книги из ГПНТБ / Пучков, С. В. Закономерности колебаний грунта при землетрясении

При этих условиях выражения для смещений будут иметь вид i(fx+pt)

которые совпадают с выражениями для составляющих в падающей волне. Второй случай. Положим, что мощность слоя стремится к беско­

нечности, т.е. Н—*• со.

Тогда определитель системы будет приближаться к

Н

Л(£, Н) - - ( f 2-a/3) [ 4ajSf2 —(2f2—k2)2] e

и предельные формулы для смещений будут иметь следующие выраже­ ния:

Эти выражения для смешений в волне Релея для полупространства. Третий случай. Предположим, что мощность слоя Н * Н0 мала, но

соизмерима с длиной волны, и произведения alI и /411 такие, что можно положить

Тогда определитель системы будет приближаться к

А(£Н) - a/Sk4 + £2а/ЗН[4а2/32 + (2.f2 + k2)2 J.

Функции, выражающие числители компонент смещений, будут стре­ миться к

f(f,H) - - u0a/Sk4 - v0fia/3ll(4f2k2 + k4),

g(f,H) - - u 0ifa/3k2H(k2 - 2 h 2) - v0 a/3k4

40

Откуда, ограничиваясь первыми степенями Н, найдем для компонент смещения в этом случае выражения вида

Найдем величину вектора смещения на поверхности слоя, используя модули предыдущих выражений для компонент смещений и выполняя при этом необходимые операции

Если предположим, что породы слоя удовлетворяют условию а/Ь=3, то получим выражения величины вектора смещения для отдельных част­ ных случаев.

Вектор смещения в продольной волне. Положим f==h, тогда

Аа ~ Уч20 + v2 + h2H2(0,lu2 , 1,96 v2)'-

Вектор смещения в поперечной волне. Соответствующее этому вол­ новое число £ = к- И для амплитуды смешений будем иметь выраже­ ние вида

oco$0b для поперечной волны. Вводя эти отношения в вышенаписанные равенства, мы представим их в таком виде

скальном основании, подстилающем слой рыхлых отложений, А - длина волны.

Геометрический образ полученных выражений представляет гипербо­ лу (рис. 1 4 ). Как видно из анализа этих выражений, при Н * О отно-

41

Р и с . 14. Зависимость амплитуд сейсмических колебаний на по­ верхности слоя от его мощности

шения V A0 и А0/А0 стремятся к единице, т.е. амплитуды колебаний на поверхности слоя рыхлых отложений становятся равными амплиту­ дам колебаний на скальном основании.

Асимптоты гипербол соответственно будут равны

Если сравнить теоретические представления с экспериментальными данными, которые были получены Гутенбергом [7 7 ], то можно видеть, что они достаточно хорошо совпадают.

Это дает основание использовать приведенные выражения для расче­ та отношения амплитуд колебаний на поверхности слоя к амплитудам колебаний на его основании в зависимости от изменения мощности рых­ лых отложений. Последнее обеспечивает возможность надежной интер­ поляции и экстраполяции интенсивности колебаний на пунктах, располо­ женных вне и между сейсмическими станциями.

С практической точки зрения важно установить, какое предельное отношение мощности слоя к длине приходящей волны может оказывать влияние на величину смешения при сейсмических колебаниях. Тогда ус­ ловия третьего случая смешений в продольных и поперечных волнах позволяют дать ориентировку в этом направлении, а именно, заменяя shall и sh/ЗН углами и chall и ch/ЗН единицей, мы тем самым счи­ таем, что к ним применимо разложение вида

2!

которое имеет место для |х| < 1. Следовательно, будем иметь, что для продольных волн

42

а для поперечной волны

Откуда имеем соответственно

Таким образом, формулы (3 ,2 1 ) практически можно использовать, если отношение мощности слоя к длине волны меньше единицы, т.е. JJ_< 1. Вместе с тем, из этих данных видно, что предельная мощность

А

слоя, которая оказывает влияние на интенсивность сейсмических коле­ баний, зависит от угла падения сейсмической волны на границу слоя и основания и от отношения скоростей распространения в основании и слое. Предельное отношение мощности слоя к длине волны в зависимо­

ности слоя к длине волны в зависимости от отношения скоростей рас­ пространения продольных волн в основании и слое для различных углов падения волны на границу слоя и основания. Эти кривые позволяют легко и быстро в каждом конкретном случае оценить влияние того или иного слоя, на котором возводится сооружение, на интенсивность сей­ смических колебаний.

В качестве примера возьмем среды основания и слоя, у которых отношение скоростей распространения продольных волн равно 4, а угол падения волны на границу между ними равен 60°. Тогда предельное отношение мощности слоя к длине волны по кривой 7 (см. рис. 15) будет равно 0,04.

Предельную мощность слоя можно также получить по формуле (3 ,2 1 ). Если в формулах (3 ,2 1 ) для продольных и поперечных волн примем неравенство

А

43

Т а б л и ц а 9

Отношения мощности слоя к длине волны для различных углов падения и скоростей продольных волн в основании и слое

Ри с. 15. Графики предельного отношения мощности слоя к длине вол­ ны для различного отношения скоростей и углов падения волны на грз' ницу слоя О; 30; 45 и 60°

Т а б л и ц а 10

Предельные мощности слоя для различных пород

то предельное отношение мощности слоя к длине волны, с которого на­ чинает существенно сказываться его влияние, определяется следующим соотношением:

— >0,05.

А

Для различных горных пород на территории Туркмении, где скоро­ сти распространения волн достаточно хорошо известны, можно устано­ вить предельную мощность слоя, с которой начинает сказываться его влияние на величину смещения при сейсмических колебаниях.

Для этого нам потребуются экспериментальные данные о периодах сейсмических колебаний в продольной и поперечной волнах. По материа­

Аа » у 0 + 4— ) + v2 (1 + 8*2 Т— 2 )•

45

Зная толщину слоя Н и скорость распространения соответствующей сейсмической волны в нем и измеряя по сейсмограмме период колеба­ ний Т, можно оценить влияние слоя на амплитуду сейсмических коле­ баний на поверхности земли.

но соответствует вступлению новой фазы колебаний.

3.3.Исследование корней характеристического уравнения

Проведем анализ корней знаменателя выражения (3, 15), когда он обращается в нуль, т.е.

Д (£,Н ) = 0.

Это - уравнение частот волн Рэлея в слое.

Рассмотрим те корни, которые расположены на вещественной оси. Введем обозначения:

Для удобства исследования составим следующие соотношения:

46

есть характеристическое уравнение частот для полупространства. Обоз­ начим его вещественный корень через к .

В силу симметрии Д (£,к) рассмотрим £ в интервале к,со . Значе­ нием корня уравнения Рэлея для полупространства оно делится на две

+ 0shaIich0H) = [ E (a-/3)-/S(£2_aj8)R j shaHch/3H - [ E(a-/3)

+ a(^2 -aj8)R]chaHsh/SH = [ E(a—/3) +

Положим, что Е(а—/3) —/3(^2—a/3)R <0. В этом случае -^-<0 и

A(f,H ) являются убывающими функциями Н. Но при Н = О

Д(£0) = Е - 0 > 0,

47

а при Н = ^

так как второй член в скобках отрицательный, а третий обращается в

при

а > 13.

Следовательно, при изменении Н от 0 до со предыдущее отношение изменяется в пределах

< 1.

a thaH

Если

Е (а~13) - р(£2~ар)Н(0 /3

E(a-/3)+a(f2-a/S)R(f)

то производная

ЭА(£ Н)

< 0.

ан

Это подтверждает, что Д(£,Н) в заданном интервале для £ имеет относительно Н только один корень. Полагая

48

49