Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ефимов, Н. В. Введение в теорию внешних форм. (Внешние дифференциальные формы в евклидовом пространстве)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

2- отобразится в одну точку.
Вместе с сингулярным кубом			О.	определено для каадой				точки
А Q- 4. линейное	отображение
D a	: Tj_	~Г^	}					(4)

то есть производная от (L		; здесь		%	=	T t	C K * ) - касате-
льяое пространство к 1К		в точке		t	•	т ; =	Ті (е )	-
касатальное пространство к		в точке			JC = с		. Отображе

ние (4) в свою очередь индуцирует известное нам линейное отобра жение

	Л			->	A	V r j .					(5)

Таким	образом,	с каждой		к - формой		со	в области		V C t z		со
поставляется		к. - форма		<3*сО	на стандартном кубе					с
Форма	Я'
	<3 со определена инвариантно в том смысле, что ее опреде
ление	не использует координатных систем в						ér	. Её	координатное
представление в		f f * является одночленным					(см. (I)		в пункте
п° I).
	п° 4. Интегралом		от внешней дифференциальной						к	- формы
СО	по сингулярному		к	- мерному кубу			С	с области		1 2	на

зывается число, которое обозначается и определяется согласно еле- .

дующему равенству

		со	-		С	со.	( 6)
	<3				L
Правая чацуь этого равенства уже определена равенством (2); в
данном, случае	6" = 6 * со , Для сохранения стандарта терминологии
можно считать, что в правой части						(6) буква / и	обозначает сингу
лярный куб 2	•'А	к-	, где		2	тождественное	отображение. Опре
деление интеграла от		со	по	d	как мы видим, инвариантно. В част
ном случае к	- О нульмерным			сингулярным кубом называется отобра-
70

кение в Е стандартного куба нульмерного пространства, состояще го из одной точки

Пусть С / о) _ образ точки				{ о ]		в Е	С с (		&	E j	• Если
нульмерная форма в Е			то	есть функция				со	=	со	,
ji é - £ T	, то по определению
		Гс		=	с о ( e { o ) j .
		J
		с
О	5,	Допустим,	что в пространстве					у— •	введены декартовы
п	5,	Допустим,	что в пространстве						введены декартовы
прямоугольные координаты; будем для точки пространства											и для
ее координат употреблять букву					ОС	: У	=	{***. . .^ Je '’J .
Тогда		отображение	£	получит координатное представление ‘

		J C * =	е к				(?)
					ty		I
			ь*С^...,±у j
Теперь все	сказанное выше мы			сведем в один (простой) рецепт для
вычисления	С	*			по	£	. Для простоты записи
вычисления	С	Со & интеграла от со			по	£	. Для простоты записи
возьмем в		одночленную		к - форму
		Со =	бсСоС,4-. ; * * ) ^				(8)
		Со =	бсСоС,4-. ; * * ) ^			U -. ' l d x К
Согласно § 7 главы П имеем:
■ в *со	=	С б г о с ) С		4Л	... ^		d x *J=
							О )
-		(& о С») С * о ( х 1Л . . .				'1	<?'/* \

e*dx L=(fy e )dL b V ...-+ (bKe*)d£M

(ІО)

Таким

образом, получение

фактически сводится к подстановке

(8)

вместо x ' J1 ,..J y

их выражений из (7). Вместе с тем вза

мен

равенства (9)

можно

написать

Q*cj =

ChCè))JOc

(II)

где

~6 = С £j. ■

• Поскольку

Л С \'£) - (Dtc "JcJt V , .. + {'ll C*)dt*

( 12)

то ясно, что

(9),(10)

дают тот же результат, что и (II),(12).

З а м е ч а н и е

Разница между левыми частями

(10) и

(12)

заключается только в точке зрения на них. В (12) слева написана

линейная форма D e

L(é)

T ( f c k) ■как

производная функции

c 4 t ) (справа-развернутое её координатное

выражение). В

(10)

слева написана та же

самая форма, но как образ формы

d x

при

отображении

из

ТХ (Е) . Tt CSik) .

п° 6.

Из (9)

и (10),

или из (II) и (12)

е*со = (бг Ос)

(13)

У\ d t '

(см. § 14 гл.І в частном случае П - к ; см.также п° II § 7 главы П).

Из (13) получаем для одночленной формы (8)

^ft))de к	]d t * . . J t \
	t',...; t*y

(14)

Формула (14) написана с подвой подробностью и может быть положена в основу фактического вычисления интегралов от внешних форм по сингулярному кубу.

п° 7. Отметим простейший случай.применения формулы (14) для интеграла от линейной формы

М= P d x ]

где Р ~ Р . В данном случае интегрирование

должно вестись по одномерному сингулярному кубу <2L , который

обычно называют	ориентированной дугой
		.У *=		C 1C é ) )
С	•'	X	Z =	С гС-&)^
С	•'
		X	1 =	C JC-ér) .

Если мы для удобства записи положим то формула (14) в этом частном случае дает

Р(-Ь)=Р(сHlPdleh)).

со	j P C V
С.	[0, 1]
п° 8. Формула (14) можно придать более краткую запись. С		этой
	/Л	і
целью обозначим через <2- отображение, которое состоит из 2 .
последующего проектирования образа на координатное к - мерное

подпространство первых по счету осей. Мы		будем рассматривать это
подпространство, отвлекаясь	от остальных	осей. Тогда для отображе
ния £ имеем координатное	представление (см. (7) ):

’S

JC ' = C ' C t ' , . . ; t K) }

Очевидно, что

= é ? / ^	ѵ /
	C .

Z "

Отсюда и из (14)

(15)

■jb> = U a ^ X M & ' ) ;

C -

[ 0,±]*

здесь снова полезно вспомнить п° II § 7 главы П. Равенство (15) и

есть та формула, которую мы имели ввиду написать. В ней, как часто делается, не написан элемент объема*

Замечание.	Бели одночленная			^ - форма имеет вид
CJ	-	й с ( х	X	*■) d x	d *	L*j
то в правой части		(15) в качестве		следует брать		отображение

tK)J

j t ‘« =

. v

З а м е ч а н и е . Интеграл от формы общего вида вычисляет ся согласно (15) почленно ( с учетом предыдущего замечания).

*-п° 9. Для дальнейшего нам нужно вспомнить теорему и формулу

■)

замены переменных в кратном интеграле

Пусть

- некоторая область в

и ^ - sO<)

( Х.6. (А t ^ ) непрерывно-дифференцируемое отображение

(у( — > ң , инъективное, т.е. взаимно-однозначное на образ

s c u )

Г Lj -

S :

Тогда, если аіe d s t x ) ф- о	в области	6 ^ , то для любой интег-
рируемой функции 'ffß) •	s ( U )	» имеет место равен
ство

~ J ~f(sUj)\c(etsfojeljd.. olxh.

s (Ll)	CL
В более короткой записи:
	У ' О І М і ' Ы	I /
	LL	s V u )

Нам. эта формула потребуется в частном случае, когда s C U ) сов-

падает с	Ь{_ • В	этом случае
		l ^ d s ' j = J /	(16)
		l ^ d s ' j = J /
	и	и
*> В овязи	с приводимой здесь формулировкой этой теоремы		см.
М.Спивак	" Математический анализ на многообразиях". Изд.		Мир,
Москва, стр.82-89,		1968.	'


п°	16.	Пусть С	■ S	- два к - мерных сингулярных куба:
	с	■■ L-> f ,s' :L-^e.
Предположим, что существует взаимно-однозначное гладкое ото
бражение	р	стандартного куба			на себя,	которое имеет положи
тельный	определитель ( J e t р ' х ? )				и для которого ' S = в ° .
В таком	случае говорят,		что	С. получен из		с. изменением пара

метризации		. Мы будем говорить также, что				С. эквивалентен
С.		от	С.
	и будем писать: е
	- З а м е ч а н и е .		Так как	S —	С ор	, то образ & С к )
куба	совпадает с его		образом	в.Ск )	. Тем самым переход от

Ск (Z означает только смену прообразов произвольной точки

сСк) =		*с(к)			. Пусть X. = cCé) , £ é L			, ъ. х = £ ( Щ
S £ L	. Если		к	- ( £ \ ... j t;*)		. то чиола		zf^
можно назвать криволинейными координатами точки							X	в координат
ной системе		'<2	к. — > S		(см. п°ІЗ	§ 7 гл.П); если
					-, то числа	^		являются криво
линейными координатами той же точки X						в другой	координатной
системе	S			% Тем самым, дело		заключается в преобразова
нии криволинейных координат по формуле						~ p t S J		. Криволи

нейные координаты чаото называют параметрами. Отсюда - выражение,

которое мы употребим выше: S

получен из

С. изменением парамет

ризации.

п° II.

Легко показать,

что

;

если^

<2 ,

то С <^<2

; 3)

если

S ^ c

, S

S ,

то

С .

п° 12. Б ф е м

говорить,

чті^сингулярный куб

S ' эквивалентен

«штуцерному кубу

С.

после изменения ориентации и писать £ л'-<£ ,

если существует отображение р

, для которого

С - С о р

Jetр ' <

прл сохранении остальных условий.

пІЗ. Имеют место следующие предложения:

I) Если <3 л- <2 , то для любой к - формы Cü

J ш	= J a -
'с	G

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем для простоты в качест ве формы СО одночленную форму (8). Имеем согласно формуле (15)

J СО		=	J Со —	^(Сор)*со —
'С		Сор		X.
=:	/ ( С с		° (<? °р ) )	d e t f C v p ) —
	І
			с ) оjp)	о!есі с d&'éр .
	L
Здеоь учтено, что р				. Теперь, поскольку	£р> /> О
имеем по теореме о замене переменных
j	СО	-	J ( ^ г °	£■) ejP) afeirë ! J ^ i r p /j =

ЪL

= j ( ( р о с ) e)e~të — \ (о*со = ( со .

L	L
	L
2) Если <2	<f , то для любой к - формы со

Со	=	сс .
Д о к а з а т е л ь с т в о		легко усматривается из преды
дущего с учетом условия	оііігр	о
О

п 14. Только что доказанные теоремы выражают особую роль косой симметрии формы для ее интегрирования. Именно косая симмет рия формы вызывает появление определителя в правой части формулы

(15), что вместе с теоремой о замене переменных обеспечивает ин вариантность интеграла относительно изменения параметризации.

	§ 2. Понятиечцепи. Интеграл от формы по цепи
п°	I. В качестве наглядного источника общего понятия цепи
в евклидовом пространстве		можно указать дугу А 0 \^р-н *
составленную из нескольких		ориентированных дуг А0А 1 A t4 z j '' •
.... Д о A	• Каждая ориентированная дуга Ai-,Ас представляет со-
J Г	гн

бой некоторый одномерный сингулярный куб; обозначим его для крат

кости через £fj . Тогда дугу	/Д0 Ару./	можно рассматривать			как
набор одномерных сингулярных	кубов C fj	3	, Ср	. По	неко

торым соображениям, смысл которых выяснится чуть дальше, этот на


бор обозначают в виде суммы вг+		Ч-	... -+■ С р	. Такую
сумму назовем формальной	(поскольку пока это лишь символ, обозна
чающий набор €-1 э . •■; Ср	)• Порядок		записи слагаемых в форма

льной сумме для нас безразличен. Это естественно. В самом деле,

переставляя в записи суммы, например, и мы в действите

льности никаких изменений с этими сингулярными кубами не делаем;


поэтому Cf-(-	/■. .. + Ср	и Сг + <°rt-,. . + Ср		обозначают
одну и ту же дугу АйАру-/		• Формальная сумма		C/-+ez i-...+Cp
представляет	собой пример одномерной		цепи. Общее понятие одномер
ной цепи легко уяснить себе,		хотя бы	в главных чертах, исходя из

этого примера путем некоторых обобщений. Прежде всего, мы допустим

что одномерные сингулярные кубы . . .j Cf> могут быть выбра

ны произвольно (не обязательно в виде ориентированных дуг, кото рые в пространстве последовательно приложены друг к другу).Затем

мы будем брать сингулярные кубы

С.’fj) ..

бр

с произвольными

действительными коэффициентами

А, j . ■■

А р

; эти коэффи

циенты пока будут писаться также формально. Таким образом,

одно

мерной

цепью мы назовем любую формальную сумму А/ <2/-+ ... + Ар Ср

(любую в том смысле, что одномерные

сингулярные кубы

Ср

и действительные числа

А ^}

, А р

могут

быть выбраны

как

угодно). Содержательный смысл этих понятий выяснится путем их

связи с теорией интегрирования.

п° 2. Теперь мы будем рассматривать цепи любой

размерности.

Пусть

Cj э ..ѵ

Ср

- некоторый набор

- мерных сингулярных

кубов в

£ " ,

А/ э

А р

- набор действительных чисел;

при

этом мы считаем, что число

сопоставлено

с кубом

бс'

0 = 4 , 2.J . ■.j !>

. Совокупность

таких двух наборов мы назовем

- мерной цепью в пространстве

. Обозначая цепь буквой

(2* , запишем ее в виде формальной суммы

У/ С( + • ■■•*“

■

Пусть даны две цепи:

6 У

£ = Л , С ( + . . - + Л р

Определим линейные операции следующими равенствами:

C - t

С - А/ а + ,. .-f-Ap Cp

Ц -t,..

(oSAt)

<у г

. .- ■+

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ