книги из ГПНТБ / Гречихин, Л. И. Элементы теории относительности и основы квантовой механики учебное пособие

II.В в е д е н и е

вквантовую механику

§1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКИ

Объяснить спектральные закономерности атомов и молекул, понять явления радиоактивного распада, при­ роду связей между атомами в молекуле, явления ферро­ магнетизма и многие другие факты на основе классиче­ ской физики (механики, электродинамики) оказалось невозможным. Чтобы избежать противоречий, потребо­ валось не только изменение вида уравнений, описыва­ ющих те или иные процессы, но и новая постановка задачи описания процессов. В явлениях атомного мас­ штаба оказалось невозможным отделить влияние средств наблюдения от самого явления. Построенная на этой основе новая теория явлений атомного масштаба носит название квантовой механики.

Квантовая механика как наука стала развиваться на основе следующих основных физических открытий: зако­ номерностей излучения абсолютно черного тела, явле­ ния фотоэффекта, рассеяния ■света коротких длин волн (эффект Комптона), флюктуаций в световом потоке. Все указанные явления, за исключением флюктуаций в световом потоке, нами были рассмотрены. Для объяс­ нения этих явлений пришлось вводить понятие квантов. Прямым опытом, который указывает на квантовую при­ роду света, является опыт С. И. Вавилова по изучению флюктуаций в световом потоке. Рассмотрим этот опыт,

30

и попадает в фильтр Ф, который пропускает свет зеле­ ной длины волны, так как в этой области света чело­

непрерывно изменять интенсивность света. 1 лаз 1 фоку­ сируется на источник слабого света В, благодаря чему луч света, проходящий через отверстие диска, попадает на периферический участок сетчатой оболочки глаза. Диск D с одним отверстием вращается со скоростью один оборот в секунду. Отверстие в диске обеспечи­ вает открытие источника света S в течение 1/10 оборота диска, т. е. всего 0,1 с. Непрерывное вращение обеспечи­ вает последовательность вспышек длительностью 0,1 с

синтервалами между ними 0,9 с.

Вмомент вспышки наблюдатель нажатием ключа делает отметку на движущейся ленте хронографа. На этой же ленте отмечаются моменты прохода отверстия диска перед глазом наблюдателя. Сопоставляя отметки на ленте, сделанные наблюдателем, с отметками, ха­ рактеризующими моменты прохождения отверстия дис­

ка перед глазом наблюдателя, можно определить, за­ метил или не заметил наблюдатель вспышку.

Когда яркость вспышек не очень мала, наблюдатель отмечает каждую вспышку. При уменьшении яркости наступает такая стадия, когда соответствие между вспышками, которые замечает наблюдатель, и прохо­ дами отверстия диска перед глазом наблюдателя нару­ шается: наблюдатель отмечает не все вспышки. Это

31

означает, что в некоторых вспышках число фотонов ни­ же порога чувствительности, а в некоторых выше. Ма­ тематическая обработка результатов наблюдении по­ зволила установить, что в этих опытах мы имеем дело со статическими флюктуациями числа фотонов в све­ товом потоке.

Формула де-Бройля

Свет обладает как волновыми, так и корпускуляр­ ными свойствами. Отдельный фотон можно рассматри­ вать как волну-частицу. В 1924 г. Луи-де-Бройль волно­ вые свойства распространил и на частицы, которые обладают массой покоя, т. е. па материальные части­ цы. Материальные частицы, так же как и фотоны, обладают и корпускулярными и волновыми свойствами. Волна-частица, или частица-волна, стала основным, фундаментальным понятием материального мира. Луи-де-Бройль вывел соотношение, связывающее вели­ чины, которые характеризуют волновые и корпускуляр­ ные свойства частиц.

Состояние движения материальной частицы должно характеризоваться импульсом р (с точки зрения обыч­ ной механики) и определенной длиной волны К (с вол­ новой точки зрения). В случае фотонов волновые и корпускулярные свойства выражаются такими уравне­ ниями:

Отсюда

(1.4)

Р

32

Следовательно, получена связь между длиной волны и импульсом. Де-Бройль это соотношение распространил и на материальные частицы, т. е.

(1.5)

Всякое волновое движение характеризуется уравне­ нием волны

В случае движения частицы, имеющей импульс р и энергию W, уравнение плоской волны будет следую­ щим:

относительности, которая запрещает существование скоростей, больших, чем скорость света. Дело в гом, что утверждение теории относительности справедливо лишь для процессов, связанных с переносом массы и

энергии. Фазовая же скорость волны, вообще говоря, не характеризует скорость переноса энергии и массы частицы. Последнее характеризуется групповой скоро­ стью Vr .

Групповая скорость находится из условия постоян­ ства амплитуды группы волн, а в случае волн де-Брой- ля она просто равна скорости частицы:

интервале значений волновых чисел, называют обычно волновым пакетом. Поскольку скорость волнового па­ кета равняется скорости частицы, то возникает жела­ ние представить частицу как волновой пакет. Однако такое представление невозможно, так как волновой пакет в силу дисперсии среды постепенно расплывает­ ся, а частица остается частицей и не может расплы­ ваться в пространстве.

Предсказание де-Бройлем наличия волновых свойств у движущихся материальных частиц было эксперимен­ тально доказано в 1927 г. опытами Дэвиссона и Джер-

рую можно определить, пользуясь законом сохранения

2

Отсюда

(1.12)

Vщ

адлина волн де-Бройля равна:

34

Если U измерить в вольтах, а Я — в ангстремах, то для электронов получаем:

w

Отсюда видно, что если U составляет несколько вольт, то длина волн де-Бройля будет порядка нескольких ангстрем. Поэтому для наблюдения явлений дифракции и интерференции электронных волн необходимо пользо­ ваться методами, известными в теории дифракции и интерференции рентгеновских лучей, т. е. необходимо использовать дифракцию электронных волн на кристал­ лической решетке.

Дифракция электронов

Способы наблюдения дифракции электронов на кристаллах могут быть разные. Можно рассматривать дифракцию при отражении электронов от многомерной структуры и при прохождении их через кристалличе­ скую решетку. Первый вариант был реализован в 1927 г. Девиссоном и Джермером, а второй — Томсо­ ном и Тартаковским.

Опыты Девиссона и Джермера

Схема опыта Девиссона и Джермера показана на рис. 2. Электронный пучок, вылетающий из накаленной нити К, ускоряется полем с разностью потенциалов U,

35

затем проходит через ряд диафрагм и в виде узкого параллельного пучка падает на монокристалл А. Иони­ зационная камера В, соединенная с гальванометром Г, измеряет по силе возникающего тока / число электро­ нов, отраженных от кристалла по закону отражения под углом а. Угол а во время опыта оставался постоян­ ным. Опыт состоял в измерении тока I, проходящего через гальванометр, как функции разности потенциалов U, ускоряющей электронный пучок. Оказалось, что при монотонном изменении разности потенциалов V ток I менялся не монотонно, а давал ряд максимумов, кото­ рые показаны на рис. 3. Получающаяся зависимость характеризуется рядом почти равностоящих максиму-

I

Рис. 3

мов силы тока. Отсюда следует, что отражение элек­ тронов происходит лишь при определенных разностях ускоряющих потенциалов, т. е. при определенных ско­ ростях электронов.

Аналогичное явление имеет место при отражении рентгеновских лучей от кристалла. Отражение в опре­ деленном направлении, характеризуемом углом а, про­ исходит лишь при выполнении соотношения Вульфа — Бреггов

36

Сопоставляя этот факт с приведенными вЫШС результатами, заключаем, что электронный пучок проявляет волновые свойства и что длина волны элек­ тронного пучка зависит от скорости электронов. Ре­ зультаты, полученные Девиссоном и Джермером, хоро­ шо согласуются с формулой Вульфа — Бреггов, если под к понимать длину волн де-Бройля, т. е.

Рис. 4

диафрагма Д. На фольге В происходит рассеяние электронов. Рассеянные электроны падают на пластин­ ку Е, в которой сделан круговой прорез. В прорез по­ падают только электроны, рассеянные на определенный угол а. За прорезом располагалась пластина F, соеди­ ненная с электрометром, измеряющим электронный ток. Опыт заключался в измерении тока электрометром Г как функции ускоряющей разности потенциалов. Том-

37

СОН осуществил опыты с быстрыми электронами (17,5-1-56,5 кэв), а Тартаковский — со сравнительно медленными электронами (до 1,7 кэв). Оказалось, что максимумы тока получились при определенных значе­ ниях скоростей электронов. В этом случае расчет диф­ ракционной картины согласуется с опытными данными, если приписать электрону длину волны, свйэанную с его скоростью уравнением де-Вройлй.

Дифракция нейтронов и молекулярных пучков

Нейтральные частицы также обладают волновыми свойствами. Экспериментирование с молекулярными и атомными пучками значительно сложнее, чем с пучка­ ми заряженных частиц, так как управление первыми с помощью электрических полей невозможно, а регист­ рация незаряженных частиц значительно труднее. Дли­ на волны де-Бройля обратно пропорциональна массе частицы. Следовательно, при той же скорости длина волны нейтрона или молекулы в тысячу раз меньше, чем длина волны электрона. Для наблюдения дифрак­ ции волн на кристаллах необходимо, чтобы длина волны была сравнима с расстоянием между узлами кристал­ лической решетки. Поэтому для наблюдения дифрак­

ции тяжелых частиц необходимо пользоваться частица­ ми с достаточно малыми скоростями.

В случае нейтронов можно пользоваться «тепловы­ ми» нейтронами. Интенсивность пучка отраженных нейтронов можно измерить с помощью соответствующе­ го счетчика нейтронов или зарегистрировать на фото­ пластинку. Аналогичным образом проводятся опыты с. молекулярными пучками. Эти опыты также подтвер­ дили правильность формулы де-Бройля, благодаря чему было доказано, что волновые свойства являются универсальными свойствами микрочастиц. Они не обусловлены какими-либо особенностями внутреннего строения той или иной частицы, а отражают общий закон движения материальных частиц.

38

Дифракция электронов при очень малых потоках

Описанные выше опыты производились с пучками частиц. Поэтому возникает вопрос: волновые свойст­ ва, проявления которых наблюдались в этих опытах; являются свойствами пучка частиц или свойствами от­ дельных частиц; не являются ли наблюдаемые в этих опытах волновые свойства результатом взаимодействия частиц друг с другом?

Для выяснений этого вопроса Фабрикантом; Биберманом И Сушкиным в 1949 г, были поставлены специ­ альные опыты с дифракцией электронов в условиях, исключающих взаимодействие электронов пучка между собой. Электроны направлялись на кристалл со столь малой интенсивностью, что можно было с уверенно­ стью сказать, что одновременно через кристалл прохо­ дит не более одного электрона, благодаря чему воз­

тина в этом случае оказалась совершенно аналогичной интерференционной картине, получающейся при пропу­ скании пучков электронов.

Совокупность изложенных выше фактов говорит о том, что все микрочастицы обнаруживают как корпу­ скулярные, так и волновые свойства, а формула де-Бройля имеет всеобщую значимость и выражает со­ бой основной закон природы.

Соотношение неопределенностей

Микрочастица, обладая волновыми свойствами, уже не представляет собой частицу в том виде, как она понимается в классической механике. В ряде случаев

определенные интервалы координат и скоростей. Сте­ пень пригодности этих понятий для характеристики микрочастиц определяется математическим соотноше­ нием, установленным Гейзенбергом и носящим назва­ ние «соотношение неопределенности». Это соотношение

39