книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

сываемой

уравнениями

вида

(6. 16) (для

удобства

обозначения

изменены):

к

it)'

~Aaa(t)

Kbit)

'

X(t)~

1

Ba(t)

u{t), (6.45a)

к

it).

, 0

Abb(t)_

1

о

y(t)=ya(t)

+ yb(t)

=

[Ca(t)Cb(t)]

(6.456)

У {t)=[с*

( / ) о с з ( о о ;

z2

(0

(6.496)

~*lit)"

Ац(')

А 1 2

(/)А 1 3

(/)А 1 4 (Л~

Xi

- в х ( * ) -

х а ( / )

0

А 2 2

(ЛА 2 3

(/)А 2 4 (0

х 2

+

в2 (0

0

0 А3 3 (/)А3 4 (0

х 3

0

CD^

_х4 (0 _

О

О

О

А4 4 (/)_

_ х 4 _

0

- X l ( / r :

у WHO са(*)Ос4

(*)]

(6.506)

x8

(0

_x4W_

х(Л = А(/)х(0 +

Ь(/)и(4

(6.51)

в

каноническую

систему

относительно

фазовых координат

z(t)

=AT(t)z(t)

+bTu(t),

т.

е. в

систему

-о ^

~ 0

1

0

.

.

0

_

0

0

1

0

0

z(/)

=

0

6

i

z(0

+

6

0

_аг

(t) а2

(/) а 3

(/).

_1

_

Принимая во внимание формулу

(Д6. 10), можно первое

уравнение

(6. 4) записать в виде

AT[t) =

\Qrc(t) Q7 1 (t)A(t)- dQ7l (О

dt J

dt

(6. 53)

А ( Л = - Q 7 1 ( 0 [ - А ( Л Q e

( t ) + ]

=

=

- Q71

( Л

д с О с (0 = -

Q71

(0 Q a c

( Л ,

(6.63)

где

Олс (0 =

Д А ( Л .

(6.64)

Подстановка

уравнения (6. 53)

в уравнение

(6.60)

дает

QTAC

( Л = Т ( Л е Ц ( Л =

- Q R , (/) А (Л.

(6.65)

Решение поставленной задачи основывается на использова­

нии уравнений (6.63) и (6.65).

Принимая

во внимание, что

Q.71 (Л Q.C (t) = ln,

будем

иметь

"00...

0

1

0

0

• А ( Л = О Г 1

( Л ( * А Е ( Л =

0 1 0

_00...'

1

- R n i t ) _

= [е2 , е 3 , . . . ,

е

:(Л],

(6.66)

где е,- — /-й

столбец

единичной

матрицы,

a

g(t)

=[gi(t),...

gn{t)Y-

Таким

образом,

А(Л

и,

следовательно, g(t)

непо­

ражение

(6.66) в уравнении (6.65),

получим

О г л Д Л = - 0 Г с А ( Л ,

(6. 67)

или

[Дт-Д, Дгс Ьт, . . .,

д£с Ьг ) =

=

[Ьг ,

& Т е Ъ т , ь п т - \ ] [ е а > . . . ,

е„, - g (Л] =

=

[ д Г с Ь г . • • •.

-QTcu(t)}.

(6.68)

Таким образом,

b T c ( t ) b T = - Q T e ( t ) s ( t ) .

(6.69)

Можно

показать, что уравнение (6. 69) применимо для опре­

деления коэффициентов а;(Л, t=l

п, являющихся элемента­

ми матрицы А Г ( Л и, следовательно,

для

нахождения

искомой

Пример 6. 2.

Предположим,

что

матрица

g (t)=[g^t),

giit),

gb(t)]' най­

дена в соответствии

с уравнением (6.66) и что необходимо

определить маг

рицу AT(t)

и обусловливающую

ее преобразующую

матрицу

T(t). Имеем

0

1

0

(Г

А г (О =

0

0

1

, ь г

= 0

_ах

(t) а2

(О а3 (t)_

1

откуда

-|

-

0

"1

±ГсЬг

=

— 1

•

4 Л =

a\(t) -a3(t)

_

_ - а з ( 0 .

a2(t)

+

-

а3

(О

~ я 2

(t)-4

(О -j-2a3(0

-

fll

(0 — 2д 2 (0 Дз (О -

<*з (0 + 3 « з (0 «з (0 + а2

(()

— я'з

0

О

1

Q M O = | 0 - 1

«з ( 0

1 — М О

«2 (О + а\ (0 — «з(0

Q'/c(0g (0 =

£з (О

-

£ 2 (О + а3 (t) g3

(t)

gi

(0 - g2 (0 «з (0 +

£в (0 «2 (0 +

# з (0 4

(О -

ft

(0 вз(0.

Тогда уравнение

(6. 69)

дает

~~ — а3

— а2 — а\

+ 2а3

— а.\ — 2 д 2 а 3 — а\ + За3а3

+ а2—

а3

— §'2 +

a3g3

gi — gia3

+ £з«2 + g&l

— £з«з

Часто бывает полезно стационарную систему

х(*) =

А х ( * ) + Ь и ( / )

(6.70)

привести к диагональной форме

z(/) = Az(/) +

b r « ( ; ) ,

(6.71)

где (считая, что собственные значения Xit

Я г , . . . ,

Хп различны)

Хх

0 . . . О

А =

о Х2 . . . о

(6. 72а)

о

о... х„

Г

1

1

(6. 726)

!

i

В соответствии

с формулой

(Д6. 10)

требующаяся

матрица

преобразования

"1 - Х , . . ^ - ^ ) » - 1 "

А ) " - ^ ] - ! .

(6.73)

" [b,

- A b , . . .

1 —X.

(-КГ-Ч

Пример 6. 3. Система

J5_

2

~х{

Л -

Х2

J

_

,х2.

2

имеет собственные значения Xi=—1, Я 2 = — 2 .

(6.73),

диагонализирующая

Следовательно, в

соответствии с

формулой

систему матрица преобразования

1

—•

— 1 3

Т =

1 1

1 2

— 5 5

_5_

— 1 3

2

— 1

0

ТАТ - 1 = —

0

—2

5 - 5 5

_5_

2

6. 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [15]

Если для рассматриваемых систем

матрицы

управляемости

Q c ( / )

и наблюдаемости

Qo(t) существуют, то эти

матрицы могут

быть

использованы при

исследовании

алгебраической эквива­

< М 0 ^

| S} { t

)

[КМ,

R . d ) , R ; _ !

(^)],

(6. 77)

s;_i(oJ

определим матрицу

эквивалентности

y(t)

как

Y(0 = Qn + i,„+i(0.

(6.78)

Теорема 6. 5. Две аналитические

системы минимального

по­

рядка [А(/), В ( 0 ,

C(t)]

и [ А г ( 0 ,

В г ( / ) ,

С г (/)]

алгебраически

эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы

эквива­

лентности равны, т. е. когда y(t)

=yr(t).

Доказательство.

Необходимость.

Из

уравнений

(6. 14)

и

г

(6. 15) следует, что если [А(/), B(t),

C(t)]— 4 А Г ( / ) , в г ( о ,

С(/)],

то

R „ W = T ( 0 R f t ,

(6.

79)

Поэтому в соответствии с

уравнениями (6.78)

и

(6.79)

Y(0=Yr (*)-

y(t) =

Достаточность обосновывается

показом того, что

если

= Y r ( 0 , т 0

существует матрица

T(t), с помощью которой

осуще-

т

ствляется

преобразование [А(П,

В(t), C(t)]—НАГ(Л,

Br(t),

А 7 . =

А (Л =

0.

(6.80)

Нетрудно видеть, что если

y(t)=yT(t),

то

%№Л*)=<1'г0№тЛ*)-

(6.81)

Если А (Л = 0,

то R f t + i W = R*W и

Q c ( 0 = - £ - [ R o W , R i W , - - . ,

R„-iW] = [RiW, R a W,• • • - R«W1-

at

(6 . 82)

Следовательно,

QoWQ f (0 = QroWQr c (0.

(6-83)

Обозначим

порядок обеих

систем

через п. Так как

системы

минимального

порядка, то они управляемы и наблюдаемы, т. е.

матрицы

Qr.{t),

Qo(t), Q/C{t),

Qro(t)

имеют ранг п на некотором

конечном

подынтервале интервала ( — с о , со) и вследствие пред­

(6 . 81)

на Qro(t)

и произведя

некоторые

преобразования, по­

лучим:

Qr, (Л =

№то (Л Q;o (Л]"1 0™ (Л % (Л}

( Л = т (л Qc (Л-

(6.84)

Отсюда

находим, что матрица

эквивалентного

преобразо­

вания

т ( Л = I Q 7 0

(Л Q r o (О]-1 Qro (Л Qo (Л-

(6.85)

Аналогичным

образом,

умножив

слева

уравнение

(6. 83) на

QTo(t)

и произведя такие же выкладки, найдем

а г д л = т ( л Х ( л .

16.86)

Сравнение уравнений (6.84)

и (6.86)

показывает, что Т (Л =

= 0 и, следовательно, матрица

Т (Л постоянная*,

т. е. Т ( Л = Т .

Поэтому

0 Г С ( Л = ТО С ( Л

(6.87)

и, как можно видеть при подстановке выражения

(6. 87) в урав­

нение (6. 81),

QroW = (T-1 )'QoW-

(6-88)

* Заметим, что факт постоянства

матрицы T(t)

является

прямым след­

ствием

неограничительного упрощения,

вытекающего из

предположения

А г ( 0 = А ( * ) = 0 .

Из уравнений

(6. 87)

и (6. 88)

вытекает, что

ВГ(П

ТВ(/),

89)

с г ( о

(6.

чем доказывается

теорема.

Метод определения

алгебраической эквивалентности систем

рования

систем

(со

стороны

входа и выхода), устанавливаемы?

теоремой 6. 1.

Теорема 6. 6.

Аналитическая

система [A(t),

B(t),

C(t)]

поряд­

ка п алгебраически эквивалентна системе [AT(t),

В г (^),

С т ( / ) ] ,

также имеющей порядок п и характеризуемой тем, что

AT(t)

ATll(t)

0

AT13{t)

0

0

Агзз

(/)

ВГ1

(t)'

0 Cr ,(/)],

(6.90)

BT{t)=

BTZ(t)

CT{t)

= [Cri(t)

.

о

J

и тем,

что

подсистема

[Arii((),

q

BTi(t),

CTi(t)]

является

мини­

мальной

системой

порядка

(и, следовательно,

эквивалентна

равновесной минимальной

системе порядка

q)

тогда

и

только

тогда, когда Qnn(t)

имеет ранг q.

Доказагельсгво .

Необходимость

доказывается

показом

то­

го, что матрица

QTn„(t),

соответствующая

системе

[AT(t),

BT{t),

Сг (/)], имеет ранг

q.

Образуя

матрицу

0 ^ ( 0

=

^ 0 ( 0

Q r r M

и 3

элементов

матриц

управляемости

и наблюдаемости

трех

подсис­

тем [ А т

(*), ВГ 1 (/),

C n ( / ) I ,

[АГМ

Bn(t),

0 ] , [AT3a(t),

0,

С г з ,

(t)],

можно

видеть, что

часть матрицы Qrnn{t)

из

qX.q

элементов

в

ее верхнем

левом углу

является

матрицей

0.и{()

ранга

q.

Матрицы

Qlc(t)

и Q 1 0 ( / )

есть

матрицы

управляемости

и

наблю-

дяемости

системы

[ А т ( / ) ,

ВГ 1 (/), С п ( / ) ] .

Достаточность

обосновывается показом того, что если ранг

Qnn(t)=q,

то существует

такая преобразующая матрица

Т(t),

что

[A(t),

B{t),

С(/)]Д.[АГ (/),

BT{t),

CT(t)].

Предполагая,

что

^ < я

есть

ранг

матрицы

управляемости Qc(t),

можно использовать

тео­

рему

6.1

для редуцирования

системы [A(t),

B(t),

С(/)]

со

сторо-

В(/), C(t)]%[A(t),

В(/), С (0],

где

A{t)

=

Лц (О

А 1 2

(/)

О

А 2 2 ( 0

о

(6.91)

Аналогичным

образом, предполагая,

что qo^qc есть

ранг

матрицы наблюдаемости

системы

[А ц (/), В\(/), С1 (^)],

можно,

роны выхода, т. е. найти

такую

матрицу

Т*(/), что

[А и (/),

В Х (/),

C J / J U I A W ,

В(/),

ОД,

где

(/)

О

A(t) =

[t)

Атп

(t)

I

7-21

В

Г 1 ( / )

C(t)

=

[CT1(t)

0].

(6.

92)

В ( 0 =

L B r a ( 0

Поэтому система

[Arii(t),

В г 1 ( / ) ,

Сг 1 (^)]

имеет

порядок

q0,

T0(t)

о

(6.

93)

0

1

получим

[ А ( 0 ,

§(/),

С (0]!4 [А Г (0 ,

В г ( 0 .

Сг (01-

Следовательно,

эквивалентное

преобразование с

помощью

матрицы

T(t) =

T0(t)Te(t)

(6. 94)

приводит к желаемому результату, а именно:

[A(t),

В(/),

т

BT(t),

Cr(t)].

(6.

95)

C(t)]±>[AT(t),

Уравнения (6. 77) и

(6. 79)

показывают,

что если

две систе­

мы связаны уравнением

(6.95), то

Сб. 96)

Поэтому

(6.

97)