книги из ГПНТБ / Гречихин, Л. И. Элементы теории относительности и основы квантовой механики учебное пособие

Поскольку в яме потенциальная энергия равна нулю, то полная энергия совпадает с кинетической:

2.Определить волновую функцию электрона, нахо­

дящегося в бесконечно глубокой прямоугольной потен-

О

циальной яме длиной 2 А на втором энергетическом

уровне.

Решение. Из решения предыдущей задачи известно,

что

<Ь= A cos кх -j- В sin кх.

70

Из краевых условий имеем: П = 0. Из условия нормировки

V■х.

тsln

3.Определить коэффициент отражения электрона от потенциального барьера бесконечной длины и высоты,

равной Uo.

Решение. Уравнение Шредингера для электрона в

одномерном случае имеет вид:

Решения этих уравнений в комплексной форме будут иметь вид:

Используем граничные условия l]'i(0) = 6i(0), 61 (0J= 02 (0):

— b}Ki = а2к.2. j

Решая данную систему уравнений относительно Ъ\ и а2, найдем (при а\ = 1):

«1 + «2 ’

к± 4“ /Cg

71

Коэффициент отражения равен отношению квадратов амплитуд отраженной и падающей волн, т. е.

4. Показать, что сумма коэффициентов отражения ча стицы от потенциального барьера и прохождения через барьер равна единице. Как это связано с теоремой о сложении вероятностей?

5.Вычислить коэффициенты прохождения частицы

через барьер и отражения ее от барьера в зависимости

ЗА Д А Ч И

1.Записать уравнение Шредингера и определить коэффициент отражения и прохождения для задачи прохождения частицы через барьер конечной длины I.

О

электрон за барьером на расстоянии 5 А от него при условии, что U0—£=> 1 эв (см. задачу 2)?

72

т= 10_зэ /гг?

5. Определить расстояние (разность энергий) между уровнями энергий п = 2 и п = 3 для электрона с массой

иг=Ю ~ 30 кг, помещенного в потенциальную яму дли­

лятора.

8. Во сколько раз увеличится коэффициент прозрач­

2 А заменить барьером шириной 1 А?

9.Записать уравнение Шредингера для свободной частицы массы т, движущейся вдоль оси х, и найти волновую функцию этой частицы.

10.Электрон «заперт» в одномерном прямоугольном потенциальном «ящике» с непроницаемыми стенками. Ширина «ящика» I. Оценить из соотношения неопреде­ ленности порядок величины минимально . возможной

энергии электрона в двух случаях: а) I = Ю”8см; б) I =

== Ю-12 см.

§5. АТОМ ВОДОРОДА

Собнаружением в XIX веке электрона и установле­ нием его свойств возникла задача, как представить строение атома. Первая модель атома была предложена Томсоном. Согласно этой модели атом представлялся как равномерно заряженный положительным электри­ чеством шар, внутри которого неподвижно покоятся электроны. Эта модель позволила в грубых чертах объяснить ряд атомных свойств, но после опытов Ре­ зерфорда по рассеянию а-частиц она была отброшена

7 3

й заменена планетарной моделью Резерфорда— Бора. Согласно этой модели атом состоит из положительно заряженного ядра, окруженного оболочкой отрицатель­ но заряженных частиц — электронов.

Теория Резерфорда (1912 г.) не объясняет характер­ ной устойчивости атома. Равномерное вращение элек­ тронов вокруг ядра на основании уравнений Максвелла должно приводить к генерированию электромагнитных волн. Постепенно истратив свою энергию, электрон дол­ жен упасть на положительное ядро. Выход из этого положения был указан Н. Бором (1913 г.). Бор отверг применимость обычных законов электродинамики к внутренним процессам и совместил гипотезу Резерфор­ да с теорией квантов.

Рассмотрение строения атомов начнем с простейше­ го атома — атома водорода. Атом водорода состоит из положительного ядра с зарядом +е (протона) и одного электрона с зарядом —е. Электроны имеют значитель­ но меньшую массу, чем ядро атома, поэтому центр ато­ ма (начало координат) практически находится в центре ядра. Потенциальная энергия электрона U определяет­ ся его положением в электростатическом поле, создава­ емом точечным зарядом ядра атома. Из закона Кулона для атома водорода вытекает следующая формула по­ тенциальной энергии:

4тсе0г

На рис. 11 изображена зависимость потенциальной энергии электрона от расстояния до центра атома. По­ лучается как бы потенциальный ящик, внутри которого находится движущаяся частица — электрон. Для этого случая уравнение Шредингера примет вид:

74

Уравнение (5.3) следует решать в сферических коорди­ натах 0 и '■?, а волновую функцию искать как функ­

цию этих координат: 0 = б (г, 0, ср). Переменные г, 0 и «

Рис. 11

разделяются в уравнении Шредингера, и волновую функцию можно представить как произведение двух функций: первая зависит только от радиуса г, а вторая от 0 и ®, т. е.

осциллятора уже вводилось понятие квантового числа п. В случае атома водорода имеет место трехмерная зада­ ча, поэтому для характеристики возможных квантовых

I, определяющее значение орбитального механического

7 5

момента и принимающее npri заданном и целые зна­ чения:

1=0, 1, 2, 3, ... , ft—1.

Состояния с последовательными значениями I при­ нято обозначать буквами латинского алфавита:

I = 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

s р d f g h i k l in n

и соответственно называть s-состояниями, р-состояния- ми и т. д.

3.Орбитальное магнитное квантовое число ft*/,

определяющее значение проекции орбитального механи­ ческого момента на выбранное направление оси OZ и принимающее при заданном I целые значения:

т{ = I, I — 1, . . 0,

т. е. 21+1 значений.

Проекция момента импульса на выбранное направ­ ление, которое определяется направлением внешнего магнитного поля, может быть различной в зависимости от ориентации момента в пространстве. На рис. 12 по-

н

£ * о

7 6

Радиальная волновая функция завйсит от первых двух квантовых чисел п и I и обычно обозначается через Rn\l(r)i а угловая функция зависит от последних двух

квантовых чисел I и и обозначается так: ГДшДб, ?). Вероятность обнаружить электрон внутри элемента

в выражении вероятности, зависящей только от числово­ го значения радиуса-вектора г, приведены на рис. 13.

Рис. 13

Для выяснения пространственного распределения веро­ ятностей б* б d х необходимо учесть множитель Y*Y. В выражение шаровой функции зависимость от угла <р

входит в виде множителя eiMVf . Отсюда следует, что

•%

пределение Y*Y получается в виде фигур вращения, возникающих при повороте кривых вокруг оси OZ. Для

8 £о я2h2

Эти уровни показаны на рис. 15.

7 8

Постулаты Бора

Электрон в атоме водорода и в других атомах может находиться лишь в определенных энергетических состо­ яниях и, вопреки требованиям классической электроди­ намики, не излучает. Эти состояния' называются стацио­ нарными. Они образуют дискретную последователь­ ность возможных значений энергии атома. Каждое изменение этой энергии связано с переходом атома из одного стационарного состояния в другое. Это — пер­ вый постулат Бора.

Поглощение и испускание излучения атомом про­ исходит в соответствии с законом сохранения энергии:

где W\ и W2 — энергии атома в стационарных состоя­ ниях.

Это утверждение носит название второго постулата Бора.

Бор предположил (дополнительный постулат), что из всех возможных механических движений электрона вокруг ядра стационарными являются лишь те, для ко­ торых момент импульса М равен целому числу, кратно-

h

электрона по определенным орбитам. Рассмотрим пове­ дение электрона в одноэлектрэнном атоме. При движе­

79