книги из ГПНТБ / Михайлов, Ю. Я. Электромагнитные колебания лекции
.pdfЕсли |
подставить значение |
Х и |
из формулы (22) в урав |
|
нение (18), то максимально |
возможная амплитуда тока |
окажет |
||
ся равной: |
|
|
|
|
|
1 |
|
£ |
|
|
*4 max max |
Ыг'г' |
|
|
|
|
|
V ' * |
(24) |
Итак, |
для получения максимум |
максииорум амплитуды тока |
||
во втором контуре необходимо выполнить следующие два усло вия.
1 . Настройкой первого контура следует обратить в нуль эквивалентное реактивное сопротивление системы контуров,т.е. сделать так, чтобы вносимое в первый контур реактивное со противление стадо равно его собственному реактивному сопро тивлению*
2 . Подбором связи между контурами необходимо добиться оптимального значения связи между ними, т .е . сделать так, чтобы вносимое в первый контур активное сопротивление ста ло равно его собственному активному сопротивлению (форму ла (2 ).
Полный резонанс. Для достижения полного резонанса на страивают первый контур при отключенном втором так, чтобы
величина его £^активного сопротивления |
обратилась |
в |
нуль, |
т .е . настраивают на частоту генератора. |
Затем так |
же |
на |
страивают на частоту генератора второй контур при отключен
ном первом. Наконец, подбирают оптимальную связь |
между |
||||||
контурами. |
|
|
|
|
|
|
|
нозыіем формулу (І6-) для амплитуды тока |
, |
полагая |
|||||
в ней |
Ег = І * : * |
К |
. Если |
обратить |
в нуль оба |
реак |
|
тивных сопротивления: |
Xf= Х г = |
0, то |
получим: |
|
|||
|
Н гmax |
<SXл - |
|
|
(2 5 ) |
||
|
г - л + К |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Если |
контуры настроены в резонанс но отдельности, |
то |
|
||||
Х э - |
0 и подбор взаимной |
индуктивности не повлияет |
на |
||||
13- Ï G 3 6 |
65 |
эту величину, т .е . не потребуется дополнительной подстрой
ки контуров. Аля получения оптимального эначения |
най |
||
дем производную от Лг т а і по |
Хсь иэ |
формулы (25) |
и при |
равняем ее к нулю. Тогда получим: |
|
|
|
Хсв°пт |
І піпг ’ |
(26) |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
(27) |
Подстановка Х п Л„ в формулу (25) |
дает: |
|
|
UU ОПТ |
|
|
|
гmax max Р Р Г
т .е . то же вначение, что к при сложном реэованое.
§ 5 . Уравнения резонансной кривой и полоса пропускания связанных контуров
Так как наибольшій практический интерес представляет ам плитуда тока ü£ во втором контуре, то вопрос о ре8онаяс ных кривых будет рассматриваться в отноиении этого тока. Еах было выяснено ранее, ток равен:
Преобразуем в этой формуле реактивное сопротивление кон тура 3^ следущим обравом:
66
ная расстройка контура, которую обозначим |
|
(см. формулы |
|||||||||||||
(50), |
|
(51) |
главы I ) . |
Тогда |
величина |
будет |
равна |
|
|||||||
|
|
|
. Если в знаменателе формулы для |
Û7 |
после заме |
||||||||||
ны X, |
на coL,£ |
вынести за |
скобки CàL£ |
и принять |
во |
||||||||||
внимание, |
что |
ns/ |
a |
L |
e- d |
затуханиеr |
контура, |
то выраже |
|||||||
ние для тока |
|
примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы М |
|
|
|
|
(28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя сюда выражение для тока |
|
из |
формулы (5) |
|||||||||||
§ 2, |
следует |
раскрыть |
выражение |
и преобразовать X , |
|||||||||||
и |
X |
, |
так, как |
это |
было сделано |
ранее. Тогда, |
переходя к |
||||||||
модулю тока |
|
получим выражение: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
7 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
г" |
|
|
^ |
|
+ * |
7 < |
( < |
Ч |
- * |
* |
' К |
4(В)' |
||
|
В дальнейшем для простоты будем полагать |
|
ds “d , |
||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А к _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
|
Задача |
14. |
Напишите условие равенства затуханий двух |
||||||||||||
различных контуров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим сначала случай, когда оба контура настроены |
||||||||||||||
на |
частоту |
генератора, |
т .е . |
, = 0. Тогда амплитуда |
ре |
||||||||||
зонансного |
тока |
будет |
иметь |
значение: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
J |
|
= ~ |
= |
|
6>к |
|
|
|
|
(31) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
грез |
°2піа х |
с^ L ' L |
' W |
+ k 1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
67
и уравнение резонансной кривой получится в виде:
( d W Y
|
2 pea |
\J ( d Ч |
k f |
+ 2^ *(d*~k S) +Ç ' |
(32) |
|||||||
Й8 уравнения |
(31) видно, |
что величина |
|
силы тока |
|
C7pes |
||||||
зависит ѳцѳ |
от |
коэффициента |
связи |
между контурами |
к |
. Бе |
||||||
ли найти производную от |
tX ... по к то, |
|
приравняв |
ее к |
||||||||
нулю, найдем значение к=оГѵ, при котором |
ток ^ |
ej |
дости |
|||||||||
гает максимально |
возможного |
значения. Оно получится, |
если |
|||||||||
в уравнение |
(31) |
подставить |
k - d |
: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m ax m ax |
|
|
| / ѵ |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 15 . |
Получите эту |
формулу самостоятельно |
так,как |
|||||||||
указано. |
|
|
|
к |
|
|
|
d , т .е . |
|
|
|
|
И рассмотренном случае |
|
не больше |
связь |
|||||||||
между контурами равна иди меньше оптимальной. На рис.28 |
||||||||||||
представлен |
вид |
резонансных |
кривых для этого случая. Их ор |
|||||||||
динаты при |
^ |
s O зависят |
от |
величины |
к |
. Hçnk = d резо |
||||||
нансная кривая делается шире, и ее кривизна вблизи вершины уменьшается.
Как известно, полоса пропускания одиночного контура рав
на его затуханию |
d |
. Для случая к |
найдем |
полосу |
про |
пускания, полагая |
в |
уравнении (32) |
^ / « ^ р ез |
равным |
1/^2. |
После несложных преобразований получим биквадратное уравне ние для ^ :
<*+г(/-к % г- ( А к ‘h o . |
(ад |
положительный корень которого равен: |
|
68
Задача 16. Получите самостоятельно уравнение (33) і найдите его корни.
При небольшой расстройке можно положить
= 3отн |
Поэтому,вынося d за знак радикала, получим: |
(35)
Такии образом, относительная полоса пропускания связан
ных контуров |
равна |
d , |
умноженному |
на |
выражение, зависящее |
|||
от отношения |
k / d |
. Легко найти, |
что |
S0TH = d |
при к = |
|||
= 0,6 7 < /. Следовательно, |
при |
к > |
0,67 d |
При |
||||
■к = d |
|
, |
т .е . |
в |
\І~г |
|
раз шире, |
чем у оди |
ночного контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Рассмотрим характер резонансной кривой при сильной свя- 8 і между контурами, когда к > d . Определим в формуле (80) максимум амплитуды силы тока в зависимости от расстройки £ .
Дли этого найдем производную |
dög/ d ^ |
и, |
приравняв |
|||||||||||
ее к н у » , |
определим |
|
значения Ç |
, |
при которых |
она обраща |
||||||||
ется в |
нуль. Эти значения получается |
из уравнения: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(36) |
корни которого |
|
ѵ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ç , - 0 |
|
« |
|
|
|
|
|
|
|
(37) |
|
При всех |
трех |
значениях |
Ç |
|
достигает |
максимума. |
||||||||
Если к |
с/ |
, |
Ç |
и |
|
мнимы и справедливо |
условие ^ |
^ = О, |
||||||
т .ѳ . оба контура настроены |
на частоту |
генератора. |
|
|||||||||||
Если же k~>d , то |
достигает |
максимума |
при двух |
зна |
||||||||||
чениях |
|
|
и <^5 |
, т .е . резонансная |
кривая |
должна |
||||||||
иметь два максимума, соответствующие частотам генератора |
||||||||||||||
и Q c |
, лежащим по |
обе стороны от |
собственной час |
|||||||||||
тоты |
со, |
= |
со. |
= |
|
Со„ . |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
г |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая частоту |
генератора |
через |
эс |
, |
найдем следую |
|||||||||
щие значения |
^ |
и |
|
з : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда
|
|
соя |
Q = — |
и Q - |
(38) |
/ м Ѵ Р - с Р |
|
j i - s j k * - d ‘ - |
7U
Если k*>d , |
«о отношением |
(d/k)‘ |
можно пренебречь |
||
по сравнению с единицей и тогда |
|
|
|
||
Q |
= |
- |
и |
0 = - F^ = |
|
« |
І Г П Г |
|
2 |
іГГнГ |
|
т.е* получились формулы медленной и быстрой частот свяаи. Чтобы найти уравнение реаовансной кривой при k>d ., надо значения <^г и зподставить в формулу (80) дня тока CJg . Тогда получится значение тока максимум каксиморум,
а уравнение резонансной кривой будет иметь вид:
|
___________ |
, / |
|
Ь кЫ * |
|
|
||
|
max m ax |
|
|
|
|
|
||
Резонансные |
кривые дня этого случая представлены |
на |
||||||
рис .29. При^ |
= 0 |
они имеют "провал” и два максимума при ... |
||||||
значениях Ç , |
равных |
к |
^ а _ - |
|
|
|
||
Дня определения полосы пропускания положим в уравне- |
||||||||
нии (39) |
отвоиение |
^г/^ гтахтах; Т°ГД® после простых |
||||||
преобразований найдем биквадратное уравнение: |
|
|||||||
|
|
|
|
^(ЛкГ-ôkY- о , |
(W ) |
|||
|
|
|
|
|
||||
положительный корень которого |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( « ) |
Таким образом, |
относительная полоса пропускания |
при |
||||||
к > d оказывается равной: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( « ) |
. Здесь, |
как |
и раньне, при |
k=d |
ÇTn |
• На рис.28 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полоса пропускания расииряется, если опускать седловину
71
кривой. Если ее опустить до |
значения |
J , |
= 0,707 3,______ _ |
|
то соответствующее |
значение |
к получим, |
полагая в уравне |
|
нии (41) ^ = 0 . |
Тогда найдем два квадратных уравнения: |
|||
к ‘ ± Ш - < І г ' й .
Из двух пар корней этих уравнений, учитывая, что связь сильная, выбираем одно значение /г =- / ;
k = 0 + > I F ) c t = 2 A 1 d . |
(43) |
Подставляя отсюда отноіение k /c f в уравнение |
(4 2 ), на |
ходим максимальное значение относительной полосы пропуска ния связанных контуров:
s m = Ц * - = s M ■ w
72
Итак, |
если желательно сделать |
относительную полосу про |
|||||||||
пускания связанных контуров ыѳныей |
d |
, |
то надо |
брать |
|||||||
А < 0 ,6 7 (У |
. Если нужно |
ее сделать равной |
d |
, то |
следует |
||||||
брать |
к |
= 0 ,6 7 d . |
При |
k ~ d |
£0TH-'J?d . И, наконец, |
||||||
максимальная полоса |
пропускания, |
равная |
3,1 d , |
обеспечива |
|||||||
ется |
при |
|
к в 2,41 г /. |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
6 . |
Энергетические соотношения в |
связанных контурах |
||||||||
Вычислим коэффициент полезного действия связанных конту ров для случая полного резонанса. Пусть генератор (см.рнс«24\ включенный в первый контур, развивает мощность
P =Р +Р |
’ |
(45) |
|
г о |
г |
|
|
где Р1 и Рг - мощности, |
выделяющиеся в первой и втором |
||
контурах. Эти мощности равны: |
|
|
|
и |
4 |
- г зг, ' 1 |
( « ) |
|
|
||
Эффективность передачи мощности иэ первого контура во второй может быть оценена коэффициентом полезного действия,
который |
равен: |
|
|
|
|
|
? |
г |
|
h |
|
Ъ пг |
(47) |
- |
Р |
. + |
Р . |
il |
г г |
|
|
|
|
|
|
3 ‘r + |
j ‘ r, |
При полном резонансе |
Хг~0 |
и можно показать, пользуясь |
||||
формулой (4) из § 2, что |
^г~^і»/Г2 ^1 |
* Подставляя это |
||||
значение |
в уравнение |
(47) я сокращая на |
0^ , получим: |
|||
(48)
73
Заменяя здесь |
Х а черев соМ и деля числитель и зна |
менатель на l*fP , |
получаем: |
___ 3î______ |
. г У |
^ |
. ______SaM . |
, |
(52) |
||
^imax ma* |
1 + -^~ ~ |
|
1 +2а М* |
|
|
||
где через |
а 2 обозначено |
выражение |
і/ . |
|
|
||
Так как |
мощность пропорциональна |
квадрату оилы тока,то |
|||||
|
|
________________4 - а * М |
|
|
|||
J |
|
Р |
|
|
Ѵ+га*Ме] |
|
|
г m ax m ax |
г max ma® |
|
|
|
|||
Й8 формул (50) л (58) вытекает следующее. Сначала при |
|
||||||
возрастании М растет и |
^ , |
и увеличивается Рг |
мощ |
|
|||
ность во втором контуре. Кривые, построенные по уравнениям
(50) и |
(5 3 ), показаны на |
рис.30. Когда |
М будет равно |
|||||||||
Аj a 1- |
r^r^fco2 , отнояениѳ |
Рг / |
^ ffî/r.у будет |
равно |
еди |
|||||||
нице, т .е . мощность во втором |
контуре |
достигает |
максималь |
|||||||||
ного 8Начви*я ^ |
” ^ |
гпаітаа» |
а |
коэффициент полезного дейст |
||||||||
вия возрастает до 50JS. Если увеличивать М . и далее, |
то £ |
|||||||||||
будет возрастать, тогда как отношение |
|
Рг /Р гтхтазр |
^ г |
|||||||||
уменьматьея, т .е . мощность во |
втором контуре будет меньше |
|||||||||||
максимальной и будет убывать. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Если положить |
d - d ^ d |
|
, то из уравнения (51) видно, |
|||||||||
что случав |
Ç s |
505& соответствует |
к ~ а |
. При |
и |
|
||||||
0 ,5 , |
если |
же |
к-< d |
, |
то |
^ |
< |
0 ,5 . |
|
|
||