книги из ГПНТБ / Сакрисон, Д. Лекции об аналоговой связи

где /о(х) — функция Бесселя первого рода нулевого по­

рядка, определяемая формулой

2я

/° (х) = 2 ^ J d0exp(;ecos0).

о

Поскольку /о монотонно возрастает, при нашем пред­ положении (3.46) (т. е. IlSßll = 1) оценка максимального правдоподобия вектора ß по-прежнему совпадает с его значением, максимизирующим

Функция неопределенности

Введем функцию корреляции между двумя детерми­ нированными сигналами sp,(^) и sp,(0 как

J Ä S p , (t) Sf r( t) .

В том случае, когда область интегрирования не указана, будем считать, что ее образуют те значения переменной интегрирования, для которых подинтегральное выраже­ ние отлично от нуля. В дальнейшем мы ограничимся специальным случаем, когда функция корреляции зави­ сит лишь от разности ßi — ß2 , и обозначим эту функцию

Такое допущение представляет интерес не только в за­ дачах радиолокации, но и в некоторых случаях импульс­ ной модуляции, таких, например, как время-импульсная модуляция. В силу условия (3.46) и неравенства Швар­ ца имеем

неизвестный параметр, либо предполагается равномерно распределенной случайной величиной, правило для по­ строения оценки, как мы видели, состоит в выборе зна­ чения ß, максимизирующего | (Sß, Ц7)|. Это заставляет нас более тщательно изучить величину (sp, W). Заме­

тим, что при любом фиксированном значении ß скаляр­ ное произведение (Sß, W) является случайной величиной.

Таким образом, (sp, W) представляет собой гауссовский случайный процесс, зависящий от векторного парамет­

ра ß. (Читателю следует вспомнить, что в теории слу­ чайных процессов не требуется, чтобы параметр играл роль времени; этому случаю просто отвечает один важ­ ный и наиболее распространенный вид процессов.) По­ скольку гауссовский случайный процесс полностью опре­ деляется своими средним и ковариационной функцией, интересно найти эти величины.

З а д а ч а 3.8. Обозначим снова через ß' «истинное», или фактическое, значение параметра ß. Запишем наше предположение о виде спектральной плотности шума как

Показать, что среднее значение процесса (sß, W) за­

дается равенством

а его ковариационная функция равна

Е{(%, ^)(sp„ im --E {( S ß „ W)} Е {(sß2, w n =

— 2A/o%(ß, — ß2). (3.56)

Исследуем теперь качественно, каким образом выбор функции неопределенности |х ( ) 12 влияет на величину ошибок при оценке параметра ß. Для того чтобы пред­ ставить себе эту зависимость наглядно, проще всего

рассмотреть случай скалярного параметра ß; это позво­ лит мам графически изобразить выборочные функции процесса, а сделанные нами замечания будут справед­ ливы и для /г-мерного вектора ß.

Методически удобно представить (sp, W) в виде сред­

него плюс аддитивный шум с нулевым математическим ожиданием:

На рис. 3.3 показаны эти три случая. Центральная часть графика % хорошо аппроксимируется квадратич­ ной функцией от ß в интервале длины 2е, симметричном относительно нуля.

Напомним, что когда фаза неизвестна, правило по­ строения оценки состоит в выборе значения ß, максими­ зирующего I (sp, 1^) |. В случае слабого шума, как видно из рис. 3.3, б, этот максимум лишь несколько сдвинут в

пределах центрального интервала длины 2е, и величина смещения прямо пропорциональна стандартному откло­ нению аддитивного шума; при этом она находится в обратной зависимости от крутизны % в начале коорди­ нат. В случае когда величина шума J f р сравнима с ма­

тематическим ожиданием, этот локальный максимум не' только сдвинут относительно начала координат, но, что весьма вероятно, он уже может перестать быть глобаль­ ным максимумом, который при этом, как показано на рис. 3.3, в, может сместиться в точку какого-либо дру­ гого локального максимума. Величина ошибки теперь уже значительно превосходит величину смещения цен­ трального локального максимума.

Такие большие ошибки называются аномальными ошибками. Как мы видели, они возникают тогда, когда

66 Гл. 3. Оценка параметров в аддитивном гауссовском шуме

как в когерентном, так и в некогерентном случаях наше правило построения оценок параметра ß не зависело от А. Чтобы избежать в дальнейшем обращения матриц высокого порядка, будем предполагать, что мощность А

возвращенного сигнала известна; таким образом, неиз­ вестные параметры — это

Вынося дифференцирование за знак математического ожидания, получаем

А'2

(3.57)

N о

Это равенство подтверждает полученный нами ранее качественный вывод о зависимости величины ошибки в случае слабого шума от крутизны функции % в начале

координат.

Остановимся на классическом случае задачи радио­ локационного измерения. Предположим, что передавае­ мый сигнал имеет вид

yTR efsW e'“»'},

•а возвращенный сигнал равен

А' Re {s (t — т') ег<р'ег

где т '— задержка, пропорциональная дальности цели, а со' — допплеровское смещение, пропорциональное ско­ рости цели. В наших предыдущих обозначениях

Sp(/) = s(/ —

(3.58)

ßi = 4 ß2 = cö.

68 Гл. 3. Оценка параметров в аддитивном гауссовском шуме

Опишем некоторые свойства сигнала s(£), облегчаю­ щие нахождение величин Ьц в равенстве (3.57). Хотя

преобразование Фурье чаще определяется как функция обычной частоты f, нам будет удобнее ввести радианную

частоту со и положить

S (со) = I dts (t) еш .

Заметим, что в силу предположения о нормированности сигнала, т. е. ||sg|| = 1, выполняется равенство

оо оо

Приближенное равенство здесь относится к случаю узко­ полосного сигнала Ке[5(/)ег“°(], ширина полосы частот которого мала по сравнению с его несущей частотой.

З а д а ч а 3.11. Показать, что в некогерентном случае, когда параметры т, ср и со неизвестны, симметричная (3 X 3)-матрица G = S -1 равна

Для сигнала, имеющего прямоугольный вид, т'. е. при

q 2 = oo и, следовательно, правая часть неравенства

(3.64) обращается в нуль. Этому на первый взгляд со­ мнительному результату наша физическая интуиция склонна искать объяснение в том, что никакой реальный импульс не может иметь строго прямоугольной формы. Однако это лишь уход от вопроса. В действительности трудность здесь связана с применением неравенства Крамера — Рао, поскольку для рассматриваемого им­ пульса не всюду существует производная д2%(%, а)/дх2.

Здесь вместо границы Крамера — Рао надо воспользо­ ваться некоторыми более общими границами. В рассмат­ риваемом примере можно получить полезные результаты с помощью границы Баранкина [14]. Эти результаты можно еще более уточнить при использовании границы Зива — Закаи [12].

70Гл. 3. Оценка параметров в аддитивном гауссовском шуме

За д а ч а 3.12. Показать, что в когерентном случае известной величины ср матрица G размера 2 X 2 , отве­

чающая параметрам т и со, имеет вид

гсо

Какие трудности могут возникнуть при построении бо­ лее эффективного метода оценивания в когерентном слу­ чае, существование которого подсказывает неравенство (3.67). Для большей конкретности предположите, что s(t) — прямоугольный импульс длительности Го, и изо­ бразите графически функцию % при значениях Т0в>0/2л порядка нескольких единиц и при значениях Т0<р0І2п,

много больших единицы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2.Лоэв M ., Теория вероятностей, И Л . M., 1962.

3.Давенпорт В. Б., Рут В. Л ., Введение в теорию случайных