книги из ГПНТБ / Ефимов, Н. В. Введение в теорию внешних форм. (Внешние дифференциальные формы в евклидовом пространстве)

МоскоЬс кий государственный университет

им. М .В. Ломоносова, 1973

. 4 '/

Гос. публичная

научно-тѳхнич»с»ая

библиотека с ССР

ЭКЗЕМПЛЯР

ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА,

Подписано

к печати 2.1.1974 г.

Л-50004

Формат 60

X 90 І Д 6

Объем 7,25 п., .

Тираж 500 экз.

Заказ 1009

Цена 40 коп.

*

. § I. Условия по поводу обозначений

Альтернатор

п° I.

Б дальнейшем нам часто придется записывать суммы про­

извольного числа слагаемых. Поясним обозначения , которыми мы

будем пользоваться для краткости таких записей.

Если все слагаемые

занумерованы по порядку ;

^

j .. .

. . .,

, то любое из них мы будем писать в виде

(читает­

ся Ü.

с нижним индексом) г, ). Сумма всех слагаемых в этом слу­

чае будет

обозначаться

; таким образом:

с подиндексом. Например,

с/ сх ••• сь

^

••V СК ~ ^ ^>" чV

есть краткое обозначение некоторой системы величин в числе

to.‘

Пусть

другая аналогичная система величин,

t/ljt. (7к

Тогда.например,

а

* * "

«*■-£>

а

н . . .

f

ч- а

l*/>

+

-ѣ

(<СЛ'

и и ... n.

~f~

ß.

h н ... ГЬ

означает

сумму всевозможных произведений

oj-,Ll:"LK на 4 , £ , •■/к

членах соотношений,

включающих суммы, например,

Z

а . < = У 4 - * .

ш

Здесь свободный индекс и

слева и справа обозначен одной и той же

буквой

С-

. Соотношение

(I)

означает наличие нескольких равен­

ств, общее число которых

іъ

. Они получаются последовательно

при d

=

z

, Л-

•

п°

5.

В некоторых случаях мы будем писать суммы, совсем

не употребляя индексов. Например,

А -

... + А /...

буквой

А .

пи 6. Мы сразу же проиллюстрируем все сказанное на примере

сумм,

в которых участвует

так называемый

альтернатор.

,

Альтернатор

обозначается символом

р- е, с, ...

£

' ,

,

где

принимают

значений У,

и определяется следующими условиями:

0- 4

•

■4

—

X

j

о

■

±

если

/

/

с.

/ / Л - " / *

с,

‘ 1 ’ «

есть некоторая перестановка значений индек­

сов

, считая, что все эти значения различны; при

этом берется

-ft! , если указанная перестановка четная, и - і. -

еолй нечетная. Во всех

остальных случаях

оО*" ■ 7

. —

@

(т.е. если

среди

значений

...

-

J/Jx

С, ^

Ск

или среди значений

Ji Jz

• J k

'

есть одинаковые» а также

если среди значений

4 4 ' "

4

есть такие каких нет среди

и наоборот).

Пример. Пусть А

-

квадратная/7 x ft - матрица.

При к -

ft= Z

рассмотрим сумму

C,L

^ И

Г\'*

ѣ

=

X .

г ;

4?

'

Я.

= у1.1

&

/3. // XX

1 X

4 с

V

3/

+

Kz */*.

*

J-/Z Q/3 Ъ я

Имеем

Ъ

^

4

„

а

„ - *

п

. « л , =

М

А .

Вообще при

k

- f t

имеем

у

LK

а .- - Р*

44 .

/

а • • • И-

4С.

Л С л

ft С.

Точно

также ■ /

1

1

... м.

a cff

"

п° 7.

В частности, при

к ~/

и при любом

/г.- альтернатор

представляет собой

символ Кронекера

сГ- =

/

, если

.

.

а (

P если

■

• 6 суммах этот символ действует

C ~ j

* Ö ■ - О

c j=-i

как тождественный

оператор,

например,

j

L

•

•

§ 2.

Сопряженные линейные пространства

п° I.

Пусть

L,

и

L

ж

- два действительных линейных про­

странства.

Пусть с каждой парой элементов

Ü. £

I

. ж

t= L,

сопо­

ставлено действительное

число;

обозначим

его через

{ <г?, х ) .

Определенную тем самым на L

х

Z

функцию (&,х) мы назовем сверт­

кой, если

соблюдены следующие условия.

1. Линейность по первому

аргументу

(*■6, + / 5 а г ,х )

-

(я,, * ) + / 3

х )

для любых

6

у

Я, ,

€r L

* X

€-

£

( $ .

как

обычно,

обозначает множество действительных чисел).

2. Линейность по второму аргументу

для любых

ot'fi

/ R

J

С

/L ^

X , , X Z

<£ Z .

3. Невырожденность по первому аргументу:

если

С (Z,x) = О

при данном

6L и при любом

X

& Z

, то

^

@

*

Сгде

$

*

нулевой

элемент в

).

если

(<Я, X ) =

О при любом

^

£

Z

и при данном

X

, то

,Х-

Ѳ (где

&- нулевой элемент в

Z ).

L

Если на

L

* L свертка задана,

то линейные пространства

и

L

мы будем называть

сопряженными друг другу;

легко

видеть, что отношение сопряженности двух линейных пространств

является взаимным.

п° 2.

Предположим теперь,

что

/

и

/,

- конечномер­

ное пространства одной и той же размерности

=

/L

.Выберем в

/

и

/ *

какие-нибудь базисы;

обозначим их

соответственно

L,

/,

через

-£/} ■ ■■;

а также

\..v

^ Z , £ ^ é

Z ).

*7

Для произвольных

элементов

А €

/ *

X

6- L

напишем разложе­

ния:

f

*L

/.■

А . -

а , е

-&

+■-■■ +'*'

^ 0

(Х)

і - ,..

^

^

здесь

А і } ...,

-

координаты

элемента

#

^

,<

, X ^

.j

.

£

2L

- координаты

элемента

X £r L . Ьслёдствие

(I)

имеем следующее

общее выражение

свертки

с » . * )

=

х

. с г

: '

*

) ъ

*

<

/

•*

1

121

Из (2)

видно,

что свертка будет

определена на

, если

L

*

*-/

Dei (е 1£.)ф-0. .

CJ)

п° 3. В некоторых специальных базисах

£

.—s

■& J

* матрицу

j £ -) можно сделать единичной. Вместе

с тем упростится выоа-

Т е о р е м а .

Пусть

на

Z

■* /

как угодно

задана

свертка ( А ух )

и в /

как угодно задан базис

& н \

тогда в Z найдется единственный базис

^ ^ ,.ѵ ^

такой, что

ft'

d

'

(J ^

(4)

где

o ' - сивмол Кронекера

. Роли

/

и

^

можно

обменять.

<7

теоремы вытекает из следую­

Д о к а з а т е л ь с т в о

щего очевидного утверждения:

для любого набора чисел <Х^. ,v X

найдется единственный вектор

U.

и

такой,

что

( ß * а

) = tX *'}

. . . ,

~

od*'

. Чтобы убедиться

в этом разложим искомый вектор

А.

по данному базису

Я /f

+

"I Jj

. Мы подучим для

А.

X ,

---- А

систему уравнений первой степени с главной

матрицей

/ •'V'^' /'Ъ''

Л

; полученная система однозначно разрешима

С -в , -£■ )

вследствие

о

>

(3).

■f

2

Л

‘ Беря теперь в качестве

у

j ..y °i

набор чисел Z Q .•y 'O

найдем по предыдущему вектор

Сс . Положим

= и.

. Аналогично

по набору

О, ■/, О-, , .

О

найдем

и т.д. Полученные

векто­

ры

удовлетворяют равенствам (4). Из этих

же равенств следует, что векторы

€Z}, , ^линейно

независимы.

Теорема доказана.

О п р е д е л е н и е

.

Два базиса,

из которых

один принад­

лежит пространству Z , другой - пространству Z

, называют­

ся взаимными или дуальными,

если они удовлетворяют равенствам (4).

Б дальнейшем мы будем взамные базисы обозначать более простым

образом

без пометки тильдой. Соответственно имеем

,

-

(<

1 /

(5)

где

é Z

п°

4.

Если разложения

(I) даны по взаимным базисам, то

( а , х ) = .

-h

(6)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Выражение

(6)

следует из (2)

и С5).

п°, 5.

Будем исходить

теперь из данного линейного простран­

ства L

, предполагая его, как и раньше действительным и

/г. -

мерным. Обозначим через

произвольную линейную форму в про­

странстве

Z , т.е. действительную функцию точки

ЛГ é Z

, удов­

летворяющую условию линейности

О. ( о / х Z- / З х

") -

X

а ( х ' } + / в а

С х "),

(7)

для любых

с^уб érR. ,

x', X ' ' Z

формы Х<Х+^и-&

берется функция, значение которой на произволь­

ном векторе X é

Z определяется равенством

( Л а 7‘-/L4-é) ( х ) = Xci{x)-f-/st-é(x) .

(8)

(8)»

. je

На этот раз обозначим через Z

линейное пространство, эле­

нулевым

элементом в

L

служит форма

&

', которая равна нулю

на любом

X

é Z

•

Легко показать,

что

/

*

имеет размерность

п. , равную раз­

^

мерности

іі

. В этой целью достаточно

сделать координатное пред­

ставление линейных форм в каком-нибудь базисе

>-V

:

А С * ) = А

-t . . . -h

=

-

..

+

(9)

где

• Равенство (9) устанавливает линейный

изоморфизм между

Z,

и

Ң -

мерным координатным пространством

/К_

(при котором форме

& & L

соответствует набор чисел

С

у . .

0 И )

&

)

- Отсюда следует, что

Z *

само

К .

-

мерно.

Вследствие

доказанного имеем предложение:

любая

система линейно независимых форм

Z

.,

X. é- L

. взятых в

числе

/і

, составляет базис в

Z

;

такам образом, всякая форма

é- L

имеет единственное раз­

ложение

а . ( х . ) =

... -+

( Ю )

п°

6.

Назначим свертку двух произвольных

элементов

a

& L

и Xé-l.

, полагая

(<яу х )

= а ( х ) ,

di)

т.е. в

качестве

х )

мы берем сейчас число,

равное значению