книги из ГПНТБ / Гречихин, Л. И. Элементы теории относительности и основы квантовой механики учебное пособие

вероятности нахождения частицы вблизи соответствую­ щей точки, характеризуемой радиусом-вектором г. Фун­

кция б (г) может быть комплексной, а плотность вероят­ ности должна быть вещественной величиной. Вероят­

является плотностью вероятности нахождения частицы

в точке.

Такая интерпретация показывает, что волновая функция ф не имеет наглядного физического смысла и не может рассматриваться как волна в пространстве. С по­ мощью волновой функции возможно лишь вероятност­ ное описание движения микрочастиц: мы можем лишь предсказать вероятность того, что в определенный мо­ мент времени частица будет находиться в определен­ ной области пространства. В рамках существующей квантовой механики иное описание движения частиц, кроме вероятностного, невозможно. Можно сказать, что вероятностный характер описания явлений представляет принципиальную особенность квантовой механики. Эта ее особенность не обязательно связана с наличием боль­ шой совокупности частиц. Квантовая механика приме­ нима для описания поведения отдельных частиц, но от­ носительно поведения этих отдельных частиц она в со­ стоянии сделать только вероятностные суждения. Нали­ чие совокупности одинаковых частиц или систем необхо­ димо лишь для опытной проверки вероятности предска­ заний, которые квантовая механика позволяет сделать относительно поведения отдельной частицы или системы.

50

Вероятность найти частицу в момент времени t в объеме v равна:

Если произвести интегрирование по всему объему, то по­ лучим вероятность того, что в данный момент времени t частица находится где-нибудь в этом пространстве. Это

достоверное событие, и поэтому р=1, а значит,

оо

Полученное выражение является условием нормировки,

а функция б, удовлетворяющая этому условию, назы­ вается нормированной.

Принцип суперпозиции состояний

Уравнения Шредингера линейны, поэтому для них имеет место принцип суперпозиции. Принцип суперпо­ зиции в квантовой механике наряду с соотношением неопределенности является основным принципом. В кван­ товой механике рассматриваются суперпозиции состоя­ ний. Если существуют состояния, описываемые волно­

выми функциями б |, то возможна реализация состоя­ ния б

вать как суперпозицию состояний ^ . Выбор совокуп­

ности волновых функций связан с выбором определен­ ных динамических характеристик системы. Коэффи­

циенты Cl могут быть комплексными.

Выясним роль коэффициентов С ,. Для этого рас­ смотрим интеграл

51

Интеграл — O при к ф г и отличен от нуля при к — i, что выражает собой условие ортогональ­ ности. С учетом условия нормировки имеем:

К

Условие нормировки для сложной волновой функции:

Отсюда вероятность обнаружить нашу систему в состоя­

Таким образом, коэффициенты Cjопределяют распре­ деление вероятностей соответствующих возможных со­ стояний рассматриваемой системы.

§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

ДЛЯ РЕШЕНИЯ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ

Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме

Ниже на простых примерах выясним, как из уравне­ ния Шрединтера вытекает квантование энергии, т. е. свойство квантовой частицы обладать не любыми зна­ чениями энергии, а лишь набором вполне определенных дискретных значений.

Рассмотрим частицу, находящуюся в поле, которое

52

(рис. б); на границах области (О, I) энергия внезапно возрастает до бесконечности. Это значит, что частица не выходит за пределы области (О, I). В этом случае

о г к

Рис, 6

уравнение Шредингера для одномерного движения, па­ раллельного оси X, запишется так:

Здесь потенциальная энергия удовлетворяет следующим требованиям:

Это так называемые краевые условия. Чтобы удовлетво­

53

Уравнение Шредингера для нашего случая будет иметь вид

Это дифференциальное уравнение аналогично уравне­ нию колебательного гармонического движения:

I *

Решение уравнений (3.5), как известно, имеет вид:

где п — целое число, равное 0, 1,2,...

Из последнего условия следует, что величина энер­ гии W может принимать лишь дискретные значения:

ti1 ti‘

(3.11)

8 ml2

54

Коэффициент Ё в выражений волновой функции можёт быть найден из условия нормировки:

Таким образом, полное решение задачи о поведений частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциаль­ ной яме будет состоять из двух частей:

из определения волновой функции такой частицы

Последнее означает, что частица, запертая в потенци­ альном ящике, может иметь только дискретные значе­ ния энергии. Полученный вывод не совпадает с резуль­ татами классической механики, где движущаяся части­ ца может обладать непрерывным рядом значений энергии.

Гармонический осциллятор

Рассмотрим еще один пример квантовомеханическо­ го движения частицы — линейный гармонический осцил­ лятор. Потенциальная энергия гармонического осцилля­ тора, колеблющегося вдоль оси ОХ, равна:

55

Кривая потенциальной энергии такого линейного гармонического осциллятора показана на рис. 7. Эта потенциальная кривая образует нечто вроде ящика

dx2

56

Это уравнение достаточно точно удовлетворяется реше­ нием

(3.21)

Подставим (3.21) в (3.20):

dx2

При х » 1 вторым членом во второй производной по сравнению с первым можно пренебречь. Тогда дейст­ вительно исходное дифференциальное уравнение выпол­ няется.

Из двух возможных знаков в степени следует вы­ брать минус, так как плюс приводит к бесконечности.

Общее решение будем искать в виде:

где f(x) — функция, которая должна быть подобрана так, чтобы волновая функция удовлетворяла исходно­ му уравнению Шредингера. Подставив в уравнение Шредингера значение волновой функции, получим дифференциальное уравнение, которому должна удов­ летворять функция f(x) :

57

Сумма бесконечного степенного ряда тождественно равна нулю только в том случае, когда коэффициенты при всех степенях независимой переменной равны нулю. Приравнивая нулю сумму коэффициентов при одинако­ вых степенях, получаем следующее рекуррентное соот­

<.к т 2) (к.+ 1)

Эта формула позволяет последовательно вычислять все члены ряда через один. Так как ряд может начинаться либо со степени л.= 0, либо со степени к= 1, то рекур­ рентная формула дает два ряда, из которых один со­ стоит только из четных членов, а другой — только из

нечетных. При х-> оо волновая функция должна обра­ щаться в нуль. Это значит, что ряд у нас будет не бес­

58

Квантовое число линейного осциллятора всегда выра­

жается «половинчатым» числом я + — . Вследствие

2

этого в низшем квантовом состоянии (я = 0) энергия осциллятора не обращается в нуль, а равна:

Это значение Wo называется «нулевой энергией». То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, убедительно доказывается экспериментально по рас­ сеянию света кристаллами при изменении температуры.

Рассеяние света обусловливается колебаниями ато­ мов. С уменьшением температуры амплитуда колебаний атомов уменьшается, стремясь согласно классической механике к нулю, в результате чего должно исчезнуть рассеяние света. -С точки зрения квантовой механики при понижении температуры средняя амплитуда должна стремиться не к нулю, а к некоторому пределу, обуслов­ ленному наличием нулевой энергии колебаний. Поэтому и рассеяние света при понижении температуры должно стремиться к некоторому пределу. Такой ход интенсив­ ности рассеяния с понижением температуры наблю­ дается экспериментально.

59