книги из ГПНТБ / Михайлов, Ю. Я. Электромагнитные колебания лекции

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды ко­ лебаний, то амплитуда колебаний силы тока должна убывать по закону:

Практически считают колебательный разряд закончившимся, когда энергия колебаний в контуре уменьшится до 0,01% от её первоначальной величины, а амплитуда колебаний до 1% первоначальной величины:

- O c t

°’0 и о= Сое

откуда продолжительность колебательного разряда равна:

Таким образом, чем больше коэффициент затухания ос ,тем меньшее время -яится колебательный разряд.

Второй закон Кирхгофа для колебательного контура с зату­ ханием выглядит следующим образом:

Преобразуем уравнение (21) так, чтобы получить дифферен­ циальное уравнение колебаний силы тока в контуре. Для этого

27

Это есть однородное линейное дифференциальное уравненіе второго порядка с ностоянншя коэффициентам, в котором по-ирежнему

болический синус соі . График разрядного тока для зтого случая представлен на рис.13. Такой характер изменения раз­ рядного тока носит название апериодического разряда.

2. ос ш СО0 дает случай критического разряда, при ко­ тором разрядный ток выражается формулой

. (2?)

График этого тока представлен на рис.14.

Задача ІО. Найдите момент времени, в который сила тока при критическом разряде достигает максимума и самое величину максимального тока.

28

Равряд конденсатора носит колебательный характер.Ашілитуда колебаний убывает по показательному закону, а частота колебаний равна со и отлична от частоты колебаний конту­ ра СО0 . График колебаний представлен на рис.15. Если вы­ ражение для силы тока Ь , первую и вторую производные от силы тока по времени подставить в уравнение (25), то полу­ чим тождество, из которого вытекает соотношение между час­ тотами СО и СО0 :

Это соотношение показывает, что частота затухающих ко­ лебаний , а период затухающих колебаний 7’=*-7^ .

Кроме того, возникновение колебаний оказывается возмож­ ным только в том случае, когда со - вещественное число, отличное от нуля, т .е . при

T c ^ W '

откуда

т .е . активное сопротивление контура должно быть меньше его удвоенной характеристики, и противном случае колебания не возникают и получается апериодический разряд.

і&еден в рассмотрение величину А , называемую декре­ ментом затухания, которая характеризует скорость затухания

30

колебаний в течение одного периода. Для этого сравним меж* ду сабой две амплитуды, отстоящие по времени на один пе­ риод (см.формулу (19) и рис.15):

Удобнее пользоваться натуральнш логарифмом этой вели­ чины. который называется логариДуиыескиі декрементом зату­ хания:

Г= N T

иможно написать соотноаение:

е ^ е асТ 9

откуда

т .е . коэффициент затухания есть велжина. обратная проме­ жутку времени, в течение аміритуда колебаний убы­ вает в fi раз.

Величина

т .е . логарифмический декремент затухания есть велщчина. обратная числу колебаний (периодов), по проиествии амплитуда колебаний убывает в е раз.

В этаж случае логарифмический декремент затухания есть величина пропорциональная отношению сопротивления контура к его характеристике.

Величина 0 . пропорциональная числу колебаний (перио­

называется затуханием контура. Добротность для контуров, работающих на радиочастотах, имеет порядок 10^, для пьезо­

d.

Задача 12. Покажите, что коэффициент затухания оС и ка­ чество контура Q можно выразить через отнооение средней мощности потерь за полудериод к начальному запасу, энергии в контуре*

Задача 13. • Найдите связь между величинами ос и 0 »

3, Вынужденные колебания в последовательном контуре

Пусть в последовательный контур включен генератор сину­ соидальной .электродвижущей силы <э частотой со (рис.ій ).

. -1-

Тогда согласно второму закону Кирхгофа можно написать:

\ + п і = ~ 1 Ж +<S •

После подключения генератора к контуру происходит про­ цесс установления колебаний, в течение которого амплитуда колебаний тока нарастает до некоторой максимальной величи­

PL +L

о

Воспользуемся представлением векторов силы тока и элек­ тродвижущей силы в символической форме:

34