книги из ГПНТБ / Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем

Очевидно, что долинам (5.31) удовлетворяет уравнению (5.23) при правой части (5.35).

Найдем матрицу а.

Подставим (5.31) в уравнение (5.25), учитывая (5^22) при к = 4; j = 4, 3, 2, 1, 0. Очевидно, в этом случае L = Li. После умножения матрицы R «а wIV получим:

Ь ,Х (а 4НпХР4оП4о+4а 3К16ХРз1Х'Из1+2а2ЯззХР22Х'П22+

пользуем при определении элементов матрицы а. Для их одно­ значности дополним систему (5.44) 24 уравнениями, которые за­ пишем из условия совпадения значений полинома (5.31) и его первых производных с действительными прогибами и углами по­ ворота вдоль осей координат в узлах по контуру элемента (см.

рис. 21).

Примем первые производные от (5.31) в соответствии с (5.17). Очевидно, что при к = 0, j == 1 получим выражение для угловповорота элемента вдоль оси £, а при к = 1, j = 0 —* вдоль оси ц.

Принимая для первого случая матрицу; Нц , а для второго —

w, — Нк X а;

161

Здесь верхний индекс у координатных матриц обозначает, что эти матрицы записаны для конкретных узлов.

Объединяя (5.44) и (5.46), получим окончательную систему 34 уравнений, из которых определим элементы матрицы а:

где D и F — блочные матрицы-столбцы,

(5.48)

F = [w, <р[ ©/iTxQi];

Здесь

Разрешая (5.47) относительно а, найдем

записывая (5.31) и (5.45) для точки g= rj = 0, получим:

аоо = w0; а)0 = ®о = fjh; a o t =9о = 9o a h . (5.51)

Но аоо. аю и aoi являются элементами матрицы а. Обозначая

матрицу из этих трех элементов через ai и учитывая вид а (5.32), определим по положению 1;

Очевидно, что система уравнений (5.53) устанавливает одно­ значную связь (между значениями функции прогибов и ее произ­ водных в .начале координат со значениями ее в узла.у на конту­

162

ре элемента. Зависимость между тремя параметрами деформа­ ции элемента пластинки устанавливается тремя уравнениями и удовлетворяет (5.25). Следовательно, эти уравнения могут рас­ сматриваться как разрешающие уравнения метода уточненного конечного элемента.

Преобразуем (5.53) таким образом, чтобы параметры функ­ ции прогибов и ее производных находились в левой части, а па-, раметры нагрузки —в правой. После некоторых преобразований; уравнение (5.53) запишется так:

Здесь матрицы преобразований получаются по положению 2, если представить

Как частные случай из уравнения (5.54) могут быть полу­ чены операторы для ортотропных и изотропных косоугольных пластин, а также для пластин прямоугольного очертания в плане.

Вчастности, для

ф= — ; а = 1; Du = D33 = D22 = D; Di6 = D26= 0

получаются уравнения (3.74—3.76).

Найдем выражение для интегральных силовых факторов в элементе, для чего подставим (5.31) в 1, 2 и 5 уравнения из (5.27).

_Me6j

163

X Р» X Пи /

Здесь матрицы Р и П строятся так же, как и при получении

матрицы и (5.42), при этом элементы матриц Р20 и Р02 делят­ ся на 2: '

Аналогичным образом запишутся уравнения для поперечных

/ Ц х (« 3Rie х Р30 пзв+ а2 R33 X p2l Xп21+ 3aR2e X Рц П„ + X (

\L*X(<*4Rii X Рзо X п30+ За» R16 X PTi Xп~ + <х2Rss X К2X

Уравнения (5.56) и (5.58) могут быть найдены для любой точки элемента, .в том числе и для контурных точек. Как отме­ чалось выше (гл. III, § 6), для удовлетворения граничным усло­ виям необходимо записать соответствующее уравнение для сере­

164

дины стороны элемента (см..рис. 21), совпадающего с узлом на

контуре пластины. Для этого определим (матрицы L2 и L3 для соответствующих точек контура, приняв момент равным нулю или интенсивности заданного момента на контуре в соответ­ ствующей точке и перенеся члены уравнений, зависящие от внеш­ ней нагрузки, в правую часть.

Очевидно, на контуре пластины имеем в каждой точке три неизвестных параметра функции деформаций. Для их опреде­ ления необходимо записать три условия:

в случае шарнирного опирания на грани параллельной оси £

последнее условие для косоугольной пластины с учетом урав­ нения 3 из (5.27) преобразуется в следующее:

М6в = — a mt cos <р.

Без особых затруднений аналогичные уравнения могут быть найдены и для грани, параллельной оси т). В указанных усло­

виях mt и рк — интенсивности нагрузок в узловых точках на кон­ туре пластины.

Для угловой точки пластины в случае шарнирного опирания дополнительные уравнения запишутся так:

106

здесь к имеет тот же смысл, что и выше.

В случае жестко защемленного деформированного контура для каждого узла пластины .записываются следующие уравнение

Из вышесказанного следует, что при трех неизвестных пара­ метрах в методе уточненного конечного элемента появляется воз­ можность более полного удовлетворения граничным условиям.

Примеры. х 1. Ромбическая изотропная пластина с углом скоса 60° жест­

ко защемлена по контуру и загружена равномерно распределен­ ной нагрузкой.

Принимая a = 1, h = —^ , г д е I —длина стороны пластины,

4

имеем прогиб в центре:

w — 0,134^— 10~2.

D

Решение для этой же пластины методом конечных разностей имеет следующее значение (11, 45]:

' w = 0,131 2 ^ 10~2.

D

2. Косоугольная анизотропная пластина, загруженная рас­ пределенной нагрузкой с деформированным контуром по кривой

166

четвертой степени, угловые точаКи Закреплены от смещения. Угол поворота сечения контура вдоль нормали задан полиномом третьей степени. -

Для такой пластины была решена обратная задача — подо­ брана функция деформаций, удовлетворяющая уравнению (5.25) при q = const, и по ней определены условия на контуре. Таким образом, для указанной пластины было найдено точное решение в рамках теории (Кирхгофа—Лява. Методом уточненного конеч­ ного элемента решалась прямая задача.

При угле скоса пластины <р = 60° прогиб в центре (х =*= у = 0)

составил (h = —);

4

w = - 0,2447 Ю-2. Rn

Углы поворота в центре

Такие же результаты получаются при точном решении за­ дачи.

Для точек ,у острых углов (х = у = + —- ) имеем соответ-

бтвенно:

167

срх = срУ= —0,131(0,132)^ 10-2 sin 60°. Rn

Для точек у тупых углов ' (х = —у = + — )

w = 0,14.9 (0 ,1 4 8 )^ 1 0 -2.

Кц

Здесь в скобках показано соответствующее точное решение.

3.Прямоугольная изотропная пластина жестко защемлена

по контуру ( а = 1,5) . под постоянной нагрузкой. Для централь­ ной точки имеем:.

w = 0,220q— IQ”2.

D

Такой же результат находим у С. П. Тимошенко [54].

4. Рассмотрим поведение жестко защемленной анизотропной пластины с учетом изменения ориентации главных направлений упругости при q== const (ем. рис. 45). Пластина из материала КАСТ «В». Обозначим через р угол между главным направле­ нием упругости и осью х.

В табл. 6 приведены результаты расчетов для различных ]3. Перемещения определяются по формуле:

(нумерация узлов для этой формулы дана в скобках на рис. 15).

Последний пример указывает на возможность «управлять» деформациями анизотропной пластины при заданной нагрузке.

168

В заключение заметим, что изложенный алгоритм легко про­ граммируется, при этом все основные матрицы получаются в машине.

169

Таблица 7

Рассмотрим некоторый участок пластины, на который нане­ сена сетка (рис. 22).

Рис. 22

Для того чтобы принятая функция (5.67) удовлетворяла уравнению (5.65), разложим его правую часть в ряд Тейлора в центре рассматриваемого участка (| = г |= 0 ). Предположим, что функция нагрузки такое разложение допускает и что оста­ точный член ряда, включающий производные функции выше четвертой, пренебрежимо мал по сравнению со старшими члена­ ми ряда. Таким образом,

4

q + ч) = V Ац S' i (i + 3)<4. (5.70)

L J 2

1=0 1=0

Разложение (5.70) в матричной форме имеет -вид:

170