книги из ГПНТБ / Пучков, С. В. Закономерности колебаний грунта при землетрясении

М П)

Р и с . 16. Изменение Л(Н) в зависимости от £

Р и с . 17. Определение толщины слоя

Знак производной определяется знаком множителя

вch/ЗН ^

аch пН ( ----

а

только значение HQ, при котором выражение в скобках обращается в нуль. При переходе через это значение производная fj-j С^"-Н) меняет знак с отрицательного на положительный и, следовательно, функция f(<f, Н) имеет минимум.

Величина правой части выражения (3 ,3 0 ) всегда больше значений коэффициента при втором члене левой части. Но и сама правая часть не превосходит единицы.

Верхнему значения корня соответствует корень характеристического

мым и уравнение частот примет следующую форму:

50

( 2 [ 4 (f2-h2)(f2 к2) +(2f2k2)2]th H y,f2-h 2th H Vk2- f 2 +

. 4 f2\/f2- h V f 2-k2(2 f2-k2) sch H v '^ - h 2 sch H /k2- ,f2 -

Это уравнение показывает, что каждому значению f теперь соответ­ ствует не одно, а множество значений Н. Для интервала 0<f<h как а, так и /3 являются мнимыми, поэтому уравнение частот можно предста­ вить в виде

£2|4(f2-h2)(<f2—k2)+(2f2—k2)2] th Н v/h2- f 2 th Н У k2-<f2 +

удовлетворяется множеством значений Н. При этом распространяющие­ ся волны вырождаются в стоячие колебания, фазовая скорость которых превосходит по величине скорости продольных и поперечных волн.

Для иллюстрации проведем вычисления применительно к двум физи­ чески возможным средам: слоя из несжимаемого материала и слоя рав­

51

Решая это уравнение, найдем т = 0,2956, которое отвечает верхне­ му значению корня. Каждому значению т , взятому между 0,2 956 и 0, будет соответствовать только одно значение <о, полученное из ypaf

действительное значение. В соответствии с этим будет

/3 - in£, £Н = со, V2 = (1 + п2 ) — ,

Р

5 2

Наименьшие значения корней этого уравнения для некоторых величин

по-видимому, характеризует переход распространяющихся волн в волны стоячие. Период колебаний этих волн выражается следующим образом:

и определяется в основном отношением моишости слоя к скорости рас­ пространения поперечных волн в данной среде.

Перейдем к среде, которая характеризуется гипотезой Пуассона, т.е.

и характеристическое уравнение (3 ,3 0 ) перепишется в.следующем виде:

Для нахождения верхнего предела изменения корня приравниваем правую часть (3 ,3 5 ) единице. В результате приходим к уравнению для определения m

(m -l)2(m4 + 12m3 + 42m2 + 36m - 27) = 0.

Положительный корень этого уравнения будет т = '0,4641, тогда ско­ рость волны

V = 0,9194

Р

5 3

Та бли ц а 12

Наименьшие значения корней уравнения (3 ,3 6 ) для различных п

В ней показано изменение отношения длин волн к толщине слоя и ско­ рости распространения волн в зависимости от поведения величины т.

При f <к /3 становится мнимым. Если примем, что

54

и характеристическое уравнение частот перепишется в следующем виде:

Используя это условие, найдем выражение для скорости распростра­

Р11

и распространяющиеся волны вырождаются в стоя ие. Период этих волн равен

55

3.4.Траектория движения частиц на поверхности слоя

Для выявления характера движения частиц на поверхности слоя об­ ратимся к уравнениям (3 ,1 5 ). Положим, что

2п

С= — cos ф,

ивозьмем только действительную часть выражения. Тогда на поверх­ ности слоя при х = О и у ■=-Н для смещений получим следующие вы­ ражения:

V V P

и = - 6 —В (cosaH—cos/ЗН) + 9 ---- cosaH Scospt — Pi

56

V2

где характеристическое выражение А имеет виц

57

Как видим, это стационарные вынужденные колебания, вызываемые в слое падающей волной гармонического характера. Амплитуды и фазы этих колебаний являются трансцендентными функциями отношения II Л и зависят от угла падения продольной волны на основание слоя и отно­ шения скоростей распространения продольных волн в слое и полупрост­ ранстве.

Нетрудно заметить резонансный характер этих выражений. Наличие Д(Н/Л,ф,Ур/Vp ) в знаменателе показывает, что при некоторых зна­ чениях переменных он обращается в нуль. На сейсмических записях это явление характеризуется колебаниями большой амплитуды с преоб­ ладающим резонансным периодом. Зная этот период Н,ф и ^'p/Vp] , можно рассчитать отношение амплитуд колебаний на поверхности и ос­ новании слоя. В этом случае, как показывает опыт, при учете затуха­ ния оно может быть в 3 -4 раза больше, чем при обычных колебаниях нерезонансного характера.

Может быть решена и другая задача. Рассчитывая отношение амп­ литуд смещений на поверхности слоя и на его основании для различных величин Н/Л при заданных ф и Vp,' , можно найти резонансные пе­ риоды колебаний. Они, как известно, должны соответствовать макси­ мальным значениям отношений u/u0 и v. vQ.

Рг j

Как видно из таблицы, резонансные периоды вертикальных и гори­ зонтальных колебаний различаются. Периоды горизонтальных колебаний несколько больше, чем периоды вертикальных. Подобное явление наблю­ дается на записях сейсмических колебаний с большой разверткой во времени. Это показывает, что жесткость слоя в вертикальном направ­ лении больше, чем в горизонтальном. Резонансные периоды медленно уменьшаются при уменьшении угла падения волны. Однако если срав­ ним периоды 1-го тона для углов падения 15 и 70°, то убедимся, что периоды горизонтальных и вертикальных колебаний уменьшаются соот­ ветственно лишь на 4,3% и 2,5%. Такую же картину можно наблюдать и для периодов 2-го тона колебаний.

58

Т а б л и ц а 14

Резонансные периоды колебаний слоя для различных углов

Следовательно, можно считать, что резонансные периоды колебаний поверхностного слоя почти постоянны и не зависят от угла падения волны. Они определяются только физико-механическими свойствами слоя и являются периодами его собственных колебаний.

Исключая время t из выражения (3 ,4 1 ), найдем траекторию движе­ ния частиц на поверхности слоя

Геометрическая картина этого выражения есть эллипс, наклон кото­ рого к горизонту является функцией тех же аргументов, как и смеще­ ний и и V.

59