a53]; am =						[a2o a3o a40 a50 aGGa70];
am =	[a02 ai2 a2J a32 a42 a57];				ai3==		[an an a31 a47 a51 aG1];
P t= [po Pio P20 РзоP4QP50]»					mt = [m ‘ m10m20ms,m 40m50].
Элементы матриц pt					и mt, а также элемент m70 берутся из
(5.159) и (5.160).
Принимая матрицу деформаций участка в соответствии с
(5.107), по положению 1 можем записать:
	абЕ =		П(5;Х w7; ап =			ЦпХ w,; am = П8?Х w4.					(5.167)

189

В силу того же положения 1 имеем:

38$ = П^з X аз = Паз X П51 X (К Т2) X [wi Q];

(5.168);

Г9£ = ГЦ X а3 = n d4 х D71(К т 2) X [ Щ Q];

am = n d7	X а3 = n d7 X D7 1 X (К Тг) Х [wxQ];
Вид матриц	АюЕИ аш несколько сложнее.
Представим	первую из них так:
ajo?	— [аоз 0 0 0 0 0] + (О ai3 а2з азз 343 аи],

тогда .по положению 2

аюе = П3ь X а2+ n d5 X а3.

Подставляя значения матриц а2 (5.85) и а3 (5.101), найдемг

аюе = (Пзь Х Ь Х П Ц + n d5 X D7 1 X К) X w, + n d5 X D7 1X

х т "2 х Q;

(5.169),

аналогично получаем:

ai2S —[ног 0 0 0 0 0] + (0 aj2 а22 аз2 342 as2] —

= П2Ь X а2 + n d6 X а3 = (n d6 X D31 X К + П2Ьл+ b X

X Пц) х Wi+ n d9 х П2- 1 х т х Q.

(5.170>

Подставляя найденные значения в (5.164; 5.165) и присоеди няя к ним оператор (5.111), в котором матрица D-1 заменяете®

на DiT1, получим систему 14 уравнений для определения выраже ний для законтурных точек и коэффициентов полинома (5.158).

В общем виде система имеет вид

В	4	4	X Q,	(5.171)»
В		X wi = Mi + F	X Q,

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ