книги из ГПНТБ / Гречихин, Л. И. Элементы теории относительности и основы квантовой механики учебное пособие

Работа, совершаемая над телом, определяет прирост

m^dV

(1 - p2)3/2 ’

тогда

m0Vd V

dW =

"(1 - p2)3/2

Интегрируя это выражение от 0 до V, получим:

V\

При F < c это выражение приобретает вид:

W!<= ±-m0V*(\ + j P + . . . j .

Отсюда в пределе малых скоростей получается класси­ ческое выражение для кинетической энергии.

§ 6. СВЯЗЬ МАССЫ И ЭНЕРГИИ

Из формулы кинетической энергии с учетом реляти­ вистских эффектов получается, что

1FK= me2 — т0сг.

Отсюда видно, что увеличение кинетической энергии на

20

Л Г К вызывает одновременный прирост массы А т, рав­ ный:

а ш, — ------- •

С1

Этот результат представляет собой частный случай од­ ного из фундаментальных законов природы — закона взаимосвязи массы и энергии. Согласно этому закону общий запас энергии тела (или системы тел), из каких бы видов энергии он ни состоял (кинетической, потен­ циальной, тепловой, световой и т.. д.), связан с общей массой этого тела соотношением

W = тс\

Зависимость энергии от скорости показана на рис. 3. Масса тела, которая в классической физике выступала

связи массы и энергии можно только на ядерных про­ цессах («дефект массы») или на процессах превращения элементарных частиц, связанных с большими изменения­ ми энергии. В этом случае «пассивная» энергия покоя превращается в «активную» энергию движения частиц.

В соответствии с определением общей энергии дви­ жение частиц со скоростью света возможно в случае, когда масса покоя частицы равна нулю. Такие частицы

21

оборот, приобретает положительную энергию. Экспери­ ментального подтверждения существования тахионов пока нет. Если тахионы в природе не существуют, то физики должны ответить, почему они отсутствуют.

такие системы отсчета отсутствуют. Проблема формули­ рования физических законов для любой системы коорди­ нат была разрешена общей теорией относительности. В общей теории относительности инерциальная система координат является лишь предельным случаем более общей, неинерциальной системы координат. Законы движения одинаковым образом формулируются в инер­ циальных и неинерциальных системах отсчета, если счи­ тать тождественными силы тяжести и инерции. На этом построена общая теория относительности Эйнштейна.

В общей теории относительности закон тяготения Ньютона есть первое приближение к истине. При этом теория тяготения Эйнштейна не заменяет ньютоновское выражение силы тяжести другим, более точным выра­ жением силы. Эйнштейн нашел такую формулировку закона тяготения, в которой движение в поле тяжести

Камень падает на Землю и планеты движутся вокруг Солнца, повинуясь только инерции. Свободное движение в такой форме, как оно понимается у Ньютона, есть некоторая идеализация истинного положения вещей. Нет оснований утверждать, что реальные свойства простран­ ства и времени вблизи материальных тел совершенно такие же, как и вдали от них. Эйнштейн сумел по­ строить теорию тяготения так, что закон движения в по­ ле тяжести приобрел физически тождественную форму с законом свободного движения. Для того чтобы объяс­ нить, почему в одних областях пространства вблизи от масс кривизна траектории пробного тела больше, чем вдали от них, было принято, что сами свойства про­

23

странства и времени меняются от точки к точке и от момента к моменту времени в зависимости от свойств материи.

Таким образом, в общей теории относительности про­ странство и время выступают как физические объекты, свойства которых неотделимы от присутствующей в них движущейся материи. Как нельзя определить движение вне пространства, так нельзя определить пространство и время отдельно от движения материи.

Геометрия мира становится частью физики: невоз­ можно исходить из геометрических постулатов, выдви­ гаемых умозрительно. Основные положения геометрии должны проверяться опытом. Привычные нам постулаты эвклидовой геометрии выступают тоже как обобщение опытных фактов, но относятся к малой области про­ странства-времени, лишенной материи. В больших областях необходимо пользоваться более точными законами геометрии, которые были разработаны Н. И. Лобачевским задолго до создания общей теории тяготения. Эйнштейн показал неразрывную связь зако­ нов поля тяготения с законами геометрии Лобачевско­ го, которые вместе составляют неразрывное целое. Если нет других полей, кроме поля тяжести, то свободное движение тел зависит исключительно от геометрии ми­ ра. Зависимость между геометрией мира и движением больших масс и представляет эйнштейновский закон тя­ готения. Искривление пространства определяет величину силы тяготения.

Подтверждением общей теории относительности яви­ лось открытие вращения перигелия Меркурия и откло­ нения световых лучей от прямолинейного распростране­ ния, которые были предсказаны теорией. Кроме того, атом в поле тяготения звезды испускает свет меньшей частоты, чем такой же атом на Земле. Это так назы­ ваемое красное смещение действительно наблюдалось и

в земных условиях при излучении ядер, которые подни­ мались над Землей всего лишь на 10 м. Этого было до­ статочно, чтобы по эффекту Мессбауэра такое красное смещение зарегистрировать.

24

Суммируем определение теории относительности сло­ вами Эйнштейна и Инфельда из их книги «Эволюция физики»: «В физике появилось новое понятие, самое важное достижение со времен Ньютона — поле. Теория относительности возникает из проблемы поля. Противо­ речия и непоследовательность старых теорий вынуждают нас приписывать новые свойства пространственновременному континууму, этой арене, на которой разыгрываются все события нашего физического мира...

Теория относительности развивается двумя этапами. Первый этап приводит к так называемой специальной теории относительности, применяемой только к инерци­ альным системам координат, т. е. к системам, в которых справедлив закон инерции, как он был сформулирован Ньютоном. Специальная теория относительности осно­ вывается на двух фундаментальных положениях: физи­ ческие законы одинаковы во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно относительно друг друга; скорость света всегда имеет одно и то же значение. Из этих положений, полностью подтвержден­ ных экспериментом, вытекает зависимость длины тела и отрезков времени от скорости. Теория относительности изменяет законы механики. Старые законы не справед­ ливы, если скорость движущейся частицы приближается к скорости света. Новые законы движения тела, сфор­ мулированные теорией относительности, блестяще под­ тверждаются экспериментом. Дальнейшее следствие специальной теории относительности есть связь между массой и энергией. Масса — это энергия, а энергия имеет массу. Оба закона сохранения — закон сохране­ ния массы и закон сохранения энергии — объединяются теорией относительности в один закон — закон сохране­ ния массы-энергии».

Общая теория относительности дает еще более глу­ бокий анализ пространственно-временного континуума.

Справедливость теории относительности больше не ог­ раничивается инерциальными системами координат. Теория берется за проблему тяготения и формулирует новые структурные законы для поля тяготения. Она за­ ставляет нас проанализировать.роль, которую играет

25

Геометрия в описании физического мира. Эквивалент­ ность тяжелой и инертной массы она рассматривает как существенный, а не просто случайный факт, каким она была в классической механике. Экспериментальные следствия общей теории относительности отличаются от

следствий классической механики. Первые выдерживают экспериментальную проверку всюду, где возможно сравнение. Сила теории заключается в ее внутренней согласованности и простоте основных положений.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Какой должна быть кинетическая энергия косми­ ческого корабля, чтобы ход времени в ней был в полто­ ра раза медленней, чем на Земле? Масса корабля 10 т.

V

Учитывая изменение массы со скоростью, найдем:

26

Наконец, кинетическая энергия корабля будет равна:

=3,75 • Ю20 Дж.

2.Какую энергию в мегаэлектронвольтах необходимо

затратить, чтобы разрушить ядро гелия гНе4, удалив образующие его частицы на такое расстояние друг от друга, на котором ядерными силами взаимодействия без сообщения им кинетической энергии можно пре­ небречь?

в соответствии с законом взаимосвязи массы и энергии определяется по формуле

А £ = с! Дш, (а)

где Ат — дефект массы ядра (разность суммы масс частиц, входящих в ядро, и массы ядра);

с— скорость света в вакууме;

АЕ — энергия связи.

Если массу выразить в атомных единицах массы (а. е. м.), а энергию связи — в мегаэлектронвольтах, то формула (а) может быть записана в следующем виде:

А Е = 931 • А т, (б)

где 931 — коэффициент, показывающий величину энер­ гии (в мегаэлектронвольтах), связанной с

1 а. е. м.

A—Z — число нейтронов; тр — масса протона; т„ — масса нейтрона; Мя — масса ядра.

27

Подставив в (б) выражение А т из (в), будем иметь:

=28,3 Мэе.

3.На сколько увеличится масса а-частицы при уско рении ее от начальной скорости, равной нулю, до скоро­ сти, равной 0,9 скорости света?

Вопросы для повторения темы

1.Как связана масса покоя тела с массой тела, движущегося со скоростью V ?

2.Чему равен релятивистский импульс частицы?

3. Как записать 2-й закон Ньютона в теории относительности?

4.Чему равна кинетическая энергия частицы в теории относи­ тельности?

5.Что называют энергией покоя частицы?

6.Как связана энергия с массой частицы в теории относитель­ ности?

7.Назовите частицы, у которых масса покоя равна нулю.

8.Чему равен импульс фотона, масса фотона?

9.Что изучает общая теория относительности?

10.Как определяются пространство и время в теории относитель­ ности и в философии?

28

ЗА Д А Ч И

1.Частица движется со скоростью, равной половине скорости света. Во сколько раз масса движущейся ча­ стицы больше массы покоящейся?

2.С какой скоростью движется частица, если ее мас­

са в три раза больше массы покоя?

3.Кинетическая энергия электрона равна 2 Мэе. Во сколько раз его масса больше массы покоя?

4.Кинетическая энергия протона равна 2,5 Мэе. Во сколько раз его масса больше массы покоя?

5. Чему равен импульс фотона, если длина волны

О

Х= 1 А? Чему равна при этом масса фотона?

6.Какому изменению массы соответствует изменение энергии на одну калорию?

7.Электрон летит со скоростью, равной 0,8 скорости

8.Кинетическая энергия электрона равна 0,8 Мэе. Определить импульс электрона.

9.Энергия связи электрона с ядром «евозбужденного

атома водорода jH1 равна 13,6 эв. Определить в а. е. м. разность между суммой масс протона и электрона

имассой атома водорода.

10.Какую наименьшую энергию нужно затратить, чтобы разделить ядро углерода 6С12 на три одинаковые

части?

11. На сколько процентов изменяется масса ракеты, если она летит с первой космической скоростью (со вто­ рой)?

29