книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.

C h i d a m b a r a , М., The Transformation

to (Phase-Variable) Canonical

Form,

I E E E Trans, on Automatic Control, vol.

AC-10 (1965), pp. 492—495.

3. D e s o e r

C , a n d P .

V a r a i y a , The Minimal Realization

of a Nonan-

ticipative Impulse

Response

Matrix, J. SIAM Applied Mathematics,

vol. 15, no. 3

(1967), pp. 754—764.

5. J o h n s o n ,

C. a n d

W. W o n h a m ,

A Note on the

Transformation

to

Canonical

(Phase-Variable)

Form, I E E E Trans,

on

Automatic

Control, vol.

AC-9

(1964),

pp. 312—313.

6.

J o h n s o n ,

C , a n d

W. W o n h a m ,

Another

Note on the Transforma­

tion

to

Canonical

(Phase-Variable)

Form,

I E E E Trans, on

Automatic Control,

vol. AC-11 (1966), pp. 609—610.

7.

К a 1 m a n,

R., Т. E n g 1 a r,

a n d

R. В u с у,

The Pseudo-Inverce

of a>

Matrix, Appendix A of Fundamental Study of Adaptive Control Systems, Techni­

cal

Report

No ASD-TR-61-27, Vol. 1,

Wright-Patterson Air

Force Base,

Ohio,

April 1962,

pp. 229—234.

8. M u f t i , I., On the Reduction

of

a Systems to

Canonical (Phase-Variable)

Form,

I E E E Trans, on Automatic Control, vol. AC-10

(1965),

pp. 206—207.

9.

P e n r o s e ,

R., A Generalized Inverse for

Matrices,Proc. Cambridge Phii.

Soc,

vol. 51 (1955),

pp. 406—413.

10.

P e n r o s e ,

R., On Best Approximate Solutions of Linear Matrix

Equa­

tions, Proc. Cambridge Phil. Soc,

vol.

52

(1956),

pp. 17—19.

11.

R a n e, D., A Simplified

Transformation

to

(Phase-Variable)

Canonical

Form,

I E E E Trans, on Automatic

Control, vol. AC-1)

(1966),

pp. 608.

12.

S i 1 v e r m a n, L.,

a n d

H., M e a d o w s ,

Degrees of

Controllability in-

Time-Variable Linear Systems, Proc. National Electronics Conference,

November,

1965, pp. 689—693.

14.

S i l v e r m a n ,

L., Representation and Realization of

Time-Variable Line­

ar Systems, Technical Report N

94, Dept. Electrical Engineering,

Columbia Uni­

versity, New York, June 1966.

15.

S i l v e r m a n ,

L., and

H. M e a d o w s ,

Equivalence

and

Synthesis of

Time-Variable

Linear

Systems,Proc, Fourth Annual Allerton

Conference, October

1966, pp. 776—784.

16.

T u e l ,

W., On the

Transformation to (Phase-Variable) Canonical Form,

I E E E Trans,

on Automatic

Control, vol. AC-11

(1966), pp.

607.

Задачи

6. 1. Проверить уравнения (6. 12) и (6. 13).

6.2. Используя

теорему 6.4, определить преобразование Т, редуцирую­

щее систему в задаче

5.2.

метры которых изменяются периодически. В частности,

линей­

ными параметрическими системами с

сосредоточенными

пара­

метрами

называются

системы, частоты

изменения всех

изменя­

ющихся

параметров

которых соразмерны

(т. е. делятся на неко­

x{t)

=

A(t)x{t),

x(t0)

=

x0,

(7.1)

где A (t) — непрерывная

периодическая

с

периодом Т функция,

т. е.

A(t

+ T) =

A(t).

(7.2)

Применяя теорему

2.2,

видим,

что решение уравнения (7. 1)

имеет вид

*(/) = <p(F,*o)*o.

( 7 - 3)

где ф(^, А))—одномерная переходная матрица,

определяемая

формулой

t

-?(ЛО =

ехр f

Л(л)с?Л.

(7.4)

'о

Для простоты введем обозначение

¥о(Л = <р(/,/0)|/0=о =

ехр

A {f\)di\

(7. 5)

Тогда при /0 = 0

x(t) =

40{t)x0.

(7. 6)

Подставляя t+T

вместо /, получим

x(t

+

T)=y0(t-\-T)x0.

(7.7)

Но из выражения

(7. 4)

следует, что

%(H-7') =

t+т

= exp

t

t+т

(7.8)

exp f

A{vi)dri

f Л(т|)агГ) exp

{ A{r\)dr\.

Поскольку

A(t)—периодическая

с периодом

T функция,

второй

t +T

ехр ' A{y\)dy\ = C.

(7.9)

t

Таким образом, установлено следующее важное

свойство

переходной матрицы первого порядка:

%

( / + Г) = С % ( / ) ,

(7.10)

Подставляя равенство (7.10) в уравнение (7.7),

получим

уравнение

x(t

+ T) = C<?0(t)x0,

(7.11)

которое при подстановке

равенства (7.6) переходит

в следую­

щее уравнение:

x(t + T) = Cx{t).

(7.12)

щемся в результате многократного применения

соотношения

(7. 12), т. е. на соотношении

x{t-\-nT)=C*x{t).

(7.13)

j A{y\)dr\ = Q.

(7. 14)

limx(t)==limx(t

+ nT) = l\mCnx (t) = 0.

(7. 15)

\С\-

exp

j" А (т|) dr\< 1 .

(7. 16)

х(/) = А ( 0 х ( / ) ,

x(f0)

=

x0,

(7.17)

где А(^) —непрерывная периодическая

с

периодом Т матрица,

т. е.

A{t + T) =

A(t).

(7.18)

Решение, выраженное

через

переходную

матрицу, имеет

вид

Х(7)

= <Р(Л'О)Х0 .

( 7 Л 9 )

ср0 (/)=,ср(/,0).

(7.20)

Тогда при А) = 0

х(Л = ? о(Ох 0 .

(7.21)

вуют такие периодическая с периодом Т неособая

матрица

R(/)

и постоянная матрица Г, что

cp0(/) =

R(0exp(r/).

(7.22)

Доказательство. Так как фундаментальная

матрица

удовле­

творяет системе

дифференциальных

уравнений,

т. е.

ф о ( 0 = =

= Л(/)фо(0, можно записать

9o(t + T) = A(t + T)<f0(t + T) = A(t)<f0(t

+ T).

(7.23)

Таким образом, матрица q>(t + T)

также удовлетворяет

систе­

ме дифференциальных

уравнений

и,

следовательно,

является

фундаментальной

матрицей.

В

соответствии с теоремой 2. 6 две

фундаментальные

мат­

рицы

фо(0 и ф о ^ + Г )

могут

быть

связаны через

неособую по­

стоянную матрицу С:

<Р0(/ +

Г) =

ср0(0;С.

(7.24)

Определим матрицу Г равенством

С =

ехр (Г Т).

(7.25)

Тогда

?о(' +

Г" = <Р</Оехр(ГТ).

(7.26)

Определим далее матрицу R(/)

равенством

R

ехр ( - Г * ) .

'

(7.27)

С учетом выражения

(7. 26)

уравнение

(7. 27)

можно

записать

в виде

или

R (/ + Т) = ср0

(t) ехр (Г Т) ехр ( -

Г Т) ехр ( -

Г t),

(7. 28)

R p + 7-) =

<p„(/)exp( - r0 .

(7.29)

Сравнение уравнений

(7. 27) и

(7. 29) доказывает, что

R(t

+ T)=R(t).

(7.30)

x(t + T)^k{t)x{t-\-T).

(7.31)

Другими словами, если x(t) •—решение

дифференциального

уравнения, то решением является

и x(t

+ T). Из

уравнения

(7. 20)

видно, что

?о(0) =

1я .

(7.32)

Учитывая это в уравнении (7. 24), получим

%(Г) = С.

(7.33)

Эта

величина называется дискретной

переходной

матрицей.

?„(АП = С*.

(7.34)

Подставляя

равенство (7.34) в уравнение (7.21), получим

x(kT) = 9o(kT)

х0 ,

(7.35)

х(£Г) = С*х0,

или, что эквивалентно,

х(Л7)-[ехр(ГТ)]*х0 .

(7-33)

Уравнение

(7. 35) можно записать в виде

х [(k + l)T\ = СС*х0 =

С? 0 (kT) х0 .

(7. 37)

Подставляя

в это уравнение

равенство (7.35),

получим

x[{k-\-\)T\

= Cx{kT).

(7.38)

Уравнение

(7. 38) является

очень

важным результатом тео­

стно на каком-либо интервале [t,

t + T], равном

периоду, то оно

может быть найдено для всех других значений

t. Если решение

известно для некоторого

момента

времени, то оно может

быть

определено и для других

моментов времени, разделенных

интер­

валом, кратным периоду

Т. Легко

видеть, что решение является

цы С и, следовательно, от матрицы Г,

определяемой

из

матри­

цы

С согласно

уравнению

(7.25). Используя теорему

Сильвест­

ра *, можно уравнения

(7. 35)

и (7. 36)

записать в виде **

x(kT)--

2

ер*

Х<у>

(7. 39а).

/=0

x{kT)--

У

<??

Ъ,,

(7.

396)

(=1

где

Ъс1

и Z T / — постоянные

матрицы,

сь

1=1,...,

л — с о б с т в е н ­

ные

значения

дискретной

переходной

матрицы,

называемые

характеристическими

корнями,

и

\г, г = 1 , . . . , п — собственные'

значения

матрицы

Г, называемые

характеристическими

экспо­

нентами. Таким образом, периодическая система,

описываемая

уравнением (7.17), асимптотически

устойчива и имеет

ограничен­

ный переходный процесс тогда и только

тогда,

когда:

1)

все характеристические

экспоненты у;,

i=l,...,

п

имеют

отрицательные действительные части

или

/ = 1 , . . ., п лежат

2) все характеристические корни с,,

внутри

круга единичного радиуса.

7. 3. АППРОКСИМАЦИЯ

ДИСКРЕТНОЙ

ПЕРЕХОДНОЙ МАТРИЦЫ

[7]

Полученные в последнем разделе результаты

показывают,

что при изучении периодических систем

дискретная

переходная

матрица

С имеет важное значение. Поскольку, однако, С =

(р0(Т)г

создается

впечатление,

что для

определения С требуется

знание

стно, представляет нелегкую задачу. Далее

излагается

простой

способ

аппроксимации

дискретной переходной матрицы

С =

= фо(7'),

дающий для

многих практических

задач хорошие

ре­

зультаты. Способ заключается в следующем:

* См. сноску на стр. 35.

** Уравнения (7. 38) и

(7. 39) справедливы лишь

при различных

собствен­

1. Разделяем

первый период (О, Т) на m

подынтервалов

( 4 - ь 4 ) , k= 1, . . ., m, т. е.

m

Т = ^ТЛ,

(7.40)

где

Тк=^-^-1г

(7.41)

причем /0 = 0 и tm

= T.

t.

1 \* A(t)dt.

(7.42)

<Pfc(0

= Afc<pft(/').

k = l,...t

m,

^

t

' ^ t - t ^ )

€[0,7-,].

<P*('*-i) =

¥*-i('ft-i).

( 7 - 4 4 )

или при выражении через время V, определяемое отдельно для

каждого подынтервала,

где

<Рй(0) = <рА _1 (ГА _1 ), T i ( 0 ) - % ( 0 ) ,

(7.45)

СР1(0) =

Ф0(0) =

1л .

(7.46)

4. Линейное уравнение (7.43) с

постоянными

коэффициен­

тами имеет решение

% ( / ' ) =

е х р [ А / Ь ( 0 ) .

(7.47)

Следовательно, *

?1 (7'1 ) =

ехр(А1 7'1 )<р1 (0) =

ехр(А 1 7' 1 ) % (0) = ехр(А1 7'1 ), (7.43а)

ср2 (Г2 )=-ехр(А2 7'2 )ср2 (0) =

=

ехр (А2 Г2 ) ? 1 (7\) =

ехр (А2 Г2 ) ехр (АХ ГХ ),

(7. 486)

m

<?m(Tm) = Y[

е х р ( А ^ ) .

(7.48в)

Поскольку, однако,

ф т ( Г т ) = ф 0 ( Г ) ,

то

искомая

формула,

ап­

проксимирующая

дискретную

переходную

матрицу,

имеет

вид*

С =

ехр[ГП = ? 0 ( П =

П

exp(Aft7Y).

(7. 49)

Следует

отметить,

что если

матрица

A(t)

кусочно-постоянна,

т. е. A(t)=Ak

на

интервале

(tk-u

4 ) , то уравнение

(7.49)

точ­

но выражает дискретную переходную

матрицу.

Пример 7. 1.

Рассмотрим скалярную пе­

риодическую систему второго порядка, опи­

Fit)

сываемую

уравнением

сР-х (О

dx

Л,

— Г ! +

dt

+ *(0 = 0,

Т/2

dt2-

где F(t)—периодическая

с

периодом

Т

функция,

представленная

на рис. 7. 1.

Вводя

обозначения

X\(t)=x(t)

и

Xi(t)=x(t),

можно уравнение

второго по­

рядка записать в виде

матричного

уравне­

Рис. 7.1. Переменный коэф­

ния относительно

переменных

состояния:

фициент F(t)

в примере

7. 1

О

1

xi

(О

> 2

(0.

• 1 — F V)

L*2 «)

Интервал (0,

7)

разделяется

на два

подынтервала ^0,

~ ^ ~ J и у~2~'

7-1

Т

А, =

О

1

= 1 Г '

— 1

А, ] '

А 2 =

Г 2

•Аг J

О

1

: ехр

1

1~~-(hi+h2)

• ехр (Г7-),

откуда находим

О

Г

=

— 1

Собственные значения

матрицы

Г легко

найти,

решив

относительно у

уравнение det( Г — yl2 ) =0 .

* В выражении С, а также в

формулах

(7, 48 в), (7, 49)

допущена не­

точность. Должно

быть

С=ехр

(А2 Т2 ) ехр (AiTi),

а в

общем

случае

П ехр (Аа 7Й). Кроме

того,

expfA^,)

ехр (А2 Г2 )=?ь ехр ( А ^ + АгГг).

Оконча-