книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

—

\nx(t)--

1

dx

(t)

dt '

dt

x

(t)

можно однородное уравнение

X (t(l)=

XQ

(2.3)

записать в виде

_fL l n

j c (/) +

-

^

= О,

(2.4)

dt

a0

{t)

если только x(t) и ao(0

не обращаются в нуль.

Интегрируя уравнение

(2. 4), получим

•5 Мч)

(2. 5)

л ( 0 = е х р

«1 Оч)

(2.6)

Определяя q>(t, t0) выражением

<р(*Л) = ехр

«1 (1)

(2.7)

<*О OL)

получим

(2.8)

Решение неоднородного

уравнения

(2. 1)

легко найти, если

ввести уравнение, сопряженное

уравнению (2. 3):

x*(t)—^-x*(t)

=

0.

(2.9)

а0

(О

Для удобства

в качестве

начального

условия примем

1.

(2.10)

Из уравнений (2.6) и (2.7) находим, что решение

уравне­

ния

(2. 9) имеет вид

I

х*

(/) = ехр

<*1 (1)

= <Р('о, 0-

( 2 . П )

Теперь можно получить решение

уравнения

(2. 1), если

учесть,

что

произведение

x(t)x*(t)

удовлетворяет

линейному

диффе­

ренциальному уравнению

d[x (О •**(')]_=

J C *

(2.12)

Л

4 ' OQ (О

x(t)x*(t) = x{tb)x*(t0)-\-\

x*{x)^-dx.

(2.13)

J

а0 (?)

Деля последнее

уравнение на

х* (t)

и

учитывая

формулу

(2. 11), получаем общее решение дифференциального

уравнения

первого порядка (2. 1)

x(t) = exp

+ ехр

ехр

«I

(*))

afr)

а0 (т)

to

dr.

(2. Н )

а 0 (т)

Принимая во внимание выражение

(2. 7), видим, что

(2.15)

Следовательно,

решение уравнения

(2. 14)

можно

записать в

более простой форме

x(t)

= <?{t, t0)x0-\-\

<?{t,x

Ц(т)

aft.

(2. 16)

оо(т)

Пример 2.1. Найдем решение уравнения

t'x (t) — 2л: (t) = О

при начальном условии

x(t0)=l.

Применяя формулу

(2. 6), получаем решение в виде

руемое решение (2. 14), если только

t0 принадлежит

интервалу

[а, Ь], а ao(t) не принимает нулевых

значений в этом

интервале.

(2.17)

где

«1 (О

A(t)

=

B{t)

=

(2. 18)

М О

М О

Так как A(t) и B(t)

терпят разрыв непрерывности при зна­

чениях t, обращающих

ao(t)

в нуль, существование и единствен­

ность должны быть обеспечены требованием

того, чтобы A(t) и

B(t) были непрерывны

на рассматриваемом

интервале. После

Теорема 2.2. Дифференциальное уравнение

(2.17) при Л (г1),

B(t) и u(t) в виде непрерывных функций на

интервале [а, Ь]

х (() =

t

exp

+ ехр - f J A(r\)dr\

т

|t

exp

- J Л(т]) dr\ B(x)u{x)dx=

^0

J

^0

L

to

= <f{t,t0)xo-\-^

o(t,x)B(x)u{x)dx,

(2.19)

to

x(t) = A{t)x(()-j-B(t)u(t),

x(t0) = x0,

(2.20)

y(t)

=

C(t)x(t),

решение у (t)

имеет вид

y{t) =

C (/) ср (*,./„) х0

+

j

С (t) ср (t, х) В (х) и (х) dx.

(2.21)

Вводя обозначение

Q[{t;x)

=

C(x)<f(t,x)B{x),

(2.22)

получим

y(t) =

C(t)9(t,(t

2

(t,x)u{x)dx.

(2.23)

ловия. Как будет показано далее,

функции

ср(^,

т) и

Q(t, т)

являются

соответственно переходной

матрицей

и

импульсной

переходной

матрицей

первого

порядка. Свойства

зтих

матрич­

ных функций будут

подробно

рассмотрены.

* i

W =

« и (t)x1(t) +

...+

аы

(/) хп (/) +

Ьп

(/) и± (0 + . . . +

Ьш

(0 ит (0

Хп

W =

«л! W ХХ

(0 +

• • • + апп W X„(t) + Ьн1

(*)«!(/) + ... +

Ьпт

(t)tlm(t),

(2.

24)

где выходы определяются

соотношениями

Ух(•/) =

си it)хх

(t)-f... +

с1я

(/)хп(0

+

du{t)их(/)

+ . . . +

dlm(t)um(t),

yr(t)=crl(t)x1(t)

+

... +

crn

(/) хя(1)

+

+ drl

(t) a, (/) + ...

(t) um

(t).

(2. 25)

x(*) =

A ( 0 x ( * ) + B(*)u(/),

(2.26)

где А(/), B(t),

С (t) и D(/) —соответственно

матрицы типа

п-У^п,

а х ( 0 , и (0 и

y(t)

— n-, т- и

/г X т > Г X tt и

Г

Х т '

г-векторы.

Системы с несколькими

входами и выходами, в данном случае с

т входами и г выходами, будем называть многомерными.

Рас­

сматривая произведение

B(t)u(t)

как один

/г-вектор

f(t),

запи­

сываем уравнения (2. 26) в виде

x(n---A[7)x(/) + f(0,

(2. 27)

y(/)=.-C(/)x(0 + D(/)u(0.

Во многих современных работах по теории

автоматического

управления вектор х(/) называется вектором

состояния,

а урав­

нения (2. 26) и (2. 27) — уравнениями

состояния.

Часто бывает,

что система n-го порядка

с

одним

входом и

одним

выходом,

т. е. скалярная

система,

описывается

одним

обыкновенным

линейным

дифференциальным

уравнением

га-го порядка

«*(t)ywV)

+ ai(t)yln-14t)

+

- + a«V)y(t)

=

= PeWr<»>(0 + ..- +

P „ W - W ,

(2-28)

где у(t)

—скалярный выход, г(t)

•—скалярный

вход, a

—

производные по времени г'-го порядка. При проведении

анализа

правую

часть

уравнения

(2. 28) можно рассматривать

как одну

возмущающую

функцию u(t).

Тогда

скалярное

дифференциаль­

ное уравнение принимает вид

^{t)yw{t)

+ a1{t)y^{t)

+

...-Yan{t)y{t)^u{t).

(2.29)

Вводя линейный дифференциальный оператор

/: ^

а„ (0 —

+

ох (/)

+ • • • + « »

W ,

(2.30)

dt

dt"-1

можно уравнение

(2. 29)

переписать

в более

простой

форме

Xl{f) = yV-V{t), /==1,2, ... , л.

(2.32)

x1{t)

=

x2(t)

x2(t)

=

x3(t)

(2.33а)

х(/) = А(0х(*) + Ь ( 0 » ( 0 .

(2.34)

г/(0 =

с(/)х(/),

* При такой записи необходимо

получать функцию u{t),

представляющую

собой сумму производных действительного входного сигнала

и (О = Ро (О /-( я ) (0 + • • • + К (О г (О-

(2. ЗЗА)

С точки зрения физической

реализации это означает, что в дополнение к п ин­

теграторам, необходимым для моделирования

системы n-го порядка,

требуется

п дифференциаторов для получения u(t).

Кроме

того, при данной

форме за­

писи

решение

задачи

управления

сопряжено

с

неудобством

рассмотрения

управляющей

функции

u(t)

как функции,

связанной с действительным вход­

ным

сигналом

r(t) соотношением

(2. ЗЗА). Этих трудностей

можно

избежать,

рассматривая другую,

более удобную, форму

уравнений

состояния

x(t)

=

k(t)x(t)+br(t)

(2. ЗЗБ)

у (О = с (0 х (О + d (0 г

(f).

Можно показать (см. задачу 2. 16), что при такой форме

записи

А(^) и с(^)

определяются выражениями

(2. 35), в то время как

• Ьх

(t)

h(t)

ь'(/)

= |

(2. 33В)

bn (t)

_

Здесь

bQ (0 ==

«о (О '

i - \

t-j

*/ (О =

h (О -

2

£

« г

ч

-

(2. ЗЗГ)

«о (О

;-0

ft-0

(2.33Д)

Уравнение

состояния,

содержащее

матрицу

A(t)

вида

(2.35а), называется каноническим уравнением в фазовых

коор­

динатах.

Уравнение (2.28)

эквивалентно

уравнениям

(2. ЗЗБ)

и (2.34), которые, в свою очередь, являются частным

случаем

уравнений

состояния (2.27).

Поэтому любой результат,

дока­

занный

для уравнений состояния (2.27),

справедлив

для

урав­

нений

(2. ЗЗБ)

и (2.34), а следовательно,

и для их

скалярного

x(t) =

A(t)x(t),

х(/0 ) = х0 .

(2.38)

нородной системы.

Теорема 2.3. Пусть А(^) —матрица типа

пХп

с элементами

aij{i),

i, / = 1 , 2, ... , п в

виде

непрерывных

на интервале [а, Ь]

функций. Тогда на интервале [а, Ь] существует

единственный

непрерывно дифференцируемый д-вектор

х(^),

удовлетворяю­

щий

уравнению

(2.38), если

только t0

принадлежит

интерва­

лу [а, Ь].

Доказательство. Предполагая, что вектор x(t)

удовлетворяет

условиям теоремы 2. 3, перепишем

уравнение (2. 38) в виде

t

х [t) =

хо +

J" A (t) х (t) dr.

(2. 39)

to

* Было бы очень желательно результаты, полученные для скалярного

диф­

ференциального уравнения первого порядка

х (0 =

A (t)x

(t),

Л(0) = ЛГ0

(2.38А)

распространить на

матричное

дифференциальное

уравнение

первого

порядка

(2.38).

Поскольку

теорема 2.2

устанавливает, что решение

скалярного

урав­

нения первого порядка (2. 38А) определяется формулой

х (t)

= ехр

Л (7])йГт)

(2. 38Б)

(2.Э8) определяется аналогичной формулой

х (с) — ехр

А (т))йГт) х0-

(2. 38В)

А (О = 2

Asa* (О.

(2. 38Г)

где а1(1)Фй](Ц

при 1Ф] и А ; А, - =А 3 А{ при всех i и /;

в) эквивалентное условие B(t)B(t)

—

B(t)B(t),

(2. 38Д)

где B(t)=\

A(t)dt.

Поскольку

A(t)

и x(t) непрерывны, j

A(x)x(x)dx—диф-

ференцируемая

функция и, следовательно,

вектор x(t),

опреде­

ляемый выражением

(2.39), дифференцируем. Полагая

в фор­

чальным условиям.

Для удобства

записи

введем следующие обозначения*:

| А ( / ) | = т а х У

\aiJ{t)\,

tt[a,b],

(2.40)

1

U

||А(/)|| =

Л и . 6 . | А (0| ,

(2.41)

t 6[а, Ь]

|х (ОИ max | JC, (0|,

t$\a, Ь],

(2.42)

i

|х

/. и. Ь.\

х

а >

0.

te[a,b]

(2.43)

Заметим, что

|А(^)|

и | х ( / ) | — с к а л я р н ы е

функции

t, в то

время как ||А(£)||

и \\x(t)

[| — скалярные

константы. Из

выраже­

ний (2. 40) и (2. 42) можно видеть, что

| А ( / ) х ( 0 1 < | А ( 0 |

|х(*)|,

(2.44)

а из (2.41) и (2.43) следует, что

| | А ( / ) х (0 | | < | | А ( / ) | |

||х(01|.

(2.45)

Уравнение (2. 42) обосновывает интегральное неравенство

I х 'т)

dx

< j

\x{x)\dx.

(2.46)

to

Гх(/) == |

A{x)x(x)dx.

(2.47)

Пусть U — некоторая

точка

в интервале [а, Ь], подчиняющая­

ся условию ti>to.

Тогда

| Г х & )

( А(т)хОx)dx

< j |А (t) х (t)| dx

<

<0

<

f |A(t)|

|x(t)|rfr.

(2. 48)

* l. и. b. — наименьшая

верхняя

грань (прим. редактора).