книги из ГПНТБ / Гречихин, Л. И. Элементы теории относительности и основы квантовой механики учебное пособие

фидиента прохождения D и коэффициента отражения R. Эти коэффициенты определяются как отношение плот­ ностей потока отраженных и прошедших частиц к плот­ ности падающих частиц. Очевидно, что

Напишем уравнения Шредингера для каждой обла­ сти отдельно. Для области I и III (17= 0):

Для области II (17 ф 0):

Решения таких уравнений будут следующие. В обла­ сти I имеется как падающая, так и отраженная волна:

В области II, если Uo>W, общее решение имеет вид:

где

8 к2т (W — U0)

тг — (3.41)

К2

Плотности потоков падающих, отраженных и про­ шедших частиц равны соответственно квадрату модуля амплитуды:

61

Для нахождения этих коэффициентов воспользуемся условием непрерывности функции <]> и ее первой произ­ водной на границах областей I и II, II и III, т. е. при х = 0 имеем:

Для решения этой системы уравнений необходимо учесть, что амплитуда падающего потока в силу досто­ верности события Л1= I. Тогда коэффициент прохожде­ ния

Решая систему уравнений относительно Лз, имеем:

62

Поэтому

Явление проникновения частиц сквозь потенциаль­ ный барьер называется туннельным эффектом.

Потенциальный барьер произвольной формы (рис. 9) можно приближенно представить в виде последователь­

и

Рис. 9

ности потенциальных . барьеров прямоугольной формы. Если U=U(x), то результирующий коэффициент про­ хождения

(3.50)

С прохождением частиц через потенциальный барь­ ер мы встретимся в таких физических явлениях, как холодная эмиссия электронов из металлов, радиоактив­ ный распад и т. д.

Холодная эмиссия электронов из металлов

Электроны в металле удерживаются некоторыми си­ лами притяжения, и для их удаления из металла необ­ ходимо затратить определенную работу. Это означает, что потенциальная энергия электрона вне металла боль-

63

ше, чем внутри его. На границе металл — вакуум потен­ циальная энергия электрона резко возрастает. Поэтому электроны не покидают металл. Если вблизи поверхно­ сти металла имеется электрическое поле порядка 10 В/см, направление которого способствует вырыванию электронов из металла, то электроны покидают металл. В этом заключается явление холодной эмиссии. С точки

уменьшает размеры потенциального барьера, и в резуль­ тате туннельного эффекта электроны покидают металл. На рис. 10 показан потенциальный барьер, образующий­

ся после наложения внешнего электрического поля. Поскольку ток эмиссии пропорционален коэффициенту прохождения, то задача сводится к вычислению ин­ теграла ,

64

В теории вероятностей среднее значение величины

Это правило легко обобщается и может быть записано иначе:

Выражение некоторых операторов

Величина б*(х)б (х) дает плотность вероятности нахождения частицы в точке х. Поэтому среднее значе­ ние координаты л; равно:

Отсюда следует, что в качестве оператора координаты х следует выбрать оператор умножения на эту координа­ ту, т. е.

Оператор импульса в соответствии со вторым посту­ латом для одномерного движения, действуя на волно­ вую функцию б (х), должен давать просто перемноже­ ние собственного значения импульса на ту же волновую функцию:

Для одномерного движения волна де-Бройля имеет вид:

66

Оператор полной энергии мы уже имели при написа­ нии уравнения Шредингера, зависящего от времени и выраженного формулой

Сравнивая это равенство со вторым постулатом, по­ лучаем выражение для оператора энергии:

Для момента импульса имеем:

6 7

Чтобы получить операторы проекций момента«импуль­ са, нужно вместо значений динамических величин под­ ставить их операторы. Тогда

лh

Мт

2Ш

л h

(4.15)

h

Мг

2V i

Л A

Если имеются два оператора L и /VI, соответствую­ щие некоторым динамическим величинам, то последние могут быть одновременно измерены лишь в том случае, когда операторы коммутируют. Что это значит? Пусть имеем

ЛЛ

то операторы М и L коммутируют между собой. Когда условие коммутативности нарушено, тогда динамиче­ ские величины одновременно не могут быть измерены.

Рассмотрим конкретные примеры использования квантовой механики для описания некоторых свойств отдельных микрочастиц. Особый интерес представляет использование квайтовой механики для объяснения строения атомов,

68

Вопросы для пЬвторёния темы

1. Как записать уравнение Шредингера для стационарных и

^стационарных состояний частицы?

2.Какой смысл имеет волновая функция частицы и квадрат ее модуля?

3. Каким требованиям должна удовлетворять волновая функ­ ция?

4. Что означает принцип суперпозиции в квантовой механике?

5.К каким общим результатам приводит решение уравнения Шредингера для частицы, находящейся в бесконечно глубокой по­ тенциальной яме? (Какой вид имеет волновая функция, чему равна энергия?)!

6.Какова энергия гармонического осциллятора по квантовой механике?

7.Что такое нулевая энергия осциллятора? Как эксперимен­ тально подтверждается ее существование?

8.Как записать уравнение Шредингера для частицы, движущей­ ся через потенциальный барьер конечной ширины и прямоугольной формы?

9.Что такое коэффициент прохождения через барьер и коэф­ фициент отражения от барьера? Чему они могут быть равны в

10.Как выражается коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер произвольной формы?

11.В каких физических явлениях мы встречаемся с прохожде­ нием частицы через потенциальный барьер? Что такое туннельный эффект?

12.Что такое операторы в квантовой механике? Каково их на­ значение?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

69