книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

t

[x)dx.

x(0 = W(*)W-i(/0 )x0 4-

j" W(/)W-1 (r)f

(3.3)

Согласно формуле

(2. 102), функция Ф*(/) получается из ба­

зиса однородной сопряженной системы, а функция

W ( / ) — и з

базиса исследуемой

однородной

системы. Ясно,

что

определя­

нейной

системы

являются

произведения

Ф*- 1 (^)Ф* (т)

и

W ( ^ ) W - 4 ( T ) . Сравнение выражений (3.2) и (3.3) показывает,

что эти произведения

фактически

являются

идентичными. Это

дает основание ввести следующую функцию:

<р(/,

т ) = Ф*- 1 (/)Ф*(г) —W(t)W-i(t).

(3.4)

Здесь ф ( / , т) называется переходной^матрицей

(или

фунда­

ментальной

матрицей,

характеристической

матрицей,

матрицан-

том). Таким

образом,

выражения

(3.2) и (3.3) можно

записать

в следующей форме:

t

х (t) =?

{t, Q х 0 +

j 9 (/, т) f (т) dx.

(3.5)

to

Д ля

случая свободной

системы [f (^) = 0] дополняющее

реше­

ние, т. е. решение

однородного

уравнения,

имеет вид

хс (') = <р(Мо)х0 .

(3.6)

Отсюда

видно,

что

элемент

ц>ц{1,

х)

переходной

мат­

рицы ф(£, т) представляет собой переходный

процесс по <-й пере­

менной

состояния

Xi(t) от единичного начального

условия

по

/-Й переменной состояния

[т. е. Xj(to) — l],

протекающий

в

сво­

Для случая равновесной

системы

(х0 = 0) выражение

(3.5)

сводится к интегралу

t

xp(t)=^{t,

x)i(x)dx,

(3.7)

to

называемому интегралом суперпозиции.

Таким образом,

видим,

х (0 = | г ' х 0 .

(3.8)

i=0

Гх (/) = J' А (т) х (т) dx,

(3.9)

приходим к выражению

Гх 0 = ( A(x)xQdx = H1{t, / 0 )х 0 ,

(3.10)

где

t

H i ( U 0 ) = [ A ( t ) r f t .

(3.11)

Г = Нг

(/,/„).

(3.12)

Аналогичным образом, из рассмотрения

r'x0

=

H,(/,

^0 )х0 ,

(3.13)

где

Н, (t, g = f A ( t j

dxx

] А

(т2 )

dx2...

A (x^dXi,

(3. 14)

to

to

h

легко заключить, что

Г' =

Н, (/,*„).

(3.15)

Итак, подставляя

уравнение

(3.15)

в

уравнение

(3.8), по­

лучим

х ( / ) = Н ( 7 , / 0 ) х 0 ,

(3.16)

где

Н(/,

/ 0 ) = \ Н , . ( / ,

/0 ) =

^ Г

г .

(3.17)

;=о

1-0

ср(/, *0 )=Vr'.

(3.18)

i-0

*1

(0

~0

f\

(0'

>2

(0

.1

о.

хг

(0.

Используя формулу (3. 18),

найдем переходную матрицу:

Го =

Г1 О"

О 1

0

т'2-т''>

Г2

2

"

2

•т — *п

О

2 Т

2 '°

з =

0 т

1 О

= 1

аГт =

о

30

6 ^ +

6 '°

З о ' °

1

О

L 12

6 *и" ' 6 "и"

12 'о

Следовательно, переходная матрица определяется выражением

<р (t,

t0)

=

ГО +

П + Г2 +

ГЗ + . . .

=

1

,о

1

_

1_

3

' o - 3 r i ' o + | - - < - - ' o l ' 2 - V # 3

-15

30

3

0

2

"u~ ' 6

Пример 3.2.

Линейная система

описывается

однородным

уравнением

x(t)—Ax(t),

в развернутой форме имеющим вид

*1 (О

2

2

'*1 (О

[ > 2 (О

_ L

J L

. * 2 ( О J

2

" 2

Используя формулу (3. 18), найдем переходную

матрицу.

"1

0'

_

ГО:

0*

\0(t-t0)0

1.

~

_5_

_3_

Г1 =

2

2

(* - tQ) = А (* - / 0 )

1

J_

т

2

_5_

А

Г2:

2

2

(т — *0) dx = А2

J_

1

I T

2

Продолжая

этот

процесс, приходим к члену общего вида

Г' =

А i

(t-t0)'

Следовательно,

переходная

матрица определяется выражением

. <р (t,

t0) = V

.= =

ехр [A (t - *„)].

1=0

Используя теорему Сильвестра *, получим

_ - i - e

- « - < o )

, _1*-2<<-<о)

1 Г

( Н , ) _ 1

- 1 ( 1 - 1 , ) '

2

2

' 2

2

+

•

„ - 2 ( / - / „ )

- С - М

. Е - 2 ( / - / 0 )

xi (О =

Зе' -if

Х2 (О =

w(0 =

,

w-i(o =

2

„2<

2

Согласно

формуле (3. 4)

получаем

переходную

матрицу в виде

>(Mo) = W(0 W - i (*„) =

1

f 4 t \

3

Л/ * J \ 3

•2(<-<o)

2

' 2

' 2

2

e - (< - 'o ) 4. —e -2(<-<o)

± e

- ( t - t 0 )

_ ±

-2(.t-<o)

Сопряженная

система

_5

_Г

2

2

(О

2

2

имеет базис

xj(0

=

- в '

(0 =

»2<

— е2?

Сформируем

матрицу

Ф* (/), являющуюся транспонированной

матрицей

Вронского для сопряженной системы:

Зе'"

„2<

„2<

Отсюда

е

— е

3

-2<

те~

Ф * - 1

(0 =

1

-2/

2

Опять «о формуле (3. 4) находим переходную

матрицу

9 (f, f0 j =

Ф * - 1

(*) Ф (Од

«

2 е

2

2(<-<о)

A g - ( < - < „ )

_ —

е - 2 ( < - < о )

+

1

2 '

2

_

— p~(t-t0)

j

_ 1

- 2 ( * - Г „ )

Ц

_ « - ( „ )

__L

-2(<-<0 )

2

' 2

'

2

2

Как видно

из примера 3. 2, переходная

матрица

стационар­

ной системы всегда может быть

записана

как

функция

одной

переменной

t' = t — 1 0

,

а

не

двух. Итак,

ф(^, to)=q>(t—

U) =

= ф ( 0 . Д л

я линейных нестационарных

систем такое

упрощение

1-

=

(ЗЛ9)

где 1„ — единичная матрица

n-го порядка. Равенство

(3. 19) вы­

текает

из соотношения

(3.6)

при подстановке

t=to.

Учитывая,

что x(t0)

= х 0 = ф(/1о, t0)x0,

имеем ф(/0 ,

t0)=ln.

2.

<р(/,т) = ¥ ( / ,

т).

(3.20)

Подставляя в обе части равенства

(3.20)

выражение

(3.4),

т. е. q>(t, т) = W(^)W _ 1

(т), убеждаемся

в справедливости

этого

равенства.

3.

<гЧ*. т) = <р(т,

/).

(3.21)

4- ^ ^ - = A(t)9(t,x).

(3.22)

dt

Дифференцируем это выражение:

х {t)=d^ ^ '

х0.

dt

Подставляя последнюю формулу

в уравнение

системы, на­

5. * * ^ = - < р ( * , т ) А ( т ) .

(3.23)

dv

Обоснование

заключается в

дифференцировании равенства

ф(т, t)(f{t,x) = I n

по т:

А(т)ср(т,

/ ) ? ( / , x) + <t(x, t)d-1^2L

= 0.

dv

6. Матрица ф(^, т)

при всех

t неособая. Это вытекает из оп­

ределения <f(t, т) = W ( / ) W _ 1 ; ( T ) ,

где W(/) — фундаментальная матрица Вронского.

7. х(/) = <р(М0 )х0 .

(3.24)

3

3593

65

8. х (*) = j

t)f (t)rft.

(3.25)

t

9. x(/) = ? (/,/0 )x0 -(-J? (<l t)f(r)rft.

(3.26)

x(t)

=

A(t)x(t)

+ t(t),

}

X (А))~ X Q I

находящейся

под внешним

воздействием,

ординаты переходного

процесса x(t)

=x[to+

(k+l)T]

в

заданные

моменты

времени

t = to+ (k + l)T

всегда можно

определить

по известным

значени­

ям x(/s ) =x(t0

+ kT)

в точках

ts = to + kT

путем непосредственно­

го вычисления интеграла

от n-вектора. При этом интервал

инте­

грирования

равен

t — ta

= T.

Обозначая

x(to + kT)

как

хд,

а ф(^, 4) =ф[^о+ (k+

1)Т,

t0

+ kT]

как щ+\,ь. и подставляя эти ве­

личины при ts=to

в уравнение

(3. 26),

получим

to + {k +

\)T

x*+ 1 = ? f

t + i A +

J

ср[/0

+

(£+1)7\

t ]f (x)dx.

(3.28)

x*+i = Tin-i,*x* + <P*+i.*f*7' =

?*-i-i,ft(xk+f^).

(З-2 9 )

где

и=Ч*ЛкТ).

Уравнение

(3.29) представляет

собой простой

рекурсивный

В случае

линейной постоянной

системы

[т. е.

когда x(t) =

= Ax(t) +f(t),

где А — постоянная

матрица

типа

пХп] переход­

ная матрица определяется выражением

Следовательно,

Фм-i, ь = ехр (AT)—постоянная

матрица,

не зависящая от k. В результате уравнение (3. 29)

преобразует­

ся в уравнение

х , + 1 = е х р ( А Г ) ( х , - | Л Л -

(3.30)

Следует заметить,

что алгоритм, выражаемый

уравнениями

Рис. 3. 1.

Переходный

про­

цесс системы в примере 3. 2

1,0 1,1 1,2 1,3 t

Пример 3. 3.

Построим

график

переходного

процесса

системы,

описывае­

мой дифференциальным

уравнением

х

(t)

= (1 — 2С—1) х

(t) +

10(^—1),

jc (I) =

1.

Построение

выполним на интервале

(1; 1,3),

используя

приращение

аргу­

мента 0,1.

Базисом рассматриваемой

системы

служит

xl = t-2el.

Следовательно,

мат­

рица Вронского

и обратная

ей матрица

имеют

соответственно вид

W (0 = <-2 е'

и W - i (t) =

Ре~'.

Поскольку

<р (t,

t0)

= W (0 W - 1

(t0),

находим

<p (t,

t0)

=

(t/t0)-2

e{ 1

~'°)-

Применяя

при

= 1 уравнение

(3. 29),

получим

tp + (k+l)T

]~2

2

<еТ

г

{xk+WT[(t0

+

kT)-l))

to+kT

Так как t0

= 1,

а Т = 0,1, то

•**!-1

1,1 + 0 , U

\

-

0 1

- ( •

1 +0,lft

Учитывая

принятое

условие

x0=x(t0)

—х(\) =1,

находим

1 1Л ~ 2

k

=

0:

= ( —f— )

е0 '1 (1) =0,913;

k=\-

x 2 = f — j

е0 '1 (0,913 + 0,1) =

0,954;

k

= 2: x3=(j7,)

2

е0 '1

(0,954 + 0,2) =

1,088.

В разд. 3. 1 показано

использование переходной матрицы

q>(t, т) при вычислении переходного

процесса по вектору состоя­

ния x(t), возникающего в системе

x(t) =

A(t)x(t)

+ t(t)

(3.31)

kit)

•x(t)

xft)

\j(t)

f

Bit)

r

r

v .

mi

Nt) <*=—

Nt)

Рис. 3.2. Блок-схема системы, описы

Рис.

3. 3.

Блок-схема

линейной

систе­

ваемой уравнениями

(3.31)

мы общего

вида, описываемой

урав­

x W = A ( / ) x ( / ) + B ( / ) u ( 0,

у(*)=С(*)х ( 0 ,

(3.32)

х ( д = х 0 .

Блок-схема этой системы

показана

на рис. 3. 3.

Здесь

имеется т входов

Uj(t), / = 1 , . . . ,

т; г выходов

г/д (/),

& = 1 , . ..,

г и я переменных

состояния

Xi(t),

i=l,...,

п.

Ясно,

т входами для такого описания

требуется матрица

импульсных

переходных функций типа гХт,

называемая

импульсной

пере­

ходной матрицей. Следовательно,

физический

смысл

импульсной

далее, между переходной матрицей и импульсной

переходной

матрицей существует тесная

взаимосвязь.

3.2.1. Единичный импульс. Абстрактное математическое по­

нятие под названием единичный импульс

(дельта-функция), обо­

значаемое как б(/ — т), определяется

следующим образом:

8 ( * - т ) = ( °

(3.33)

ОО t — X

j

b{t-x)dt=\.

•

. -

(3.34)

— оо

Из этого определения вытекает, что

t

• \

j l{t~x)dt

= l{~l\t-x),

(3.35)

где 6( - 1 ) (^— т) —единичная

ступенчатая

функция

U{t-x)

= b(-l)(t-x)

= l°

t

< X

(3.36)

1

t>x.

Следовательно,

формально 6(t) интерпретируется

как произ­

водная от единичной

ступенчатой

функции

u(t).

Поскольку

u(t)

—разрывная

функция,

ее производная

должна

пониматься

лишь в узком смысле, как это принято для обобщенных

функ­

ций.

Операторные

свойства

единичной импульсной

функции, ее

интегралы и производные

используются

далее

без

какого-либо