книги из ГПНТБ / Ефимов, Н. В. Введение в теорию внешних форм. (Внешние дифференциальные формы в евклидовом пространстве)

/[

C

ü ~

; мы

сохранили для него символ

if*

Далее

мы рассматриваем внешние формы и,

поэтому, вместо <3_

и & пишем

С О

и

6 ^ .

п° 5.

Из

(7)

и (8)

следует также

равенство

s )

-

Л V>

^

( 10)

e.

В самом деле, если

c D

<= А.

С ^ з ) t

S'

é. У \

ft~x)

то

Г * ( « > * г ) - у * ( j j f r

=

—

Г ip*cj <3

у

* W

-

tP * c j

л

' Ф

ktet

Кроме того,

если оС

, то согласно

(4)

f оСооJ

—

ос Lf> *со.

Пуоть в области

С { év!r~задана функция Ц -

, X érl{ t

значения которой суть

а

элементы некоторого евклидова пространства

Z ) .

Иначе

говоря, дано отображение области

евклидо­

ва пространства

в евклидово пространство^"

и

е .

(II)

Размерности

£ Г и

£г

могут быть любыми; мы

обозначим их соот­

ветственно через

К и /?г .

Предположим, что

отображение

дифференцируемо в каждой

точке области ist . Тогда в произвольной точке X

£ Ь (

существует

производная отображения

, которая представляет собой линейное

отображение

Т* в

%

. Напомним,

что

~ГХ

обозначает васа-

тельное пространство к иЬ

в

точке

х

(см.§

I);

через Т~ч ыы

обозначаем

сейчас касательное пространство

к

Г

в точкеf tе^-.

Производную

отображения

в точке

х

будем

обозначать через

D'ß(y)

или через

^ Ѵ х )

. Что

касается определения производной,

точно всюду в п° 2 вместо отображений

Ш.

и Z T

подразумевать соответственно

отображения

ІА — 5*

и

Z

т:

.

я

х пишется в виде

Дифферещиал

отображения

в точке

—

D f r x ) d x

,

С12)

или

f x ) d x .

(13)

В этих равенствах

d x - произвольный вектор из

ъ - 4

(дифференциал отображения) -

его

образ в

ние

самого отображения ^

:

/

=

у м =

(і4)

здесь

--j ft * J - точки из

и St

которые служат координатными представлениями точек X

и

1

Df*?..............(*) d x i-t , . . -& £)м 4 0 е) d x }

dhj ^

(15)

^

=

D f /

fx)clx

і~ .

-h D H

4

Сх) d x

где

D j / (x)

- частная производная функции

=

по

, вычисленная в точке X .

Равенства (15) дают координатное представление производной в

виде функциональной (якобиевой) матрицы

Ц 4 ( х ) - ■ • ■ D n f ( x )

de)

Ь ^ { х )

=

\ Ц 4%) -

-

і)

А

;

Далее символы

D f ( x )

и 4(х)

(или просто ^

) в равной

мере употребляются как для обозначения самих

отображений, так и

Его следовало бы (в ооответотвии с п° 4) обозначать через

.

Однако, в целях упрощенія замой

принято гшоать

X *

.

Подведем итог.

'

п° 8. Итак, данное (вообще говоря нелинейное) дифференцируемое

в области

и

отображение

определяет в каждой точке

в качестве

своей производной

линейное

отображение Dfi(x)

касательного пространства

~ТХ

в

касательное пространство

7

( > =

^

•

а

Это последнее

отображение индуцирует (при любом /

и в

любой

точке X- ) линейное

отображение пространства

У \ ^

В

пространство

л Г т х)

f :

л Ѵ р - ^ и Ѵ ^ ; . '

Таким образом,

с каждой

/і - формой

и > б

Л У

Т )

сопостав-

дяѳтоя форма

/ W

л к(тл).

п° 9. Из пунктов п°І-5 вытекают следующие алгебраические

свойства отображения

n f

V= ц

- t Uj *"

™

Это следует из

определения

<f

о учетом формул (15). Смысл (17)

ма

— d ß L » принадлежащая пространству А C ^ f ^ ) •

переходит в

пространстве

л Н

) в форму, которая написана в

правой чаоти (15). Вмеото

(17)

можно написать также

лоно,

что (17)

и (18) определяются не только отображением

и —

*рОс-)

, но и

выбранными в

h

координатными системами.

С/

Следующие

.

р ^

три свойства отображения

<- записываются в виде

инвариантных соотношений.

2)

^

-f-

= f (°*а )

1-

}

«>!.éл кс\)і

з,

е) =

/

«

И

/ V ;

4)

Запись ä £

A

W

означает,

что

tj

есіть форма нулевой степени,

т.е. функция,

заданная в

области ОС <£

t

(или число в 7^

).

Свойства (2) и

(3) верны,поскольку они не отличаются от соот­

ношений (4) и (10); см.П0 и п° 5. Свойство (4) не отличается от

соотношения (4») в пункте

nö I. В самом деле

значение ^ о

в

точке X

равно

значению ^

в точке

—

-ßpx) •

Из

(3)

и

(4), в частности.имеем

5)

п°

10.

Операция

определена инвариантно. Указанные выше

свойства этой операции позволяют легко получить ее координатное

представление. Пусть дано

координатное представление формы ü)éA

(19)

CJ-

,

1А

...

A

7

d ■

Lj.

f y . .. 4

* / ) /

Ѵ л . . . /l / t y

l*J. (20)

Отсюда и вследствие (17) имеем координатное представление

-j- со .

У к а з а н и е .

Формула (20)

означает, что координатное

представление

получается простой формальной подстановкой.

Именно, нужно в правой части выражения (19) заменить

их выражениями (14) и записать

^ ,., J

***

по формулам

(15).

п°

II.

В частности,

если h\ — Н

и k =

h , то матрица f '

■является квадратной, а форма имеет

одночленный вид

=

у\

h.

( 21)

где ^

J . в этом случае

—

( éj о-fj(dz t-fJdx /\f • . •

( 22)

n° 12. Имеет место важная

т е о р е м а :

d ( X > )

-

d ( ß *co).

(23)

Д о к а з а т е л ь с т в о

сначала проведем для форм

нулевой

степени. Пусть

Ü

- функция,

8адэнная в области

U . c £ F .

Имеем

o'

Отсюда

, „ *

/.if

(24)

Ц ц )

= /

поскольку

1*

D *Р C ^ ) = D Q ° { ) =

= D j е f =2

of /

^ - <9 .

= * 1 { У

а

, О А Ц ^ . . . а Щ

У

Теорема доказана.

п°

12.

Пусть как и раньше

/ :

U . £ j U

С £ Г J,

пусть (А. обозначает образ

области Ы

в щАстранстве

£ F . Пред­

положим,

что f » = h и что в

J P и

£

введены декартовы прямоуголь­

ные координаты. Тогда

^

подучает координатное представление:

*

**

I

I

lj.°—

У у

•

TsM самым набор чисел

(х*, ,,} X

hJ ~ X é -

U

определяет т о ч к у ^ = ^ . ^ 4

Числа (

У

^/называют криволинейннш координаташ точки

Пусть в области

ОС С £г задана форма С О и дано

ее коорди­

натное представление в координатах

Тогда

координатное представление формы ^ оО

в пространстве

EF в

координатах С**? ■•■;■**) называется записью формы с О

в криво­

линейных координатах

JCh)

в пространстве

*Er .

З а м е ч а н и е

. Разумеется^ заранее данные в

декарто­

^

f

Ѳ ;

&

( f ■$=-O j )

Тогда

f

& )

- криволинейные

(полярные) координаты в плоскости

Е ~

. Рассмотрим форму

с о =

'^

а/у *. Её

запись в криволи-

нейных (полярных) координатах будет

— (.С44 &

— f

+f Ca6éPo/dJ-

-=

У df У\ d&J ■

п°

15.

Пусть в декартовых

координатах даны форма С О и ее

внешний дифференциал

ß/co

. Их

записи в криволинейных координа­

тах будут,

соответственно,

-ß-^co и -f*e/co .Но •f d a ) - d ß

Обозначим через

так называемый

стандартный куб в

, то

есть единичный координатный куб

[ 0, -ij

По определению

L ° , l ] k < s = >

Рассмотрим произвольную область

0 (

t

, содер­

жащую куб

. и допустим, что

в области

и . задана внешняя диф­

ференциальная форма

S' степени

Â

. Координатная запись ^ -

формы в,

к. — мерном пространстве имеет одночленный вид

Предположим,

что

6 “

непрерывна в

С С » это равносильно предполо­

жению непрерывности функции

t- j .

. При

этом усло­

вии функция

заведомо интегрируема в

.

п° 2.

Интеграл по кубу

'і =

[О, ij < от формы 6 “

заданной

в пространстве

определяется равенством

б"

=

У

c t t ‘

( 2)

А-

ton*

где-справа написан обычный

/4 -

кратный интеграл по l = [ o , i J K.

п° 3. Пусть теперь

- внешняя дифференциальная

А -

форма, заданная и непрерывная в некоторой области

простран­

ства

ЕГ . Обозначим размерность

ЕГ через h. , считая

И ^ А .

Рассмотрим непрерывно-дифференцируемое отображение

в

:

U

V

c

F .

Вмеоте с ним определено его

сужение на

к_

, которое мы

обозначим

той же буквой

С

С

: А

—

*

Ѵ~.

(3)

Отображение

(3) называется

А, - мерным сингулярным кубом в

пространстве

Г

, или в

области

T/~d Е Г , Подчеркнем,

что син­

гулярный куб

Ч

представляет

собой не

образ куба

А, в прост­

ранстве

а само отображение (3). Можно

сказать,

что сингуляр­

ный куб <2

представляет собой множество пар вида

E J , где

Е б

к ,

F

г w e

пары ^

^

и

(Г2А >

считаются различными,

если различны хотя бы только

2^

и

.