книги из ГПНТБ / Трудности перевода с французского языка (на материале математической лексики)

ratrices ont une enveloppe. Prenons maintenant d’une manière générale une droite mobile dont les coefficients dépendent d’un paramètre arbitraire a

195.Cette loi de variation du plan tangent est due à Chasles.

196.En Analyse, on peut de même considérer la variable complexe z = x + yi, où x et y désignent deux variables indé­

pendantes, au sens ordinaire du mot, et introduire des fonctions ■de cette variable. Cela revient à introduire simultanément deux catégories de fonctions de x et de y.

197. Soient deux axes rectangulaires Ox et Oy. Considérons le point M qui a pour coordonnées a et b relativement à ces axes. Ce point est dit le point représentatif du nombre complexe c, lequel est appelé l’affixe de AL La logueur OM est évidemment égale au module p de c. L’angle со de Ox avec OM est appelé l’argument de c. 11 est défini à 2кл près, k désignant un nombre entier positif, négatif ou nul; de sorte que, pour que deux nomb­ res complexes soient égaux, il faut et il suffit qu’ils aient même

198. Le module d’une somme est moins ou égal à la somme des modules de ses termes. Cela revient, en effet, à dire que le segment de droite OM est au plus égal à la longueur du contour

OMu P2, Pn.

199.D’après ce qui précède, on a le théorème suivant.

200.Comme e peut être diminué à volonté, il en est de même

de 2e et le théorème est démontré. On l’étendra, soit directe­ ment, soit par récurrence, à une somme comprenant un nombre

réelle, si E est un ensemble linéaire.

202. De même que pour les suites, on démontre le théorème

206. Il y a en effet deux tangentes en ce point; donc le rap-

ДV

port -ду n’a pas la même limite suivant que Ax tend vers zéro-

par valeurs positives ou par valeurs négatives. Ceci nous montre la nécessité d’une démonstration analytique rigoureuse, laquelle est d’ailleurs très simple. Si la fonction ne garde pas la même valeur dans tout l’intervalle (a, b), auquel cas la dérivée est évidemment constamment nulle, elle doit prendre soit des valeurs, plus grandes, soit des valeurs plus petites que f(a)=f(b).

207.On a f(a + h) =f(a) +hf(a + Qh), 0 désignant un certain nombre compris entre 0 et 1. Telle est la formule des accroisse' ments finis.

208.Si on prend и égal au plus petit des deux nombres posi­ tifs ui et y2, on est assuré que tant que y restera compris entre

y0—h et yo+ h, x sera intérieur à l’intervalle (х0—e, x 0+ e ).

209.D’autre part, si k tend vers zéro, il en est de même de h„ d’après (3) et (4).

210.Tout ce que nous venons de dire peut se répéter, avec des modifications évidentes, en partant d’une fonction f(x); au con­

mum, on voit que tant que y reste compris entre b et b', il lui correspond une valeur déterminée pour x, comprise entre a et a'.

211. On appelle infiniment petit une valeur variable qui tend vers zéro. Cette quantité variable peut être considérée comme une variable indépendante et dans ce cas, on entend simplement par

212.Ce qu’il faut entendre par là a été expliqué d’une ma­ nière précise à propos de la continuité des fonctions.

213.De même, y = x est, pour x infiniment petit positif,

d’un ordre infinitésimal infiniment petit, en ce sens que, si petit

x— 0.

214.Au lieu de prendre comme variable de comparaison un infiniment petit, on peut aussi prendre un infiniment grand.

217. Nous sommes maintenant ramenés à une question d’ordre purement analytique: trouver la limite dé la somme 5 définie par la formule (1) lorsque n augmente indéfiniment, de manière que

chaque intervalle partiel Xi+\—х,- tende vers zéro. Nous admet­ trons cette démonstration, bien qu’on puisse présenter cet inter­ valle d’une façon assez élémentaire, mais un peu longue. La li­ mite en question se présente par le symbole conventionnel

b

J f(x)dx et se nomme intégrale définie.

O

218. La notion d’intégrale définie s’introduit directement dans

ne peut être superposée à la grandeur de même nature prise pour unité.

219. Une fois qu’on est en possession de l’élément linéaire, on fait choix d’une variable indépendante t dont la variation entre deux limites a et p donne naissance à l’arc AB. On fait ce choix de façon que l’élément linéaire se présente sous la forme la plus simple.

220. Soit d’abord à évaluer l’aire A comprise à l’intérieur d’une courbe plane fermée quelconque.

221. Supposons que M dépende d’un paramètre t, celui-ci va­ riant de t0 à t\ lorsque M décrit l’arc MQM\.

222.On est encore conduit à une intégrale définie dont l’élé­ ment d’aire est engendré par la corde MM'.

223.Soit à calculer le volume V intérieur à la surface. Nous pouvons, au second ordre près, remplacer le volume de la petite tranche dV par le volume d’un cylindre de base A.

224.Une ligne est dite homogène si deux arcs de même lon­ gueur ont la même masse, quels que soient ces arcs

225.La masse totale cherchée est la limite de la somme de

Le calcul de.m est donc ramené à une quadrature quand on sait évaluer la masse dm de chaque bande. Occupons-nous alors de cette dernière. Comme le choix des lignes и est arbitraire, il faut

trouver une famille de formes Qa telles que leurs différences a

d’ordre p portant sur une «fonction lagrangienne» dépendant des éléments de contact d’ordre quelconque k.

230.Ce résultat établi, il suffit donc de'construire une section globale de e, ce qui est possible.

231.La vérification des conditions I, II, III, est à peu près

immédiate, compte tenu des valeurs de h définies en (a) au début du paragraphe.

232.Il est manifeste que, quand la série |C0150 + |C ||S |+ |C 2|...

converge, notre raisonnement devient exact, l’addition terme à terme étant permise.

233.Aussi nous semble-t-il difficile d’introduire la considé­ ration de telles fonctions et, en général, de toutes les classes de

fonctions dont l’ensemble a une puissance supérieure à celle du

d’éléments. Tel est le cas des fonctions continues et aussi des

235.Considérons en effet tout autre droite que celle qui vient d’être déterminée.

236.Enfin on montre que toute structure variationnelle libre

quelle que soit sa dimension p engendre un invariant intégral qui généralise l’invariant «relatif» de Poincaré-Cartan. Moyennant une condition supplémentaire de normalité, cet invariant intégral caractérise même les extrémales. Il en résulte une nouvelle appli­ cation de la notion de relèvement libre d’une structure variation­ nelle B, à savoir associer des invariants intégraux à cette struc­

de classe locale, lorsque l’ensemble F est muni d’une structure algébrique. Celle-ci est caractérisée par les lois de composition interne et par les lois de composition externe entre certains do­ maines d’opérateurs Qi et F, ces lois n’étant d’ailleurs pas néces­ sairement partout définies.

240. L’étude des systèmes globaux sur une variété V est ren­ due possible par la théorie des faisceaux qui rend automatique le passage du local au global et inversement.

241. La plupart des systèmes considérés dans la suite sont globaux, aussi écrirons-nous souvent «système» au lieu de «systè­ me global».

242.Nous conservons les notations du numéro précédent et nous introduisons en outre les suivantes.

243.Soient en outre E et F deux diagrammes spectraux mon­

complexe, variant d’un jour à l’autre. Bien que cet événement ne soit pas arbitraire, il n’est pas non plus suffisamment régulié pour qu’on puisse'le prévoir exactement le jour d’avant, tout en l’étant assez pour qu’il soit prévu entre certaines limites de variabilité.

247.Les expériences où le temps joue un rôle essentiel s’ap­ pellent, en général, des processus. Il s’agit, bien entendu, de pro­ cessus aléatoires, dont la variété est aussi grande que celle des phénomènes de la nature.

248.Les suites aléatoires les plus simples sont les suites de Bernoulli correspondant aux épreuves répétées indépendantes relativement à un événement dont la probabilité reste constante. L’étude de ces suites est d’ailleurs étroitement liée au développe­ ment historique de la théorie des probabilités, ainsi qu’à ses fon­ dements.

249.Nous donnons le nom de suite bernoullienne typique à

250. Ainsi que nous l’avons déjà montré, parler de la conver­ gence des éléments de NBab ou bien parler de la convergence en probabilité des éléments de Bai, sont deux modes d’exprimer le même concept. Nous préférons ici la forme la plus intuitive qui est celle des espaces de suites NBab-

251. Ce théorème, dont l’énoncé est dû à V. J. Glivenko, nous montre qu’une suite U de réalisations d’une variable aléatoire fournit toutes les informations statistiques que représente sa fonction de répartition, donc en particulier, toutes les valeurs moyennes.

252.Par contre, il y a lieu de se demander si l’existence d’une telle limite n’est pas une des restrictions que nous devons cher­ cher à introduire, d’après ce que nous avons dit aux deux numé­ ros précédents.

253.Sous cette forme le théorème paraît évident; mais il importe de remarquer que s’il n’avait pas été préalablement dé­ montré, il n’eût pas été légitime d’introduire ce langage.

254. La théorie des opérations à effectuer sur de tels nombres a été présentée dans les numéros 9 et 27.

255. On ne peut pas diviser les deux membres d’une congruen­ ce par un même nombre. D’abord cette opération n’a de sens que

si les deux membres sont divisibles par le diviseur en question.

256.Ces phénomènes sont supposés connus du lecteur; aussi nous bornerons-nous à en rappeler les aspects essentiels (en insi­ stant avant toute chose sur les points de contradiction avec la Théorie Classique).

257.Lors de sa publicité, l’hypothèse de Planck parut inac­ ceptable, la quasiunanimité des physiciens se refusant à y voir

autre chose qu’un artifice mathématique heureux.

258. C’est précisément pour obtenir un ensemble muni d’une loi interne où tout élément a un symétrique qu’on construit les entiers négatifs.

259.Nous terminerons ce paragraphe en disant quelques mots d’un cas particulier, très important d’ailleurs, de façon à per­ mettre au lecteur, au moins dans ce cas, de se représenter l’en­ semble des résultats acquis d’une façon moins abstraite.

260.Commençons par la loi de conservation qui découle de

l’uniformité du temps. Du fait de cette uniformité, la fonction de

unités de même ordre se correspondent. On retranche successive­ ment, en commençant par la droite, chaque chiffre du plus petit nombre du chiffre placé immédiatement au-dessus de lui. Si une telle soustraction est impossible, on augmente le chiffre du plus grand nombre de 10 unités de son ordre. On effectue la sous­ traction et, pour compenser l’augmentation précédente, on aug­ mente d’une unité le chiffre suivant du petit nombre.

263.Pour éviter toute obscurité, nous supposerons que le contour C peut se décomposer en un nombre limité de segments sur chacun desquels la variation de x et de y ne change pas de sens quand on parcourt le contour.

264.Quelque petit que soit e, on peut supposer, dans cette

265. Cette démonstration s’étend facilement au cas où f(x,y) possède un nombre limité de points de discontinuité d’ordon­ née p. En effet, admettons, pour fixer les idées, qu’il n’y en ait qu’un seul et que son abscisse a soit intermédiaire entre a et A.

266. En effet, d’après le théorème 1, l’intégrale (1) demeure fonction continue de y, sauf pour les valeurs exceptionnelles qui

268.D’après le raisonnement fait plus haut à propos de la corde MM' ds est aussi la partie principale de la corde M'm.

269.Cette dernière formule peut s’obtenir directement de la manière suivante.

270.Dès lors, pour représenter une intégrale double dans un

de trois variables x, y, z. On est ainsi conduit à la notion des intégrales triples. Nous nous contenterons d’énoncer les résultats suivants, les démonstrations se faisant comme pour les intégrales doubles.

275.Pour fixer les idées, admettons que l’intégrale de surface de la formule (10) s’étende au côté supérieur de 5 qui est une portion de surface limitée par une ligne.

276.Nous commencerons par exposer un théorème qui est souvent utile dans les recherches relatives aux intégrales doubles.

277.Soit f(x) une fonction bornée et intégrable au sens élé­

278.Supposons maintenant, pour fixer les idées, que f(x) ne soit infinie que quand x tend vers b.

279.Ceci posé, nous pouvons admettre dans la démonstration que b soit la seule valeur singulière.

280.Les intégrales généralisées élémentaires sont donc celles de fonctions ne présentant que des points de discontinuité isolés.

281.Supposons qu’on sache seulement qu’une des deux inté­

à a sont des fonctions continues de t et de a dans le rectangle du plan ta compris entre les valeurs 0 et 1.

283. 11 n’y a qu’à reproduire la démonstration du théorème de M. Darboux, en substituant une subdivision quelconque à celle en éléments rectangulaires.

284.Si l’on envisageait des ensembles à trois ou à un plus grand nombre de dimensions, il faudrait, dans ce qui précède, remplacer les carrés par des cubes et ainsi de suite.

285.Néanmoins, les recherches de Stieltjes sont fort impor­ tantes, au point de vue des idées que l’on peut chercher à se

former sur les séries divergentes en général; mais il y aurait lieu de ne pas se contenter de la généralisation que nous venons d’en donner et de chercher à les étendre dans d’autres directions. Pour y arriver, la méthode la plus sûre consisterait peut-être à chercher à démontrer les propositions mêmes de Stieltjes par des méthodes plus générales. On aura ainsi des démonstrations pro­ bablement plus longues que les siennes, qui sont fort ingénieu­ ses et qui paraissent aussi simples que possible pour le cas parti­ culier traité, mais ces démonstrations plus longues auraient sans

ment de variables, il peut arriver que les anciennes variables ne soient pas données immédiatement en fonction des nouvelles, mais qu’elles soient liées à celles-ci par des équations différen­ tielles données. Dans les cas dont nous parlons, il arrive quel­ quefois que les équations différentielles données suffisent avec celles qu’on en déduit, par la différentiation, pour éliminer les anciennes variables de l’expression qu’il s’agit de transformer. Nous allons en donner un exemple.

287. Lorsqu’on a à considérer plusieurs variables qui dépen­ dent de l’une d’entre elles, on peut choisir à volonté celle qui sera regardée comme indépendante ou dont la différentielle sera constante. Mais il peut arriver que, après avoir désigné cette variable indépendante, on reconnaisse qu’il est plus avantageux

288.Il est évident que y n s’exprimera par le moyen des diffé­ rentielles de x et de y, jusqu’à celles de l’ordre n.

289.Les fonctions f, F, ..., étant, comme dans les cas précé­ dents, des fonctions composées dont la valeur est identiquement

F(x, y, z) sont des fonctions composées; d’ailleurs les différen­ tielles de ces fonctions sont nulles, puisque les fonctions ellesmêmes le sont.