книги из ГПНТБ / Сакрисон, Д. Лекции об аналоговой связи

Используя формулу Стирлинга [6, т. II, стр. 792] для Г-функции при больших N и сокращая общие множи­

тели, получаем

В терминах отношения сигнал/шум на выходе неравен­ ство (4.40) можно переписать в виде

(S/jf)ВЬІХ ^ 2ле [ 1 + N (уу0/2 ) ] • (4-41)

Эти границы нельзя понимать как точные границы эффективности достаточно «хорошей» системы импульс­ ной модуляции по упомянутой ранее причине: трудно эффективно упаковать в данном объеме непрерывно диф­ ференцируемую кривую (это даже более трудная задача, чем упаковка точек — задача, рассматриваемая в цифро­ вом кодировании). На эти границы следует скорее смо­ треть как на указание того, как меняется эффективность для соответствующего семейства систем модуляции: от­ ношение (SjJf)-aых должно меняться как N-я степень

отношения сигнал/шум в канале, (S/yf)KaH = E/(NQ/2).

Заметим, что этот вывод относится именно к семейству

систем модуляции, в то время как для любой данной си­ стемы модуляции надпороговая эффективность растет

линейно с E/(N0/2).

Таким образом, при оперировании с широким диапа­ зоном значений отношения сигнал/шум в канале эффек­ тивное использование канала требует использования

92 Гл. 4. Импульсная модуляция

семейства систем модуляции, каждая из которых эффек­ тивна при данном значении отношения сигнал/шум. Та­ кое семейство систем модуляции не обязано порождаться семейством различных физических схем. Его можно по­ строить, изменяя один или более параметров в данной схеме; см., например, Мак-Аули и Сакрисон [7].

Очень трудно сравнить эффективность данной си­ стемы модуляции (например, ВИМ) с границей (4.40), так как эффективность данной системы трудно вычис­ лить. Выше порога эффективность можно вычислить с помощью формулы (4.13) и последующего усреднения по то:

(4.42)

— оо

Однако эта формула верна только выше порога. Следо­

вательно, без дополнительного анализа того, при каких значениях отношения E/(N0/2) справедлива формула

(4.42), ее нельзя использовать для сравнения с границей. Среднеквадратическую ошибку как функцию отноше­

E/(Nо/2), но оно применимо только к сигналам с функ­

цией корреляции вида

(s(m), s(m')) = c(m — m'),

где с{тп) имеет периодические нули и низкие боковые

ветви.

Анализ ВИМ , использующий границу Баранкина, про­ веден Мак-Аули и Зейдманом [8]; граница Зива и Закаи значительно точнее и ее тоже можно применить к этой задаче. Единый подход к описанию этих трех границ в применении к ВИМ излагается в статье Зейдмана [9].

В области импульсной модуляции предстоит еще мно­ гое сделать. Главная из тем, требующих внимания, — на­ хождение сравнительно просто вычисляемых или же при­ ближенных границ для нахождения эффективности дан­ ной системы модуляции как функции от E/(N0/2). Кроме

того, большую область исследований составляет нахож­

дение новых систем модуляции, которые можно практи­ чески реализовать и эффективность которых ближе к границе (4.40), чем в существующих системах.

связи, изд-во «Мир», М., 1969.

5.Ландау, Поллак (Landau H . J., Pollack H . O .), Prolate spheroidal wave functions, Fourier analysis and uncertainty, Part III — The

6.Фнхтенгольц Г. ДА., Курс дифференциального и интегрального ис­ числения, изд-во «Наука», ДА., 1966.

7.Мак-Аули, Сакрисон (McAuley R. J., Sakrison D. J.), А РРДА-РМ hybrid modulation system, IE E E Trans. Commun. Tech., COM-17

Г л а в а 5

ОПТИМ АЛЬНАЯ УГЛ ОВАЯ Д ЕМ О Д УЛ Я Ц И Я

В этой главе мы рассмотрим задачу оптимальной де­ модуляции сигналов систем модуляции, т. е. систем, в которых модулятор непрерывно во времени обрабаты­

вает сигнал сообщения и непрерывно производит ме­ няющийся модулированный сигнал V(t). Мы ограни­

чимся модуляторами вида, изображенного на рис. 5.1.

N(t)

v(t)= v[t, u(t)]

Р и с . 5.1. Рассматриваемая система модуляции.

учитывая их практическую важность. В этих системах операция модуляции представляет собой каскад, состоя­ щий из линейной операции и следующей за ней нели­ нейной операции без памяти. В конце нашего обсужде­ ния мы сосредоточим внимание на одном классе систем модуляции, представляющем наибольший практический интерес, а именно на угловой модуляции. Изучение оп­ тимального демодулятора даст повод кратко описать очень полезный субоптимальный демодулятор — фазо­ вую автоподстройку частоты.

5.1. Д Е М О Д У Л Я Т О Р ПО М А К СИ М УМ У А П О С Т Е Р И О Р Н О Й ВЕРО Я ТН О СТИ (МАВ)

Определим оптимальный демодулятор для системы модуляции, показанной на рис. 5.1. Хотя обычно прихо­ дится рассматривать узкополосные сигналы, мы будем сразу описывать сигналы Г (і), JF(t) и Z(i) как действи­

тельнозначные узкополосные сигналы, а не с помощью комплексного низкочастотного представления. Мы будем считать шум стационарным гауссовским процессом с ну­ левым средним и белым спектром:

Чтобы облегчить дальнейшее исследование, начнем с проблемы оценки процесса U(t) по наблюдению Z(t).

В разд. 5.2, где будет обсуждаться демодулятор фазовой автоподстройки частоты, мы коротко исследуем вопрос о том, как выбор демодулятора должен учитывать эф­ фект предыскажения в сети связи.

Для некоторых важных нелинейных операций ц(- , - ) вычисление условного математического ожидания про­ цесса U(t) по наблюдениям Z(t) представляет собой со­

вершенно безнадежную задачу. По этой причине мы бу­ дем рассматривать здесь оценку М АВ.

Предположим, что сообщение является стационарным гауссовским процессом с нулевым средним и известной корреляционной функцией /?т (т). Тогда и U(t) — тоже

стационарный гауссовский процесс с нулевым средним. Последующее изложение опирается на книгу Витерби [1, гл. 5]. Сначала сведем процесс U(t) и наблюдаемый

процесс Z(t) к процессам с дискретным временем, счи­

тывая каждые Дт с значения этих процессов в моменты времени

При наблюдении Z = z задача состоит в нахождении значения и, максимизирующего функцию

или, что эквивалентно, максимизирующего ее натураль­ ный логарифм.

Необходимое условие максимума — выполнение ра­ венств

При сделанных предположениях относительно гауссовости процесса J f (t) имеем

ln/(z Iu) =

Заметим, что хотя = Vh(Uh) есть функция только пере­ менной Uh, но gh зависит от всех компонент вектора и.

Из (5.6) — (5.8) находим, что

Подобным образом'для плотности / (и) получаем

In / (и) = — уК In 2п — Y ln I R a I — у (и, Я й 'и )

98 Гл. 5. Оптимальная угловая демодуляция

пределу в (5.15) и (5.16) при Дт—>-0, формально прихо­ дим к системе двух интегральных уравнений

(i)процессы U(t) и Jf{t) стационарны;

(ii)процесс JF{t) есть белый шум, т. е. Rn{т) =

=(УѴ0/2)б(т);

(iii)режим работы стационарен, to — — оо.

При выполнении этих предположений уравнение

но найти как решение одного интегрального уравнения ■ )

Л

й (х) = Т 0 I dsR“ (т ~ 9Ѵ~дй (1)S)) (z (s) ~ v (s> й Ш - (5-2°)

—oo

Применим эти результаты к фазовой модуляции (ФМ). Заметим, что предыскажающий фильтр, предше­

с подинтегральной функцией, зависящей от будущего течения про­ цесса. Этой трудности нет для уравнения (5.25), описывающего систему фазовой автоподстройки частоты. — Прим. ред.

физической интерпретации уравнения (5.23) полезно рас­ смотреть частный случай т = t. В этом случае

t

Заметим, что функция tf(s) в подинтегральном выраже­ нии— это оценка МАВ для U(s), основанная на наблю­ дении Z ( t ) на всем интервале — оо ^ т ^ t.

5.2.Ф АЗОВАЯ А В ТО П О Д СТ РО Й К А ЧАСТОТЫ - СУ Б О П Т И М А Л Ь Н Ы Й Д Е М О Д У Л Я Т О Р

Рассмотрим поведение цепи, изображенной на блоксхеме рис. 5.2. Сигнал на выходе этой цепи есть решение интегрального уравнения

t

и'(і)=Ѵ~2 [ dsf{t — s) cos(co0s - f u'(s))z (s). (5.25)

Если положить

то это интегральное уравнение примет вид

и' (0 = 2 I dsRu (t — s) cos (cö0s - f и' (s)) 2 (s). (5.26)

По внешнему виду уравнение (5.26) кажется точно та­