книги из ГПНТБ / Ефимов, Н. В. Введение в теорию внешних форм. (Внешние дифференциальные формы в евклидовом пространстве)

А

- °<х*/ J .■ ■ ; ß-e -

Вследствие

С * ) соответствующие члены будут равны. Тем

самым

лемма доказана.

§ 6. Второй вид альтернации

п° I.

Пусть имеются линейные формы

^

/х) .

Возьмем их в произвольном порядке

С*і )

Щ )

считая,

множим. Мы получим" полилинейную форму U s (X,) .,. U-s

) .

Положим

V '* /=

t

и - ( ч ) . т

/г

водится не по номерам аргументов

3 ..■}

(как при альтер­

нации) , а по нормам

самих форм Щ

,,

И+. . В каждом слагае­

мом правой частей равенства (I) сомножители

записаны в натуральном

порядке аргументов ^

_>,. v -fc* .

Несмотря на это различие имеет место следующая лемма

Л е м'м а :

. . U ^ J S K ) ] * =

= [ * , & < )

\ & * > ] ■

Здесь для простоты записи мы взяли

^

•

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем:

Сравним (2) и

(I), считая <f,= 1 } ...^ 4t - ^ . В суммах

(I) к

(2)

достаточно учитывать лишь те слагаемые, в которых набор

■■ск

,

соответственно

* является перестановкой набора

. . . А .

различным

расположениям индексов

^

■ ск

(не обращая внимания

на чиоленные аначения слагаемых).

Аналогично

определим различные

слагаемые

суммы (2). Рассматриваемые

с такой

точки зрения, все

ВозЬмем в

сумме (2) слагаемое, отвечающее некоторой переста­

н о в к е

» и рассмотрим произведение

(*і) •••

■

Очевидно

u * (xjK ) =

- U c / X J -

(3)

^

- 'vc

. Установленное соответствие между слагаемыми сумм

(I) и

(2)

будет взаимно-однозначным, поскольку двум разным пере-

зтановкам

сопоставляются также разные перестановки

•

'

t

Легко убедиться, что перестановки

и C^ ... С^ имеют

J 4 Ji ' " ( M

^ f

/ • . . А

~

(4)

/ • . . к

[ а

*

= Z a^

„

...

е * С ы ] *

(6)

Эту операцию мы также

будем называть

альтернацией формы Л

у

поскольку имеет место следующая теорема.

Т е о р е м а .

Для любой формы

А

У * )

[

а

.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Теорема следует из предыдущей

леммы с учетом равенств (5) и (6).

§ 7. Альтернация тензоров

п° I. Пусть тензор

6L есть полилинейная форма

Тогда альтернацией [ & }

тензора

â~ мы назовем альтернацию

формы

..J -ffк )

. Заметим, что при

этом мы не можем рассматривать

тензор <%_ формально, т.е. просто.

как элемент пространства

с у м

, поскольку альтернация определена

«/

путем перестановок аргументов

; таким образом мы

ны базисные формы

-€■ (

ѵ

-€ ^(х)

, то альтернацию тензора

а £ 7 ~ А можно выразить с помощью только

тех операций,

которые

введены в

ст-н

. Для этого следует исходить из второго вида альтер­

*

нации формы (см. § 6). В

самом деле, обозначим формы

-еЧ*.);». ■ -J - е % г )

как элементы пространства

7 " =

I

через -У

&

.

Соответственно тензор

может быть записан в виде

® . . .

&

CI)

Далее,

формула

(I) § 6 для пространства

приобретает вид

У

Г\ 6 ..-(-и

С2)

Г X,

®

®

%

1—

7~/ У

è

S/’-ь.

К / ®

•@

и.

L s'*

к:

*

[ л ] = Л а -

• / у * ®

• ■ ■

,

13)

•■ cfК

где правая часть определена согласно (2),

З а м е ч а н и е .

В дальнейшем в записи произведения

тензоров мы позволим себе часто опускать

зная <S>

. В таком случае

j

f l .

Эту запись не обязательно связывать с пространством ^

; соот­

образом,

еогіи дана внешняя форма Со

-

coC<Xf3

У к) , то её

степень

= к . Внешнюю форму степени

к

часто называют к -

формой.

й . ' /

=

0 7

Х

J

/

-------у

V *

=

o f

где

I

. - степени данных форм. .

к ,

А

О п р е д е л е н и е . Внешним произведением формы

на форму

называется внешняя форма, которая обозначается и

выражается согласно равенству

А

.с

/

CJi

f c f f f a f o f j ,

(I)

/1

'"г

=

и

к ' е '

где

справа написана альтернация тензорного произведения форм

Â

е.

у.е* альтернация

полилинейной формы

к

к/

сУ/ (Уіз ■•V У м ) ^

■-jjfe)

от аргументов

^

•

З а м е ч а н и е .

Можно

положить '£ =

У/с+/ j

• < ■ »

= У/с+^

• Тогда внешнее произведение

COf */\ ^ ^ ѳ с т ь

внешняя форма от аргументов У і л ..

У # ,

y<+/j -•-> У/с+-£

То, что эта форма

именно внешняя (хосая форма) ясно, поскольку в

L

£

правой части

(I)

произведение

COf

сОг

проальтернировано.

п° 3. Для альтернации имеет место

соотношения:

=

] ,

[ ° C C ö ] =

f a ] •

а)

( й*

У

~

С о / л ( ° < сО^ ) ~

А

J J

в)

C ^ i

^

У ^ 2- ^ ^

’

о)

А

é

s

\ к С

J> А

. к

с о / Л с о / - ( - * )

С О * Л

сО.'

Докажем это овойство. Пусть

cOf

со/

^

і 3...j

У*) j cJ,г.

-

C^/c+ij -• 'j

)

Очевидно,

что

,

*

COf

fc y э..•, У м ) ^Z.

C^K-ft 3 ‘ --J У # * * / ~

~ c o / f y ^ , c o / r y f„

0

6 § 5

Отсюда и вследствие леммы пункта п

COf

У * * -с ) ~

“ ‘Ч ь

з -■V

У м ) -

h

'?

(V 9 ...

/>

£

“ т

/ ^ К - * е

V

J 1]

=

[ е * ' "

-1

&

Т ~ ~ &.../!<.

j L

<

//

* 1

Ut!

/Э/..

e e'

При перестановке в правой части*предыдущего равенства двух

индексов среди ^j.., °|*

или

j $fJ,

. будет меняться знак

альтернации. Но при этом будет

одновременно меняться знак соответ­

ствующего альтернатора. Поэтому в каждом члене индексы

j ..

можно привести к стандартному располо­

жению Cf... ^

Jj ,,,

'

; тогда все члены справа окажутся оди­

наковыми и число их. будет

b f f / . Таким

образом правая часть при­

мет вид [ ё

^ , . if

é ’1^,

, . £

• Тождество (2)

доказано.

п° I. Имеем

,

.

. .7

£

СЛ

J > J =

£ / [ £ c- eJj •

Отсюда

.

- Д / [ С г

— J /

(е гл * * ) л е к‘ - -& L/i

к) .

-6? С' л

... //-£ С*

=

/ с / [- е

ІК] .

(3)

Используя формулы (2) и

(3)

найдем

(-е 1,У і ... / і г ‘к) а

~

Je .

(4)

и . . .

Л . . . Л ё

Отсюда

,

( С ^ ' и . . . а г * * ) *

( е 4*л

J e

т) =

(5)

— ( е 1' л...Ае*к) л ( С € ^ . . . л £ 4*)л

( ë y U

а г

*).

*"n° 3. Из

последнего равенства ассоциативное

свойство ( Д

)

§ 8 вытекает непосредственно. Достаточно каждую форму

^ я ? 1*

разложить do надлежащему базису и выполнить внешние произведения

/ " к

?\

***

Q

к

/■ . £

)

(&J,

Л iü)x Л ь>3 J.

вон в

•/

. В самом деле,

если

cJ.

ссЛ

€=

и

/ J

2

J — COj j

r^2.J—

j

то

/ Ц Ч * «X < J =

/ 4 7 +

^ ^

Линейное пространство

^ - форм обозначим через

; имеем

/ \ ^

d

Элементы

/ \ *" называются также косыми тензорами,

Отметим, что

/\

1 =.

=■ /j .

П

Пусть

-

/

И

Г

- базис в

/

. Тогда,, как

п° 2.

& j t ,tJ С

Z.

мы

знаем,

всевозможные произведения

-£ ^

...

составляют базис в

У

*

. Соответственно,

Для произвольного ^ -

тензора, т.е. для произвольной формы

С*.J

-

é і/

записи-знак (g> . Числа &>.'

/

суть коэффициенты разложения

7' *• к

( D f

иди

координаты тензора

и>

. Если

тензор t O - косой и

/с^

Z. г

*о его координаты

О).

•

обладают косой симметрией

ск

f .