книги из ГПНТБ / Сакрисон, Д. Лекции об аналоговой связи

стема функций <рл полна в L 2[0, 71-

Читатель, интересующийся доказательствами этих утверждений, может познакомиться с ними по книге Рисса и Надя [4, разд. 97]. Мы видим, таким обра­ зом, что при соответствующих предположениях мно­ жество функций фй, связанных с уравнением (3.20), об­ разует ортонормированный базис в Ь2[0,Т]. В даль­

нейшем мы будем считать, что соответствующие этой системе собственные значения Ай расположены в по­

Доказательство соотношений (3.21) и (3.23) можно найти в книге Лоэва [2, разд. 34.5]; при этом доказа­ тельство (3.21) опирается на теорему Мерсера, с ко­ торой интересующийся читатель может познакомиться по книге Рисса и Надя [4, разд. 98].

где

Sfc(ß) = (sß, Ф*)= J dts&(t)<pk(t).

Таким образом, W (t) можно записать как

м

Из соотношений (3.24) и (3.28) следует, что при наших исходных предположениях о процессе Zn{t) совместную плотность распределения коэффициентов Wh, фигури­

рующих в равенстве (3.27), можно представить в виде

Сходимость отношения правдоподобия

Нас будет интересовать предел.правой части равен­ ства (3.30) при М -* оо. Выясним сначала, при каких

условиях этот предел существует. Обозначим

U к = (2 Re [bsk(ß) Wl] - 1bsk (ß) P)A*.

54 Гл. 3. Оценка параметров в аддитивном гауссовском шуме

Заметим, что случайные величины Üh независимы.

З а д а ч а 3.4. Показать, что

E {i/*}= |6 p |s*(ß )F A *.

ѵаг{£/*} = 2| b?\ sk (ß)|2A.i.

Воспользуемся теперь следующей теоремой Колмого­ рова [5, стр. 102]: если U u U2, . . . — последовательность

независимых случайных величин и

то VM сходится с вероятностью 1, а также в средне­ квадратическом к некоторой случайной величине V, при­

чем

В нашем случае величины Uy являются совместно гаус­ совскими, и, следовательно, случайная величина V также

распределена по гауссовскому закону. Таким образом, если

со

и дисперсией 2|Ь |22.

Интересно поэтому понять, в каких случаях справед­ ливо соотношение (3.31). Очевидно, для этого необходи­ мо, чтобы слагаемые |s;t(ß) |2Аь достаточно быстро убы­ вали— ряд из них должен сходиться. Физически это от­ вечает тому, что при больших частотах энергия сигнала

падает быстрее мощности шума. Келли, Рид и Рут [6, часть I] показали, что ряд (3.31) сходится, если

нахождении оценок максимального правдоподобия и по­ строения границы Крамера — Рао отправным соотноше­ нием для нас будет равенство (3.32) *).

Заметим, однако, что представление в виде бесконеч­ ного ряда не слишком удобно при обращении с величи­

(это условие сильнее вытекающего из него неравенства (3.31) ). Тогда можно определить семейство интегрируе­ мых в квадрате функций

изводная Радона — Никодима меры, связанной с процессом W (t) и отвечающей значениям b, ß, по мере, соответствующей 0, ß, а правая часть равенства (3.32) представляет собой предел логарифма произ­ водной Радона — Никодима, отвечающей мерам, порождаемым ко­ нечномерным представлением этого процесса. Однако, как показано Гренандером [7], этот предел равен логарифму производной мер, определяемых по полностью наблюдаемому процессу W(t). Мы не будем здесь вдапаться подробнее в связанные с этим довольно тон­ кие рассуждения.

56 Гл. 3. Оценка параметров в аддитивном гауссовском шуме

ция, отвечающая рациональной спектральной плотности, решение уравнения (3.35) можно свести к решению ли­ нейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [3, разд. А2-3].

З а д а ч а 3.5. Пусть

Показать также, что ln Ль, g — гауссовская случайная ве­ личина.

Случай белого шума

Начиная с этого раздела, мы будем интересоваться тем, как реально находить оценки максимального прав­ доподобия параметров b и ß и строить матрицу G, фи­

гурирующую в неравенстве Крамера — Рао. В соответ­ ствии с этим сосредоточим внимание на ситуации, пред­ ставляющей большой практический интерес и, к счастью, допускающей численное решение. Точнее, предположим, что Zn (t) и sa (t) — отклики соответственно на шум и на

сигнал фильтра, имеющего постоянную частотную ха­ рактеристику на ограниченном интервале частот длиной 2W0, много большем, чем полоса частот сигнала sa(t).

Таким образом, sa(t) представляет собой неискажен­

ный вариант слабого сигнала, принимаемого антенной, а сигнал Zn (t) мы считаем возникающим вследствие ши­

рокополосного шума (например, теплового) на входе

2W0 2W0

Р и с . 3.2. Вид спектра и корреляционной функции «белого» шума.

фильтра, причем спектральная плотность шума постоян­ на на интервале, большем, чем полоса пропускания фильтра.

Поэтому

Соответствующая ковариационная функция Rn (т) имеет

вид, показанный на рис. 3.2, с шириной центрального пика, равной примерно 1/(21F0). Однако' если полоса частот sp(0 пренебрежимо мала по сравнению с W0>как мы предположили, то изменением s$(t) на интервале

58 Гл. 3. Оценка параметров в аддитивном гауссовском шуме

Напомним, что In А имеет гауссовское распределение со средним

3.3.Р А Д И О Л О К А Ц И О Н Н О Е И ЗМ Е Р Е Н И Е Д А Л ЬН О СТ И

ИЗА Д А Ч А О Ц Е Н И В А Н И Я

Опишем способы построения оценок максимального правдоподобия и границы точности, присущей задаче оценивания, в случае радиолокационного измерения дальности. Мы будем постепенно приспосабливать наши вычисления к проблемам радиолокации, хотя значитель-

’ ) Математически строгий вывод этого выражения для отноше­ ния правдоподобия в случае, когда шум гауссовский белый, можно найти, например, в книге [15, стр. 90]. При этом (sß, W) понимается

ную часть наших результатов можно применить к более широкому классу прикладных задач.

При исследовании задач радиолокации необходимо выяснить, каким образом влияют интересующие нас па­ раметры на фазу отраженного (принятого) сигнала. Та­ кие важные параметры, как дальность цели или ее от­ ражательная способность, влияют, конечно, на сдвиг фазы. С другой стороны, к изменению фазы приводят и такие факторы, как дрейф гетеродина приемника, не имеющие отношения к цели. Мы будем использовать обозначение ср = Z b для описания тех воздействий, ко­

торые не содержатся в ß; влияние же всех параметров, связанных с целью, которые мы хотим оценить, вклю­ чим в ß. Это приводит к необходимости различать сле­ дующие случаи:

1.Угол ер известен, влияние неизвестных параметров целиком содержится в ß; гетеродин приемника считается

вэтом случае вполне стабильным.

2.Параметр ф неизвестен и нуждается в оценке на­ ряду с вектором ß; по-прежнему ß и ф различаются своей связью с целью и соответственно с факторами, не

относящимися к цели.

3. Угол ф является случайной величиной, значение ко­ торой неизвестно. Здесь мы рассмотрим лишь полностью некогерентный случай, когда случайная величина ф рав­ номерно распределена на интервале [0,2я).

Случай 1 принято называть когерентным (случай из­ вестной фазы); случаи 2 и 3 называются некогерент­ ными.

Первым нашим предположением при анализе этих возможностей, относящимся именно к задаче радиолока­

Заметим, что хотя на самом деле ||sp|| меняется в зави­ симости от дальности цели, этим изменением можно пренебречь в тех пределах дальности, которые обычно рассматриваются. Такая нормировка выбрана исключи­ тельно для удобства; при этом изменение амплитуды сказывается лишь на А =?= Н -

60Гл. 3. Оценка параметров в аддитивном гауссовском шуме

Впервом из перечисленных выше случаев In Л можно представить в виде

1(1 Л>. ß R eK V e~^W)] - (3-47)

Таким образом, оценка максимального правдоподобия

ß,vm— это то значение ß, которое максимизирует дей­ ствительную часть скалярного произведения

(sß, e-^W),

[Указание. Выделите полный квадрат.]

Во втором случае, когда параметр ф неизвестен, оценка максимального правдоподобия вектора ß — это значение ß, максимизирующее правую часть равенства (3.48). Заметим, что эта оценка не зависит от А и ф.

Рассмотрим теперь случай, когда ф — равномерно распределенная случайная величина. Если мы вернемся к наблюдению только М координат Wь . . . , WM, то най­

дем, что отвечающая им плотность вероятности, входя­ щая в отношение правдоподобия, равна

Рассуждая так же, как при выводе формулы для Ль, р, получаем, что в этом случае интересующее нас отноше­ ние правдоподобия имеет вид