Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Допустим, что

Эк — ср; at — cf + cz -+ cs; ар — 0 и т. д.

Как известно, любой элемент при перемножении матрицы определяется так:

ai = 2 bij Х CJ- 1=1

Очевидно, что при i = k, если ак = ср,

Если i = t, то

«, наконец, при i = е

Таким образом могут быть получены все элементы матрицы

А, а следовательно, утверждение (5.1) справедливо.		следствия.
Приведем два	вытекающих из этого положения	следствия.
1. Если матрицы В и D удовлетворяют условиям положения
и имеют размеры	1Х т и 1Хп соответственно, то
	B = D X K	(5.2)

Транспонируем матрицы В и D и применим к ним положе ние 1:

B T = n , X D T.

Транспонируя это произведение, находим:

В = D X ПД.

(5.3)

151

Полагая П = П]", придем к преобразованию (5.1). Координаты матрицы преобразования 'строк определяются соответствующими

номерами элементов из D и В. При этом элемент из D опреде ляет строку, а элемент из В — столбец.

2. Если матрицы А и С содержат одни и те же значащие элементы, но имеют за счет нулевых элементов разные разме ры, то

А = П Х С ;	(5.4)
С = ГТГX А.	(5.5)

Поскольку матрицы А и С удовлетворяют условию положе ния 1, то можно записать:

А =	ГЁХ С;		(5.6)
С =	П2ХА.		(5.7)
Очевидно, что
n		m
а. = 2 bu	cj; Cj. =	2	bP ai-
J=l		i= l	'

Поскольку b может быть нулем или единицей, то из послед-

них равенств видно, что адрес единичного элемента из П2 полу чается транспонированием адреса соответствующего элемента

из Пь а следовательно

П2= П [ .

(5.8)

Положение 2. Имеется совокупность матриц Аь А2, . . . Ап. Каждая матрица не содержит элементов, принадлежащих дру гой матрице из этой же совокупности (исключая нулевые эле

менты), но элементы всех матриц Ai содержатся в некоторой матрице С, тогда

С = П: X-Ai + П 2Х А2 + ПП’ХА^-

(5.9)

Действительно, представим С в виде суммы матриц

152

, c = c, + c2+'....H-cn.

(5.10)

Каждая из матриц Q ( i= 1, 2 ,__ п) имеет размер матри цы С и содержит в качестве элементов только .нули и элементы

из соответствующей А| . Очевидно, что матрицы Cj и Aj удов летворяют условиям следствия 2 положения 1.

Отсюда -следует:

Q = П, X А,.

(5.11)

Подставляя это выражение в (5.10), получим равенство (5.9). Таким образом, положение -доказано.

Определим правило построения -матриц -П из (5.9). В силу следствия -2 имеем

Ai = Ш X Ci;	(5-12).
в свою очередь
А] = ТТц X С •	(5-13)
Размерность матрицы_п7 и Лц одинакова вследствие оди
наковых размеров Q и С, вместе с тем матрица С (	получается

из С обращением в нуль элементов, отличных от элементов Д. Учитывая это обстоятельство и исходя из положения -1, приходим к выводу:

П Г = Пщ

(5-14)

Отсюда -следует, что для построения матриц из (5.9) необхо

димо выразить -матрицы Ai через С, -построив -матрицы преобра зования по правилам, вытекающим из положения 1, а затем их транспонировать.

Получим некоторые формулы дифференцирования полинома, записанного в ма.трич-ной форме.

Пусть имеем полином f

V ^ a y x ' y i	(i + ])< Р-	(5.15)
i = 0 j = 0

153

Запишем его в матричной форме:

w =	Н X а>	(5.16)’
где Н — матрица-строка координатных		функций,
н — (х1у11-1)) п = 0, 1, 2	, , р; 1 =	n, п — 1, п — 2, . . . , 0;

а —■матрица-столбец коэффициентов полинома,

а = [ацп-ц].

Найдем k-ю производную от w:

dk w	Зк н . —
---------- =	----------. X а,
dxi д ук	д х > dyk _J'
подставим сюда Н, получим:

~ кУ —	= {ф —iL-Х(Ч>(----(n~ i)!		y(n-i-k+j)l х а7	(5.17)
d \i dyk 1	1 ( i— j)l	n — i — k + j ) j	j

Здесь n и i изменяются в соответствии с их расположением в матрице Н,

0 i <] и n — i < к — j. 1

Перепишем (5.17) в виде

- ^ - V = H i x V

dxi dyk

Предположим, что полином (5.16) является неполным. То гда, находя различные к-е производные, каждый раз будем по

лучать матрицы Hie, отличающиеся друг от друга не только ко эффициентами, но и координатными функциями. Выберем для

всех производных некоторую координатную^ матрицу L, содер

жащую все координатные функции любой

. Получим из Н

матрицу Н* , размер которой совпадает с L и координатные

154

•функции '-расположены так_же, как в L. Если в Нк отсутствует

какая-нибудь функция из L, то в Нк она должна быть записана с_нулевым коэффициентом. Из приведенного выше видно, что

Нк и Нк соответствуют условиям положения 1 и можно запи сать

Нк = н ; х n jlk_j.

(5.18)

Итак, при дифференцировании неполного полинома получаем полином, степень которого на к ниже. В этом случае в матри цу L будут входить все степени функций х и у, наивысшая из которых будет (р —к ):

	L =	(х1у"-1-*).		(5.19)
	гг
Матрица Нк имеет вид:
	Нк = (1 at. х		а2. у а3.	х2 ........),
или	Нк = (1 х у х*		• ) Х / 1
				(5.20)
				а2 • • •/
	Но по условию координатная матрица равна L, тогда
	п ; =	i	х Pj.k-i,	(5.21)

где Pj,k-j —диагональная матрица коэффициентов дифференци рования.

Таким образом, окончательно получим:

	dk w	(5.22)
	c/xi дуk-j'. — Е X Pj, k—jX П]-,к-]' X й.	(5.22)
	c/xi дуk-j'. — Е X Pj, k—jX П]-,к-]' X й.

Дифференциальное уравнение анизотропной пластинки в ко соугольной системе координат (рис. 20) имеет вид [43]:

а Rll^ T + 4а Rl6^ T + 2crR33w

155

d * w	, п	d * w	q(S,T])a4h4sin V	(5,23)’
+ 4a R2s T T T T K 2277			q(S,T])a4h4sin V	(5,23)’
015i)3		d r f

Здесь

h =

a h — h m ’

где l j , —l x размер сторон пластины по осям х и у 'соответственно;

п, m — число делений их на целое числ^ отрез ков;

R и- — жесткости ани зотропной 'пластины в ко соугольной системе коор динат, которые -следую щим образом выражают ся через жесткости в пря моугольной системе коор динат:

Ri1= Di 1sin4 ф —■4D[6 sin3 ф cos <p-f- 2D33 sin2 ф cos2 ф —

— 4D26 sin <p -cos3 ф -j- D22cos4 ф;

Ris = Dj6 sin3 ф — D33 sin2 фcos ф + D26 sin ф cos2 ф —

	— D22COS^;
R12 =	(5.24)
R12 =	D12 sin2 ф — D26 sin ф cos ф -f D22 cos2 ф;
R66 =	D66 sin2 ф— D26 sin ф cos ф -f D22 cos2 ф;
	R26 = D26 sin ф — D22 cos ф;

R2 2 : D2 2 .

156

Здесь		D33 — Di2 + 2D66,
Способ		определения жесткостей Djj показан в монографии,'
[29,	30].
	Указанные соотношения получаем исходя из инвариантности

упругого потенциала пластинки но отношению к системе коорди нат [43], кроме того, их можно получить при замене производ ных по аргументу «у».

§ 2. Матричная форма метода уточненных конечных элементов

Запишем уравнения (5.23) в матричной форме:

'	R X wIV= q,					(5.25)-
где R = (a4Rn	4a3R26	2a2R33	4aR2e	R22);	’	(5.26)
wIV—'матрица-столбец производных функции прогибов,
wiv _	w	i =	4, 3,	2, 1,	0.
wiv _	4— i	i =	4, 3,	2, 1,	0.
dS1d r j

Запишем выражение для интегральных силовых факторов анизотропной пластинки в матричной форме [43]:

М„ =		1	X RiX w";
	a4h2 Sin2
		1
M t=	a2 h2 Sin2 <f X			R2 X w";
Мц =	— —	( M66 +		—	Mt cos<p\;	(5.27)'.
	a sin cp
M ,n =	——	X (M6e +			iM n cos'cp);
	Sin cp
■^66 —		1	X		R3X w".
■^66 —			X		R3X w".
	, a3 h3 Sin2tp

157“

Здесь:
, Ri	= ( « 4Rii a2 R12				2a3R16)
R2 = (a2 R12				R22	2<xR26)	(5.28)
R3 =		(asRls aR26			2a3R66)
	w	—	a3 w		i = 2,	1, 0.
			as1di]2	'

.Для поперечных сил имеем: j
Qe				X R4 X w"';
		a3 h3 Sitl3 tp				(5,29)
			1

	Q	n —• a4 h3 Sin3 tp			X R6 X w"
Где
R4— (aS\Ri6 a2 R33				3a R26 R22);
Ri =	(a4 Rn		3a8 R16 a2 R33 «R26);			(5.30)

w	d3 w			1= 3, 2, 1,0.
	as1dr,3-		1

Решение уравнения (5.25) примем в .виде 34-членного полипома;

	7	7
w =	^	2 а« «W — (a6i £5 + ai6о]6)-
*	i= 0	j= 0

О + j) < 7

Запишем (5.31) в матричной форме:

w = H X a T

(5.31)

где Н — координатная матрица-строка;

158

а — матрица-столбец		коэффициентов		полинома,
'Н = (&V"1)	П = О,	1 , 2 . . . . 7;	i =	7, 6, 5 ... "О;
	а =	[з1,п—I]•					(5.32)

			Ограничим			действие п о
		линома			(5.31)	участком пла
		стины (рис. 21).
			Рассмотрим правую часть
		уравнения (5.25). Предста
		вим		ее	двумя		способами.
		В	пределах рассматриваемо
		го участка разложим функ
		цию нагрузки в ряд Тейло
		ра по двум переменным,
		предполагая,				что функция
		допускает такое					разложение

и члены ряда, содержащие производные выше третьего порядка, пренебрежимо малы по сравнению со старшими членами ряда:

q ( ^ ) = 2 2 Ai i ^	(i + j ) < 3 .	(5.33)
i=0j=0

В случае,, когда такое разложение затруднительно, аппрокси

мируем нагрузку полиномом:
q(£, г]) = Аоо-)-Аю^-f-Aoip-)-A20I2 + Аогр2.	(5.34)

Alk — коэффициенты полинома (5.34) найдем из условия совпа дения значений функции нагрузки и значений полинома в узлах О, 3, 8, 6 и 7 или 0, a, d, с, b (см. рис. 21).

Выражение (5.33) и (5.34) запишем в матричной форме:

‘я ^ 'П Х А -

(5.35)

Здесь Li — координатная матрица;

А —матрица коэффициентов полиномов (5.33) и (5.34),

15»

Li = (;' rik-1); к = 0, 1,2, 3;

(5.36)

A = [Alik_,]; i = к; к - 1,. - .0.

Матрицу А запишем так:

A = TXQ,

где Q для	случая		(5.33)	имеет вид:
Q =		Г	dk q		“1	k =	1, 2, 3;
Q =		Чо "	.	£=7j=0		k =	1, 2, 3;
		d;1д		£=7j=0		I =	к, к— 1,... ,0 ;
Т — матрица коэффициентов ряда Тейлора,								'
		Т = 1 1 1 1 — 1 —— - _ L _ L _ L						. *
				2	2 6		2 2 6 _1
для случая		(5.34)
			Q =	(Я о 4^7 qe qs],
,Т показано в табл. 4,
или		Q = [q0 qa qb qc Qd]
значения Т берутся в соответствии е табл. 5.
	Таблица 4						Таблица 5

(5.37)

(5.38)

(5.39)

(5.40)

(5.4О

1	0	0	0	0	1	0	0		0	0
0	— 1	0	i	0	0	— 1	0		1	0
0	О — 1		0	1	0	0	— 1		0	1
— 1	0,5	0	0,5	0	—4	2	0		2	0
0	О	0 .	0	0	0	0	0		0	0
— 1	0	,0,5	0	0,5	— 4	0	2		0	2
0	0	, 0	0	0	0	0	0		0	0
0	0	0	0	0	0	0	0		0	0
0	0	0	0	0	0	0	0		0	0
0	0	0	0	0	0	0	0 .		0	0
*	Здесь и	далее	квадратными		скобками	обозначена		матрица-столбец,
а угловыми — диагональная				матрица.

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ