книги из ГПНТБ / Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем

) +

—

[— 4 (2 8 -

j

10h2

1

v

v)wa • 4(2

v)v/ь -(- 2 (28 — v) (wc -f- we) -|- 2(2 +

+ v) (wd + wf) — 2(12 — v) cp^h — 2(2 — v)cpvh —

- 21(?5 -

?S>h - 9(95 ~ ?,x )h +

(12- v )

(?y

+

+

9? ) h + ( 2 - v ) ( 9j +

9jr)h];

(3.51)

+ v)w„ + 4(28 — v)wb — 2(2 + v) (wc +

we) —

2(28

—

— v) (wd +

wf) — 2(2 — v) cpyfi — 2(12— v)<pyh +

9 (95 —

— Те) h +

21 (9* - 9f ) h +

(2 —v) (срУ+

tpy)h +

(12

—

■) (?3

+ ?Г)Ь].

(3.52)

— wd) + 16(12 - v ) <pgh +

8(3 + v ) ( t 5 +

^ ) h + 2 (1 8

-v ) (9J +

+ <Pt)h + 6(cpy + <?ye

— <?yc— ^ ) h - f

(12 — v) (95

+

+

?g +

Те + ?m)h =

(3.53)

E шу =

0;

- f 1 ( 4 ^

+

?* +

91 +

3

- 3

+ 1 KP(2<pg “

?S “

— T?) +

0U1I l6 ( 1 8 _ v) (wa -

Wk) + 3 (1 2 +

V) (WC+

We—

wg -

wm) +

1 6 (1 2 -v )?yh+ 2(18 + v) (

?

y +

? n h +

8(3 +

+ v)

(«pj +

« П Ь +

6(Те — ?c +

?

g

— ?m)h +

( 12-- V ) (?c +

+

Те +

Tg +

Tm)^1] — *My;

(3.54)

S mz =

0;

■^T [3(?j[ -

?ya +

?i ~

? f ) + y

(4wb -

w a - wd -

wf -

— Wk) ]

+-^r[16(28 —

v)wb — 8(13 — y ) (w. +

Wd - f wf + wk) —

10h*

— 4(2 4- v) (wc + Wg + we +

wm) + 2(23 — -v) (—

+

+ ?xd

+

?y)h -

(7 +

v) (?у+

о У

+

©У

срУ _

1s

~m

- Tph]

=

P.

(3.55)

4Е,Ь

4 ?S +

з Wd—Wf

2G2/ | p

■+

(2 Th ~ ?■

ah

a h

— tsj) +

—

( _ 6 a4 — 2a2- 9 a 2v +

10)[(D(

,k

10

-

DIU)wa +

(D„ -

D,v)wk] + -i r(4« 4 -

2«2 -

20 + a2v){(D,

4-

Cf“

+

D n)wd —

(D,n +

Div)Wfl 4- Л" (6a4 +

2a2 +

9a2v +

20)[D,

-f-

Л*■

+

D„ — Dni — DiV)wb +

az

4a4 + 2a2 — a2v — 10) (D, wc +

+

D,, wg — D1U we — D(Vwm) 4- 3as f(— D, 4- D,,,)

hx 4- _

4- (Dn -

D,v)cpJ hx] 4- 2a* [ ( - D , +

D2) ?vhx 4- DMl -

-

D,v)

h j

+ (За3 +

10v) X (— D, +

D„ + D,„ -

D'v)x

X ?byhx 4- 2a2 (— D, ?у hx +

D„ o| hx +

+ DI11?y hx -

D,v

hx) +

- Ч - 8a2 + 4a2v + 20) [(D,

+

oa

+

0 Ш(?;Ь Х+

(Di, 4-D ,v) ^ h x

4-

- f ( - 2 a 2 + a 2v +

20)[(D, +■

oa

+

D„)?3hx +

(D1U+

Div)<?f hx] +

^ - (8 a 2- 4 a v

+ 40)[D, 4-

oa

+

D „ + DnI 4 DlV)«b h +

^

(2a2 - a 2v +

10) (D, 9* hx +

+

D„ ?ghx + Dni 9* hx +

DIV 9* hx)j

= Mx;

(3.56).

4E,1,

+

?i

wk—wa

2G,Ikp

(2 9b ~' ?f -

(4 9^ 4- 91

+

1 1

a hr

-

< t l )

+^

(20ct4 +

2a2 -

a2v -

4) [(D, 4- DU1) w, -

-

(Du 4- DlV)wk]

+

^ r ( - 1 0 a 4 + 2a2 + 9a2v +

6)[(D1-

-

D„)wd +

(Dm—Div)w'fH—--(20a4 -j- 2a24-9a2v +

6) (— Dx 4-

0J

4

Du— DnI +

DIV) wbT - ( 1 0 a 4 — 2a2 + a 2v + 4) (D, wc —

a3

-

DITWg 4 Dm we — Div wra) +•

(20a2 +

v — 2)](Dj 4-

4

D n ,K h x 4

(Dn 4

DIV)?J hx +

JL

(20a2 +

4 v -8 )[(D ,

4

+

D„)«pShx 4

(DHI +

D,v)'f[ hx] 4

•—

(40a2 — 4v -j- 8) (D,

+

oa

4

D„ 4 Dm +

Div)

hx 4

— (10a2 — v-j-2) (Dx <рУhx 4

oa

+

Dn <?y hx 4

D,,, ®уhx 4

Dtv ?у hx) 4 ^

[(— Dx 4

+

Dm)?a bx 4- (Dn — DiV)?J hx 4

a*

[(— D,

4 D,,)?* hx 4

4

(Dm - DIV)<pJhx] 4 ^

(3 +

10a2v) ( -

D, 4D „ 4 DUI -

a *

— Div)?g hx 4

—a * (— D, <?* hx 4

D„

hx 4- £>„, <?* h x —

b

-

D iv

<P*m h x) j

= M y;

(3 . 5 7 )

2X

h 11/ф» _ фх_2 Wd ~ 2wb + Wf 4

фу — сеУ—2Wk~ 2-Wb+Wa\

■

a*h*

1 1d

Y 1 .

a hx

hj

v ‘ к

• а

hx

I “

4

— t [18 -

42a4 — 4a’ (7 -

v]((Di 4

Dm) w* 4 (Dn 4

4 DiV)wk] 4

—-[—42 4

18a4 — 4a2 (7 — v)J(Di 4 D n)wd4

a3

4

(Dm 4

DiV)wf] 4

4 [4 2 +

42a4 4

4a2 (7 — v)][(Dr +D i,4 D i,i

4

a3

4

D,v)wb] 4 - U -

1 8 - 18a44 4 a 2(7 -v )][(D ,w c4D „w e 4

a3

+

Dm we + Div )w m] +*—[9 — a2(2 -f- 9v)][((Di —Dn^ipJhj+fDii —

a*

— DiV)?Jhx] + — [21 + a 2(2 — v)][(Di -f Du )?J hx— (Dm +

+

Div)®* hx] -i- -L[21 + a2 (2 + 9v) ](Di + D„ -

DUi — Div )?x6 h -f-

aA

u

+

-^-[9 — a 2 (2 —v)] (Di cp* hx.+ Du ?* hx — Dm ?* hx — Div

hx) +

+

_L(2la2 _ 2 - v ) [ ( - D , - D , „ ) ?yhx + (D „+ Div) <?£ hx] +

+

“ (2 — 9a2 -f- 9v)[(Di - Du) ^

hx + (— Dm + Div)?? hx] +

H— —(— D>i + Du — Dm + Div) (21a2 -f- 2 -f- 9v)qp? hx +

+ - a( 2 - •9a2 — v) (Dr?? hx

Dii ?£ hx

Dm ol hx

— Div®^ hx)} = P.

(3.58)

§

6.

Уточненный метод конечных элементов

Конечный*элемент с 20 степенями свободы.

мини­

При использовании обычных

конечных

элементов с

w0 =

— 77 (wi -i-Wj + Ws + w 4) -г

(

? ix—

—

44

zd4

+

^ ~

• *)h +

и

(We + W° +

Wt + Ws) “

-

+ n

-

- ?Dh +

-+- ■

—(llqo + <4i +

Ч 2 +

Чз + сц);

(3.59)

toxh

3

\v4)

'3

1

+

=

— (\УХ— w2 — wa +

«

(w5— vv7) — — (

40

4U

+

+

?x4 +

— ?J) h— 4 *

+

??)h +

h*

Cq* — q*);

(3.60)

240 D

«Pgh

=

(\v, + w2— \v8 — w4) +

-|-(vv6 — \v 8)— —

(? ? —

?!-* -

40

*

"

"

5

+

?x3 -

?x* +

+ ?J + ?? + ?S)h

(?S + ?S) h +

+

240Din

(q3— Qi).

(3.61)

Для прямоугольной изотропной пластинки уравнения запи­

сываются так:

w0=

+

Ъ ) (W l + W2 + Ws + W<) +

lONa2 \

а

(??

f t

+ о *) ahx +

—

( з

.— A

‘ 3

x

ION

V 1

4a» ) ( ? ? + • « - ? ! ! —

+ q,).

(3.62)

Здесь

N = 4 - t e + 26 4 + 7 M ;

5

\

a4

a J j

• !”h i = _

i k i

12?i

+

~ i ) ( * ■ _

w ' ~

+ w , ) -

i i i , (

p‘ -

15?2

л

A

( w o —

w 7)

—

(ft + ft +

ft

+

< fi)

ahx —

2а»

+

- j )

а<3

(ft

+

<p*) ahx -f

40 h

40 p2

(д2- д 4)а^4х .

(3.63)

^

240 ?,

?*h =

+ t ) <Wi +

w = - w « -

»<>

1

40 a2?^ a»

+ ^

— W8) — 55^7 (?i — ?S +

<fS-

*1)ah* -

80&ЭГ (?I + n

+

^

+

^> h* 'f ?3 4 0 ^

(?* + rf“)hx +

(q3-qi)h4x

%

(3.64)

+

'

240 ,3ц

S Z =

0;

(8 -f v)(Di wc + DnWg + Dm we +

Div wm) — (13 — v)[(Di +

+ Din)wa -f- (Di -j- Du )Wd

(Dm + Div) w( -f (Du +

+ Div)wk] +

3(6 — ^)(Di 4- Du 4- Dm + Div)vvb — 2(5 +

-f- v)[Di(wB+ w6) -f Dii( w7 4- wg) -l- Dni( Wn +

w,j) +

4~ Div( w 9 + w 10) —

(Di 4 - D i i ) w 2 — (Dm +

D iv ) w 4 —

(Di -f-

4- Dn^Wj — (Du +

DivVii 4- Di ( — <?* — <?* 4-

4- ?£)h —

—

Dn ( + 9 7 +

?з +

?8 + ?3)h +

Dn^cpfj-t-

4- <pj)h 4-

4- Div(<f?0 +

«з —

— 'fPJi] +

у

(3 +

v)[Di (<рУ— <p*) —

— Dn(?g 4- ? p +

Din(<p* -f ?P

+

D iv(^

— ®^)]h 4-

4--^- (13 — 3v)[(Di 4- Dn)cp* — (Dm 4- Div)?* — (Di 4~

+

Din)'!? + (Du + Div)?ph ^~~2~

^

3-

I (Dm — Di )*Pa ~b

4- (Div — Dn)<p* 4- (Dr — Dn)?d

(Din — Div)?ph 4- — (134-

•4" 7v)[(Di 4" Du — Dm — Div)?b 4- ( — Di — Dn4~

Dm —

— Div)<pph=10[Ph2 4- (qi 4" qn 4~ фп 4- qiv)h4];

(3.65)

S mx =

0;

+

259v)[(Di 4

D,i)wd — (D„i +

D]V)wf] + (1106 -

2667v)[(Dn—

— DIV)wk +

(Di— D„,)wa] +

(644 + 1183v)(D, +

D„ — D„, —

— D|V)wb — (4340 -f 644v)X

X

(Di w6 + Dn w7 — Dm w и—, Div wio)— (6188 —)—28v) (Di w5 4-

+

Du w8 — Dm wi2 — Div Wg) +(6748 + 588v) [ (Di + Du) W2 —

— (Dm + D,v) w4] + (4900+ 1204v) X[D, - Dm)*, + (D„

-

-

D,v) w8] - 4

(1834 + 448v)X

О

X (Di

+

Ducp| + Di„«p* 4 Dlv<f^)h +

_L (6482 -

3

-

1372v) [(D, + D,,)®* + (Dm +

D,v)«pJ]h - 9- ^

(1 + v)[(D„

+

+

Div)?* + (Di 4

D,„) ?;] h 4

m 50 — 2786 v) (Di + D„ 4-

+

Din)<pJ]h 4 “

(—910 +

14v) ( — Di 9У+

Dn<py +

Dm^e —

-

Div <p£)h -

4

( 1862

+ 4634v)[(DI, -

D, )«p5 +

(Dm -

О

- D , v)ph +

i -

(476 4

14v)[(D„ - Div)?* + (D„, -

О

— Di )<py]h + — (— 476+

9226v)(-Di +D „ +Dm -

DJV)^ h +

3

4——(7784 + 392v) (— Di

+

Du

+

Dm <f{3 — Div

)h -f-

О

+

О

(1 + v)[ ( -

D, + D„)<?y +

(D„, -

DIV)<Pl]h = 4620Mxh +

-1-

(938 + 14v) (q, +

qn — qm -

q,v)h*.

(3.66)

О

Аналогично записывается и второе уравнение равновесия:

Ешу =

0;

(3:67)

Для узла 1

EZ = 0;

.L {-(3087 +

189vj[D, ( w

e+

wd) +

D„, (we +

w,)] + (14007 —

— 651 v)(Di +

Dm)(wa + w b) +

(1239 — 42v)(Di ivG4DmWn) +

+

420 (20 +

v)[Di (wD+

Wo) +

Dm (wd + W12)] + (—39879 +

+

882v)(Di +

DnOw, + (371 + 70v)-[D, (®x +

<?$)— Dm (<?* +

+

??)]h +

(91 +2303v) (Di -

D„,)(?J +

?g)h + ( 7 0 -

■— 196v) (Dm?*, -

Di ?;)h + (7847 +

4816v) [Dm — D, )®+ +

+ (833+122,5v)[[D„ (+ —

+ D, (? ? -< £ )] h +

+ (3173 - 35,5v) (D, + D„,)(®-v— ?g)h +

(5320 +

266v)[Dm(?Tt -

—

Я +)

D, (?! — ?a)]h + (1610 — 35v) (qi + qm)h4} 4-

+

1260^Jsb

. [2(\va +

wb) -

(

? l

- ?;)h

-

4 w „= 0;

(3.68)

h

Emx =

0;

727[— D, (wc +

w4) + D,n(we +

w,)] +(527 +

1320v) (D,.~