книги из ГПНТБ / Гречихин, Л. И. Элементы теории относительности и основы квантовой механики учебное пособие

можно обосновать, например, анализируя явление диф­ ракции.

Для простоты рассмотрим дифракцию, вызываемую одной щелью (рис. 5). Представим себе пучок электро­ нов, летящий в направлении ОУ со скоростью V.

Рис. 5

Экран АВ со щелью шириной d расположен перпен­ дикулярно пучку. На экране СД наблюдается дифрак­ ционная картина. Для бесконечно длинной узкой щели первый минимум получается при угле ®, удовлетворяю­ щем условию:

где X — длина волны де-Бройля.

Главная часть интенсивности относится к централь­ ному максимуму, поэтому ролью вторичных максиму­ мов пренебрегаем.

Если электрон в момент прохождения щели откло­ няется на угол®, то он приобретает вдоль оси ОХ некий

40

Но в момент прохождения щели d нам известны коор­ динаты электрона вдоль оси ОХ с точностью A x = d. Значит, окончательно имеем:

Это соотношение может быть обобщено на все коорди­ наты, что дает:

формулировкой соотношения неопределенности Гейзен­ берга. Смысл этих соотношений следующий. Если мы хотим характеризовать микрочастицу с помощью, фи­ зических величин, присущих обычной механической ча­

мерительный прибор необходимо рассматривать как со­ ставную часть системы. В классической физике влия­

В этом принципиальное различие роли прибора в клас­ сической и квантовой физике.

Принцип неопределенности имеет несколько иной смысл применительно к энергии системы. Пусть систе­

ма испускает квант света с энергией h v. Согласно за­ кону сохранения энергии настолько же должна умень­ шиться и ее энергия, т. е. Wr—W\ = h'>- Но чтобы гово­ рить об определенной частоте кванта v, должен прой­ ти отрезок времени A t, в течение которого совершится по крайней мере одно колебание, т. е.

At > i/v.

Отсюда состояние системы с энергией Wlt из кото­ рого происходит радиационный переход, обязано суще­ ствовать по крайней мере в течение времени At. По смыслу вопроса энергию этого состояния нуж­ но задавать с неточностью, которая меньше значения

41

разности W2— Wh так как в противном случае нельзя отличить W2 от W\. Значит,

задана тем точнее, чем дольше оно существует до пере­ хода в другое состояние; энергия короткоживущих со­ стояний всегда задается с ошибкой.

Соотношение неопределенности неоднократно явля­ лось темой философских дискуссий. Физики буржуаз­ ных стран утверждали, что соотношение неопределен­ ности указывает границу познания природы, а значит, мир непознаваем, свойства мира не определяются про­ странственно-временными соотношениями. Научный анализ соотношения неопределенности противоречит этим идеалистическим заключениям. Явления, относя­ щиеся к микромиру, протекают в пространстве и вре­ мени иначе, чем явления макромира. Наглядные пред­ ставления, возникающие у нас на основе опытов с мак­ роскопическими телами, оказываются непригодными для микрочастиц. Квантовомеханический подход выра­ жает свойства изучаемого объекта в специальных усло­ виях его взаимодействия с окружающими телами, что является иллюстрацией основного положения диалек­ тического материализма о всеобщей связи и взаимо­ обусловленности явлений природы.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Найти длину волны де-Бройля для электрона, прошедшего разность потенциалов 1 В.

Решение. Определяем скорость электрона из соот-

ношения еи = — (работа электрических сил поля

42

равна кинетической энергии электрона):

т

По формуле де-Бройля находим длину волны:

2. Чему равна постоянная кристаллической решетки, если в опыте по дифракции электронов третий макси­ мум наблюдался при угле скольжения электронного луча 30° и если ускоряющая разность потенциалов рав­ нялась 100 Б?

Решение. Условие максимума при дифракции ^тек-

3.С какой степенью точности можно определить

43

ления скорости больше самой скорости. Значит, гово­ рить о скорости атомного электрона, о его траектории или орбите бессмысленно.

4.С какой скоростью должен двигаться электрон,

чтобы количество его движения было равно количеству

Какова неточность в определении энергии этого состоя­ ния?

Решение. По соотношению неопределенности нахо­

Вопросы для повторения темы

1. Как понять утверждение, что квантовая частица одновре­ менно обладает и корпускулярными и волновыми свойствами? Сравнить это с дуализмом волн и частиц в оптике.

2.Какие физические закономерности привели к развитию кван­ товой механики?

3.В чем сущность опыта Девиссона, Джермера по дифракции

электронов?

4. Начертите и объясните график зависимости тока от ускоряю­ щей разности потенциалов электронов, полученной в опыте Девис­ сона, Джермера.

5.Объясните формулу де-Бройля (запишите и прокоментируйте).

6.Обладают ли волновыми свойствами макроскопические тела (например, гцря массой 1 кг)? Почему о волновых свойствах боль­

ших тел говорить не имеет смысла?

44

но ли говорить в связи с этим о непознаваемости квантовых частиц?

п молекулярных пучков).

ЗА Д А Ч И

1.С какой степенью точности можно определить

определении координаты равна 10~гс.м?

2.Какую энергию должен иметь фотон, чтобы его масса была равна массе покоя электрона?

3.Определить длину волны де-Бройля, характеризу­ ющую волновые свойства электрона, если его скорость равна 1000 км/ч. Сделать такой же расчет для протона.

4.Какую ускоряющую разность потенциалов должен

О

ную 0,02 А. Найти массу этой частицы, если известно, что заряд ее численно равен заряду электрона.

6. Определить длину волны де-Бройля для электро­

скорости шарика?

8.Электрон движется со скоростью 200 000 км/с. Определить длину волны де-Бройля, учитывая измене­ ние массы в зависимости от скорости.

9.Электрон находится внутри сферической частицы

металла, объем которой ]0"6сш3, и имеет кинетическую энергию порядка 10 эв. Оценить, исходя из соотноше­

45

ния неопределенности, относительную неопределенность

при температуре 300°К; в) шарика массой в 1 г, движу­ щегося со скоростью 1 см/с.

§ 2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Уравнение, описывающее движение микрочастиц, должно учитывать не только их корпускулярные, но и волновые свойства. Таким уравнением является уравне­ ние волны. Рассмотрим уравнение волны подробнее. Для упругих колебаний уравнение волны имеет вид:

Не трудно показать, что вторая производная этого вы­ ражения по координате связана со второй производ­ ной по времени соотношением

Это так называемое уравнение Даламбера. Здесь V — скорость распространения упругих колебаний.

Если х описывает монохроматическую волну, т, е.

то уравнение Даламбера примет вид:

(2.4)

или, выражая v/V через 1 А, имеем:

46

Часто вторую частную производную по координате

В %том уравнении перейдем от упругих колебаний к волне де-Бройля. Для этого вместо Я, подставим ее зна­ чение, воспользовавшись уравнением де-Бройля р — hft.. Если выразить полную энергию через импульс

W == + U; р = У 2 m(W — ПУ\ 2 т

У 2 m(W — U) ’

где U — потенциальная энергия, a W — полная энер­ гия, то

Это уравнение называется волновым уравнением Шредингера. Оно является основным уравнением квантовой механики и определяет стационарные состояния, кото­ рые не зависят от времени.

Если в уравнении монохроматической волны учесть

47

Уравнение Шредингера можно записать также и для волновой функции, зависящей от времени, т. е.

Это уравнение Шредингера зависит от времени. Волно­ вая функция является решением этого уравнения и обычно обозначается через б (г, t) В правой части урав­ нения в скобках записан оператор энергии системы. Если обозначить его через

то уравнение Шредингера, зависящее от времени, при­ мет вид:

Это значит, что состояния с постоянной энергией ста­ ционарны.

48

Волновая функция и ее статистический смысл

как корпускулярные, так и волновые свойства частиц. Вопрос об интерпретации волновой функции не явля­ ется простым и в свое время вызвал много споров. Первая попытка интерпретировать физический смысл волн де-Бройля заключалась в том, что частица рас­ сматривалась как некая совокупность волн — волновой пакет. Мы уже отметили, что такая частица будет не­ устойчива. Правильное толкование волн де-Бройля бы­ ло найдено Максом Борном, который выдвинул стати­ стическое толкование волн де-Бройля. Согласно Борну интенсивность волн де-Бройля в каком-либо месте про­ странства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте.

В таком понимании волны де-Бройля не имеют ни­ чего общего с волнами, рассматриваемыми в классиче­ ской физике. Во всех «классических» волнах абсолют­ ное значение амплитуды волны определяет физическое состояние. Квадрат амплитуды волны определяет ее энергию, т. е. определенное физическое состояние колеб­ лющейся частицы. Обладая различными амплитудами колебаний, она вместе с тем имеет различные физиче­ ские состояния.

Для волн де-Бройля интенсивности определяют ве­ роятности местонахождения частицы, а не ее физиче­ ское состояние. Волны де-Бройля дают статистическое описание движения частицы. Поэтому их следует рас­ сматривать как волны вероятности. Они определяют вероятность обнаружения частицы в данном месте в данный момент времени. Зная волну де-Бройля, описы­ вающую состояние частицы, можно найти вероятность не только местоположения частицы, но и вероятность результата измерения любой механической величины, относящейся к рассматриваемой частице.

Волновые свойства присущи каждой отдельной ча­ стице. Поэтому число частиц в данном элементе объе­ ма равно общему количеству частиц, умноженному на