книги из ГПНТБ / Михайлов, Ю. Я. Электромагнитные колебания лекции
.pdfОбозначая реактивные сопротивления контуров через
и Х£ |
, |
а сопротивление связи через |
Х св , приведем урав |
нения |
к |
виду: |
|
|
|
( Я + Д ,) + |
“<з ; |
Из второго уравнения находим амплитуду силы тока :
ös - ~à |
Іса |
4 |
■ (4) |
|
|||
|
|
||
Подставляя это выражение доя |
Ù£ . в первое уравнение |
||
системы, найдем зависимость ^ |
от (£; |
|
|
|
л |
|
|
Если в третьем слагаемом левой части равенства освобо диться от комплексного выражения в знаменателе путем умно жения знаменателя и числителя на сопряженное выражение
р —і X * , то в знаменателе получится квадрат модуля
полного сопротивления второго контура z£ “P* +Х
и тогда после группировки членов и простых преобразований получим:
выражение, стоящее в скобках, имеет размерность сопро тивления. Оно называется эквивалентным и учитывает дейст вие второго контура на первый. Обозначая его через Zfg,
иожем написать уравнение (Ь) в виде:
55
Если в уравнении ( 5) перейти к модулю амплитуды силы тока, то получим:
.. (6)
3 -
Уравнения (5) и (6) показывают, что система двух связан ных контуров мохѳт быть заменена одиночным контуром с экви валентным активным .сопротивлением
|
|
|
|
|
(7) |
и эквивалентным реактивным |
сопротивлением |
|
|
||
|
|
|
|
|
(«) |
Стоячие |
в правых частях |
формул(7)и(8) |
rf |
и Ху |
|
наываются |
собственными активны» |
и реактивным |
сопротивле |
||
ниями контура, а величины
внесенными активным и реактивным сопротивлениями. Эти со противления появляются в первом контуре в результате реак ции второго. Первый контур долаен затрачивать некоторую
56
дополнительную энергию для поддержания колебаний во вто рой. Эквивалентное сопротивление первого контура можно представить в виде:
или
Из |
формул |
(7) |
и |
(8) |
видно, |
что всегда |
Р13 > ггі |
, |
а |
||
X „может быть больше |
или меньше X |
|
зависимости |
от |
на- |
||||||
13 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
стройки контуров и частоты генератора. |
|
|
|
|
|||||||
Пример I . |
Найти параметры контура, |
эквивалентного двум |
|||||||||
связанным |
контурам, |
имеющим параметры |
С = 900 CM,^ = 7 5 0 CM, |
||||||||
Г 2 |
Ом, |
/^ |
= 5 |
Ом |
и К - 0 ,3 . Длина |
волны генератора |
пер |
||||
вого |
контура |
А |
= 940 ы. Первый контур настроен на длину, |
||||||||
волны |
Х і = 1000 |
ы, |
второй - |
Х £ = 900 |
м. |
|
|
||||
Решение. |
I . |
Так |
как |
|
|
|
|
|
|
||
то
І47TèÇ/0*éS00~Г~2&тГ .
Точно так ге
_ г |
g ю |
н |
900 |
|
Г*2?4мкГ.
2 , взаимная индуктивность контуров равна:
М=к |
=0,3 {Ш Гт м кГ ~0ЪмкГ. |
Ъ1
3 . Частота |
генератора |
равна: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 Т с |
2Ж5г-$Ъ-•Ю10 |
I |
|
|
|
|
||
|
|
_/ |
я |
б |
0/ |
|
||||
|
ü) = - j — |
= — |
— -----р а д /с |
~ 2 Ч 0 р а д /с . |
|
|||||
|
|
X |
~ |
ІКО |
|
|
|
|
|
|
4 . |
Квадрат |
модуля сопротивления второго |
контура |
|
||||||
4 |
« |
|
|
|
|
-^ Л «Ѵя»ом? |
||||
5 . Активное сопротивление эквивалентного контура |
равно: |
|||||||||
|
f: |
|
|
|
|
|
|
Ом - <? Ö*. |
||
|
+ ^ р г - г , -+2 |
|
|
|
|
|||||
6 . |
Реактивное сопротивление |
эквивалентного |
контура |
|||||||
Х „ - Х , ~ |
ы ‘М |
\ |
( |
. _ J |
\ ы ‘м ‘/ , |
/ \ |
||||
~ЕТ |
|
|
|
сое,) |
г / |
^ |
« < ij‘ |
|||
|
|
г / |
|
|
|
|||||
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
н |
|
■щн6‘г-ю - |
940 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
гггя ~ І(п ' |
г |
° rso-гчо-7 |
||||||
|
900-2/0* |
|
||||||||
|
|
|
|
-40Ъ |
Ом. |
|
|
|
|
|
7 . |
Полное сопротивление |
эквивалентного |
контура |
|
||||||
|
|
|
2 13ч г - і б 5 } , |
|
|
|
|
|||
а его |
модуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 э =Ѵ/2+463г =463 Ом.
58
Таким образом, два связанных контура в данном примере можно заменить одним эквивалентным с активным сопротивле нием 53 Он и реактивным 589 Ом (рис.2 7 ). К собственному
активному сопротивлению контура добавляется 51 Ом и реак тивному 527 Ом что при данной частоте соответствует ин дуктивности 264 МКГ.
§ 3 . Резонансные частоты эквивалентного контура
Из формулы (6) этой главы вытекает, что амплитуда силы тока в эквивалентном контуре <7f достигает резонансного значения, равного
ipt» |
(9) |
59
когда его эквивалентное реактивное сопротивление Х^э обра щается в нуль:
|
|
|
X |
|
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со М |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
г |
соЬг + соС2 |
. |
(И) |
||
Последнее выражение показывает, |
что. |
Х іЭ |
есть |
|
||||
сложная функция частоты СО |
, позтоиу при |
обращении |
Худ |
|||||
в нуль (7у достигает |
иаксииуиа не при одном, а |
при |
несколь |
|||||
ких ее значениях. Так как для радиочастот |
|
Х£ , |
|
|||||
то равенство ( I I ) |
при |
резонансе принимает |
вид: |
|
|
|
||
ooL. |
п |
согМг |
=0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
соС< |
|
си с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приводя левую часть полученного уравнения к общему зна |
||||||||
менателю и умножая почленно на выражение |
ûj |
|
, |
полу |
||||
чим: |
|
|
|
|
' |
|
|
|
U ~ £ > ) |
|
|
* V , |
к С, ц с , |
■ = о , |
|||
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
(і- к г)со4 -(tof.+tof) cJ+cj*coa “ 0. |
|
(12) |
||||||
Обозначая корни этого биквадратного уравнения через |
Q |
|||||||
и учитывая, что |
Q = -0 |
, находим: |
|
|
|
|
||
60
Следовательно, системе |
из двух |
связанных контуров |
свой |
||
ственны две резонансные частоты |
и |
. Одна |
из |
них |
|
больше наибольшей из |
собственных частот контуров и на |
||||
зывается быстрой частотой |
связи, |
другая |
Q 2 меньше |
наи |
|
меньшей из собственных частот контуров и называется медлен
ной частотой |
связи. В случае |
настройки контуров на одну и |
||||||||
ту же частоту |
СО0=‘СОі!1жСОг |
|
получим: |
|
|
|
||||
|
а Ѵ П Г |
и |
О |
= |
CÜ-°- |
|
|
(14) |
||
|
|
г |
\]7+Т |
|
|
|
||||
Пример I . |
Найти частоты |
связи |
контуров, |
если |
= |
|||||
= 2*І06 |
рад/с, С03 = 3*І06 рад/с |
и |
Н |
- |
0 ,2 , |
|
||||
Решение. |
Подставляя данные |
примера |
в |
формулу |
(1 3 ), на*- |
|||||
ходим: |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
|
Q1= 3 ,ІІ* І0 6 |
рад/с |
|
и |
|
|
|
рад/с, |
||
|
|
Q a=I,97*I06 |
||||||||
или |
= 495 кГц |
|
и |
|
|
= 314 кГц. |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2 ; Два индуктивно связанных контура имеют одина ковые индуктивности по 400 мкГ и электроемкости по 900 см. Определить частоты связи контуров при взаимной индуктивно сти 100 мкГ.
Решение. Так как для контуров |
сод- і/ Ш |
. R =M/ L , |
|||
то, подставляя |
эти |
значения в .формулы (14), |
найдем: |
||
|
|
|
|
і |
|
|
|
О |
=* fcfim) |
|
|
Подстановка |
численных значений дает: |
|
|||
Я 1= І,83*І06 |
рад/с |
и |
0 2 = 1,41•10° рад/с. |
||
или |
|
|
|
fr= 225 |
|
f r= 291 |
кГц |
|
|
кГц. |
|
61
§ 4. Настройка связанных контуров
Во многих радиотехнических схемах желательно, чтобы ам плитуда тока Jg во втором контуре достигала своего резо нансного значения и чтобы мощность, выделяющаяся во вто ром контуре, была максимальной. Этого можно достигнуть настройкой контуров, которая может производиться следую щими способами:
- изменением параметров только первого контура, напри
мер, |
его электроемкости |
Сі |
; |
- изменением параметров только второго контура, напри |
|||
мер, |
его электроемкости |
Cg |
; |
- |
изменением взаимной |
индукции контуровМ . |
|
Все эти изменения могут быть выполнены как в отдельно сти, так и совместно. Существуют следующие методы получе ния максимального тока во втором контуре.
Г. Первый частный резонанс, когда настройка производит ся изменением параметров первого контура.
2 . Второй частный резонанс, когда настройка производит ся изменением параметров второго контура.
8 . Сложный резонанс, который достигается изменением параметров одного из контуров с одновременным подбором связи между ними.
4. Полный резонанс, когда настраивают сначала первый контур при разомкнутом втором, затем таким же образом вто рой и, наконец, подбирают связь между ними.
Для рассмотрения всех этих,способов воспользуемся |
вы |
|
ражением, для амплитуды тока |
, приведенном в § 2 |
(фор |
мула (4 ): |
|
|
62
и модуль амплитуды тока 0' |
равен: |
6 Х СВ
2
Первый частный резонанс. Изменением параметров первого
контура |
можно повлиять |
лишь |
на величину 3Ç. |
Ток |
32 до |
стигнет |
своего резонансного |
значения де = s^maœ |
при |
||
|
w |
4 к - < > . |
|
(17) |
|
|
|
|
|||
При этом условии
|
|
|
|
(S x .св |
(18) |
|
|
|
г max |
£ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
В т о р |
о й ч а с т н ы й |
резонанс. Ясли генератор переключить из |
|||
п е р в о г о |
к о н т у р а |
в о |
в т о р о й и пересчитать |
вносимые сопротив |
|
л е н и я т а к ж е из п е р в о г о контура |
во второй, то получим сле |
||||
д у ю щ е е |
в ы р а ж е н и е |
д л я а м п л и т у д ы |
тока U£ |
: |
|
(19)
Изменяя Х& во втором контуре так, чтобы Х гэ .» О,.
получим амплитуду резонансного тока дг в виде:
63-
|
г т а х |
|
X cs |
(20) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
пг 21- |
|
|
|
Сложный резонанс. |
Максимумы тока ^ , полученные при |
||||
первом и втором частных резонансах, |
относительно невелики. |
||||
Они будут значительно |
больше, |
если |
процесс настройки кон |
||
туров сопровождать подбором связи между ними. |
|
||||
Предположим, что настройкой первого контура |
мы доби |
||||
лись |
равенства нулю величины |
Х і3 |
и получили |
максималь |
|
ное |
значение амплитуды |
тока |
^гтах |
(формула |
(1 8 ), После |
этого следует подобрать такое оптимальное значение для со
противления |
связи |
X œ |
, при |
котором получается максималь |
||
но возможное |
значение величины |
^ т о х |
(максимум максимо- |
|||
РУМ). |
|
|
|
|
Х,_ |
|
Для получения |
оптимального |
значения |
найдем первую |
|||
производную |
от |
3?max |
по |
(формула |
(18) |
и приравняем |
ее к нулю. Получим уравнение:
V 2
rfE2~-~^-r2^0, (2 1 )
й г
из которого определим оптимальное значение Х„„'.
Со
XC,o „ T - " Wo»r-Zaf £ p |
(22) |
и оптимальное значение взаимной индуктивности контуров:
64