книги из ГПНТБ / Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем

Зная концевые усилия, нетрудно записать матрицу жестко­ сти 'конечного элемента. Вектор сосредоточенных силовых фак­ торов (силы и моменты), действующих по углам элемента, бу­ дет иметь такой вид:

учитывается только влияние пластины. Влияние стержней, окай­ мляющих грани элемента, может быть учтено стандартным при­ емом.

" ( K F J + (К?а)<+ (К,)

- ( K | 1) + ( K L ) - ( K 2)

- ( K S . ) - ( K S J + (Кз)

- ( K 5 J + (K S.) - (К*)

(К12) + (КЯ)

(Км) + (Кй)

(4.11)

( К й ) + ( К » 4 >

(Кй) + (К*,)

(Кй) + (Ки) (Кй) + (к22)

(К32) -г (Кй) (К42) + (Кй)

Имея матрицу жесткости пластинчатого элемента (4.11), не­ трудно записать теперь в матричной форме уравнение равновесия.узлз с учетом |Прп:Мс>1кдю1Дйх к этому узлу четырех элвмен-

141

где

[К«] — квазидиагональная матрица жесткостей четырех элемен­ тов, примыкающих к узлу,

[KJ

[К,]

[Рij], [Pj ] — матрицы преобразования. Порядок их составления подробно изложен в [43].

Используя полученные урав­ нения, можно рассчитывать сложные пластинчато-стержне­ вые системы. Таким образом была рассчитана двухэтажная рама с учетом работы плит междуэтажных перекрытий. Эти плиты имеют вырез и подкреп­ лены ортогональными ребрами жесткости (рис. 16)*. Крутиль­ ные и изгибные жесткости стержней различных направле­ ний имеют разное значение. Стойки квадратного сечения. Коэффициент Пуассона принят

•= 0,0778 Da.

*Вычисления производились аспирантом Г. В. Васильковым.

142

Крутильная жесткость того же стержня GIyP — 0,0228Da. Изгибная жесткость стоек El” = Е1” = 0,311Da. Ширина и высота сечения стоек hCT== 2бпл .

Расстояние между этажами равно — ,

моментов — на величину qa2.

Более подробно решение этой задачи рассмотрено в канди­ датской диссертации Г. В. Василькова «Расчет пластинчато­ стержневых систем на прочность», выполненной под руководст­

При расчете сложных пространственных пластинчато-стерж­ невых каркасов методом конечных элементов необходимо для каждого узла сочленяемых элементов составлять по три урав­ нения (не учитывая работы пластин в своей плоскости). При на­ личии большого числа узлов это приводит к громоздким систе­ мам уравнений. В то же время при расчете пластин методом конечных разностей для каждого узла приходится записывать по одному уравнению. Поэтому в некоторых случаях целесо­ образно в пределах поля каждой пластины, расположенной меж­ ду ребрами жесткости, записывать конечно-разностные уравне­ ния. Для этого необходимо иметь набор типовых конечно-раз­ ностных операторов, составленных таким образом, чтобы учиты-

143

Рис. 18

вались при записи уравнений для предконтуряых узлов углы наклона касательных к поверхности прогибов в контурных уз­

лах и в углах пластины.

Для составления таких конечно-разностных уравнении прини­ маем аппроксимирующую функцию в виде полинома:

144

Коэффициенты этого 'полинома нетрудно выразить через пе­ ремещения узлов звезды типового конечно-разностного опера­ тора (с учетом двух дополнительных узлов сетки), либо заме­ няя перемещения отдельных узлов, выходящих за контур об­ ласти угловыми перемещениями. Для внутриконтурных узлов записываются обычные конечно-разностные операторы или опе­ раторы повышенной точности. При составлении последних при-

145

нимают аппроксимирующую функцию в виде полинома (1.64), Ниже приводятся 1конечно-разностньге операторы для предконтушшх узлов, расположенных в различных зонах пластины

(рис. 19) [42].

1. Обычные конечно-разностные операторы (hy= ahх)' (бук­ вы перед каждым оператором соответствуют буквам на рис. 4).

146

14?

г) 828w0 — 376wi — 162 (w2 + w4) — 198w3 + ' 14 (w5 -f’ w8) —

D

3) 576w0 — 99 (wi -Hw4) —217 (w2 .+' w3) — 4 (ws- f, w7)

148

qinph1

(4.29)

D

e)576w0 — 217(wi + w4)— 99(w2-j- W3 ) — 4(ws -J-w7) —

D

Зде'сь q "p—приведенная внешняя нагрузка, определяемая ин­

тенсивностью распределенной нагрузки в примыкающих к узлу О узлах сетки (1, 2, 3, 4).

После составления уравнений равновесия для всех внутриконтурных узлов сетки находятся уравнения для контурных уз­ лов. Они записываются как уравнения равновесия примыкающих к узлу пластины ребер.

При этом используются балочные зависимости, приведенные в первой главе. Интенсивности всех нагрузок, передаваемых со стороны пластины на примыкающие к ней балки, находятся для всех контурных узлов пластины (включая и углы).

Из-за ограниченного объема книги эти зависимости не при­ водятся. Их нетрудно получить, зная значения коэффициентов полиномов (1.64) и (4.15).

149

Гл а в а V.

МАТРИЧНАЯ ФОРМА МЕТОДОВ УТОЧНЕННЫХ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ |И УТОЧНЕННОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

Выше (1.126), (3.74) —(3.76) приведены разрешающие урав­ нения методов уточненных конечных разностей и уточненного ко­ нечного элемента. Уравнения записаны для прямоугольных и » квадратных сеток изотропной пластины. Однако нередко возни­ кает необходимость в применении прямоугольных или параллелограммных сеток. К сожалению, записать простые уравне­

ния для прямоугольных сеток, а тем более для анизотропных пластин не удается. Вместе с тем применение указанных мето­ дов к расчету косоугольных анизотропных пластин представляет значительный интерес. В связи с этим покажем матричную фор­ му получения исходных уравнений методов конечного элемента и уточненных конечных разностей [39, 43].

§1. Матрицы преобразований и дифференцирование полиномов

вматричной форме.

Основные дифференциальные соотношения.

Рассмотрим некоторые положения, позволяющие выполнять различные преобразования с одномерными матрицами.

Положение 1. Если матрица А размером_т X 1 содержит

кроме нулей некоторые элементы из матриц С размером дХ1 ■иля их сумму и не содержит других элементов, то А может быть

получена из С умножением на нее слева некоторой матрицы

преобразований П размером г п Х п- Элементами такой матрицы Являются нули и единицы.

Учитывая размеры А и С, легко установить, что

(mX 1) = ( mXn) X( nX 1)

я, следовательно, размер матрицы П_равен mXn.

Определим вид элементов матрицы П. Пусть элементами матри­ цы А и С являются ai и Cj соответственно, а элементами матри­

150