книги из ГПНТБ / Гречихин, Л. И. Элементы теории относительности и основы квантовой механики учебное пособие

Ских лучей, движущихся со скоростью V, время жизни по земным часам больше, чем То, в соответствии с полу­ ченной формулой.

Теорема сложения скоростей

Пусть частица движется вдоль совпадающих направ­ лений осей ОХ и О'Х', и ее скорость, измеренная в не­ подвижной системе, равна U, а в подвижной — U'.

Это релятивистское правило сложения скоростей перехо­

с + V

с.

, , cV

с1

Следовательно, при добавлении любой скорости (положительной или отрицательной) к скорости света последняя остается неизменной.

Интервал

В основе специальной теории относительности лежит утверждение об инвариантности интервала s, разделяк?-*

10

щего два события. Квадрат интервала будет s2 = l2—Фф, где I — расстояние между точками, в которых произо­ шли эти события; t — промежуток времени, разделяю­ щий эти события. Если стать на точку зрения четырех­ мерного пространства, предложенного Миньковским, то

Х\ = х\ 2/2=*/; х3=z; Xi=ict.

Здесь четвертой координатой является мнимое время, а квадрат интервала представляет аналог элемента дли­ ны в трехмерном пространстве:

Д s2 = А -j- А */а + А г2 — с2 Д Р.

As приобретает смысл четырехмерного расстояния меж­ ду двумя мировыми точками (точками в четырехмерном

•пространстве). Можно математически показать, что ин­ тервал инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, т. е. что

А *2 + Д у* + Аг2 — с2A t = А х ' г + А у ' 2 + А г’2 — с2 A V К

Таким образом, элемент длины в трехмерном про­ странстве оказывается величиной относительной (раз­ личной в разных координатных системах), а аналог эле­ мента длины в трехмерном пространстве (интервал) приобретает инвариантное значение, независимое от выбора системы отсчета.

Физическое пространство, будучи порожденным объектами и их движением, имеет три измерения,'и по­ ложения объектов характеризуются тремя числами. Момент события есть четвертое число. Каждому собы­ тию соответствует четыре определенных числа. Какимлибо четырем числам соответствует определенное собы­ тие. Поэтому мир событий образует четырехмерный континуум.

Преобразования Лоренца рассматривают трансфор­ мационные свойства четырехмерного пространства (вре­ менного континуума) нашего четьтрехмерного мира событий.

Мир событий может быть описан динамически с по­ мощью картины, изменяющейся во времени и набросан­

11

ной на фоне трехмерного пространства. Но он может быть описан и посредством статической картины, набро­

санной на фоне четырехмерного пространства временно­ го континуума.

§ 4. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА

Допплера для волн, распространяющихся в упругой сре­ де с некоторой скоростью, дает следующую связь между частотами наблюдаемой v' и испущенной v:

где V — скорость распространения колебаний в среде, a U\ и U2 — соответственно скорости движения наблю­ дателя и источника. Эта формула показывает, что изме­ нение частоты зависит не только от относительной ско­ рости, но и от самих скоростей Pi и по отношению к среде, в которой распространяются колебания. Для

как движение относительно любой механической среды относительно.

Пока считалось, что свет распространяется в эфире, можно было полагать, что изменение частоты при эф­ фекте Допплера позволит обнаружить движение относи­ тельно эфира, т. е. абсолютное движение. После уста­ новления невозможности обнаружения «абсолютного» движения оказалось необходимым пересмотреть теорию

12

ваний Лоренца. Пусть свет от источника идет вдоль оси ОХ (рис. 2). При этом фаза колебаний в неподвижной

х

системе равна <р = 2 тс v ^ —— J . Преобразуем эту фазу

через координаты и время подвижной системы по фор- ■мулам Лоренца, т. е.

Из требования инвариантности фазы следует:

/V

13

Ё том же приближении классическая формула дает ана­ логичный результат, т. е. в этих приближениях формулы теории относительности и классической теории совпа^- дают. Однако между точной формулой и классической имеется существенная разница. В классическую форму­ лу входят раздельно скорости наблюдателя и источника, а в формулу теории относительности входит лишь отно­ сительная скорость наблюдателя и источника. Поэтому явление Допплера, как и все другие физические явле­ ния, не позволяет обнаружить абсолютное движение какой-либо системы.

Важным следствием теории относительности является так называемое поперечное явление Допплера, т. е. изменение частоты света при наблюдении в направле-

нии, перпендикулярном к скорости V.

Если применить преобразование Лоренца к случаю волны, распространяющейся в произвольном направле­ нии, то будем иметь:

1 — р cos 0

где 0 — угол между направлением наблюдения и на­ правлением скорости, отсчитанной в неподвижной систе­ ме. При наблюдении в направлении, перпендикулярном к скорости (0 =* тс/2), получаем:

Поперечный эффект значительно меньше продольно­ го, так как он зависит лишь от |32.

Явление Допплера имеет большое значение в астро­

номических наблюдениях и для диагностики плазмы. По смещению спектральных линий в спектре небесных тел делают заключение о скорости движения этих тел по отношению к Земле и скорости истечения плазменных по­ токов. По спектральному раздвоению линий обнаружи­ вают двойные звезды. Наблюдение фраунгоферовых линий от различных краев солнечного диска позволяет

14

установить движение поверхности Солнца. По доппле­ ровскому уширению спектральных линий определяют температуру плазмы.

Существенное отличие результатов классической тео­ рии и теории относительности заключается в том, что теория относительности дает поперечный эффект, отсут­ ствующий в классической теории. Вследствие малости

этого эффекта экспериментальное наблюдение его за­ труднено. Однако Айвс и Стилуэлла о 1938 г. обнаружи­ ли поперечный эффект, наблюдая свет, испускаемый каналовыми водородными лучами, имевшими скорость порядка 108 см!с. Этими опытами была подтверждена формула эффекта Допплера, соответствующая теории относительности.

дПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

дит расстояние 10от звезды до Земли за время t, так что

т0 = 2-10-вс. Мюоны рождаются в верхних слоях атмос­ феры и движутся со скоростью V. Во сколько раз путь мюона в атмосфере больше расстояния, пройденного мюоном за время, измеренное по часам, движущимся вместе с ним?

15

3. Скорость источника света относительно наблюда теля равна 0,8 с и образует угол 60° с направлением наблюдения (угол измерен в системе отсчета, связанной с наблюдателем). Определить наблюдаемую частоту, если частота, испускаемая покоящимся источником,' рав­ на 108 Гц.

Решение. По формуле Допплера в теории относи­ тельности находим:

4. В опытах Айвса и Стилуэлла наблюдался попереч ный эффект Допплера. Они исследовали длины волн излучения пучка атомов водорода, двигавшихся со ско­ ростью У ~2*10в лг/с. Наблюдения велись для зеленой

угле между скоростью источника и направлением на­ блюдения, равном тс/2. Какую длину волны они должь были обнаружить в своем эксперименте?

Решение.

16

Вопросы для повторения темы

1.Что изучает специальная теория относительности?

2.Сформулируйте постулаты специальной теории относитель­

ности.

3.Запишите преобразования Лоренца.

4.Как изменяется длина тел в различных системах отсчета?

5.Как изменяется длительность событий в разных системах?

6. Сравните теоремы сложения скоростей в механике Ньютона

ив теории относительности.

7.Что такое интервал в теории относительности? Каковы его свойства?

8.Сравните эффект Допплера в теории относительности и в ме­ ханике Ньютона.

9. В чем отличие специальной теории относительности от общей?

ЗА Д А Ч И

1.Через какое время по своим часам экипаж межпланетного корабля долетит до Сириуса, если ско­ рость движения корабля равна 2,7-1010 см/с, а рас­ стояние от Земли до Сириуса свет проходит за 8,7 года? Сколько времени будет длиться этот полет для земного

наблюдателя?

либо метки. Длина покоящегося стержня равна 1 м.

Ответ.

Idf

3

3. В движущейся со скоростью — с системе отсче­

4

та мезон имеет скорость с/2, направленную вдоль по движению системы отсчета. Определить, какую скорость

ЭКЗ£..Ш

•ХЮТД «1-U."1Г■'

рости. Теория относительности объяснила это явление. Она, исходя из инвариантности уравнений движения относительно преобразования Лоренца, приводит к сле­ дующей зависимости между массой и скоростью:

(релятивистская масса); то — масса этого же тела, находящегося в покое.

Массу можно считать постоянной с точностью до р2. При V с она становится неограниченно большой. Ско­ рость тела различна в различных системах отсчета, по­ этому масса тела оказывается величиной относительной и различна в различных системах отсчета. Инвариант­ ной является только масса покоя то- Разность т—то иногда называют кинетической массой.

Релятивистская динамика исходит из тех же уравне­ ний механики Ньютона, но при этом учитывает зависи­ мость массы от скорости. Так, импульс частицы равен:

Отсюда видно, что импульс частицы растет со скоростью быстрее, чем в классической механике. В частности, при

V - ^ c импульс р -* оо. Это значит, что материальная частица не может двигаться со скоростью света.

Второй закон Ньютона в теории относительности имеет вид:

Он инвариантен по отношению к преобразованиям Ло­ ренца. Релятивистский второй закон вскрывает динами­ ческую причину недостижимости скорости света с. По мере приближения скорости тела к скорости света мас­ са тела неограниченно возрастает, поэтому понадо­ билась бы бесконечно большая сила для его дальней­ шего ускорения.

19