книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

цирования

сводится к извлечению

абсолютно

управляемых и

абсолютно

наблюдаемых

частей

системы

двумя

различными

действиями.

Эти действия

дают

повод для определения

реду-

цируемости

со стороны входа

и редуцируемости

со стороны вы­

хода.

редуцируема

(со

стороны

входа)

Определение 6. 1. Система

на интервале [t0, tf] до порядка k^n,

но не ниже,

если сущест­

вует такое

эквивалентное

преобразование

z(t)

=Т (t)x(t),

что

~4(t)

А ц

( 0

А12(Л"

zx

(if

4-

и (Л,

(6.161

О

А2 2 (Л

(Л

.4

0

У (Л =

Yi (Л + У2 (0 =

[Сх (Л С2 (Л] г (Л

и подсистема &-го порядка

21 (Л=А1 1 (Л21 (Л+в1 (Ли(Л,

(6.17)

у ^ Л ^ В Д М Л

абсолютно управляема

на любом

конечном

подынтервале

fo, hi

альный характер.

Система редуцируема

(со стороны

выхода)

Определение 6. 2.

на интервале [t0, tf]

до порядка k^n,

но не ниже, если сущест­

вует такое

эквивалентное

преобразование

w(t)

=T(t)x(t),

что

Ч

(л'

АП (Л

О

+

Вх(Л

и(Л,

(6.18)

w2 (Л

АЯ 1 (Л А2 2 (Л

в2 (Л

Преобразуем систему

х ( Л = А ( Л х ( Л + В(Ли(Л,

(6.20)

У ( Л = С ( Л х ( Л

при

помощи неособого преобразования z(t) =Т (t)x(t) в систе­

му

(6.16), редуцированную со стороны входа. Так как редуциро­

Q r ,(0 = T ( 0 Q c

(Л =

о

(6.21)

где Q T C 1 — (kXnm)-матрица,

имеющая ранг k.

преобразование

z(t)

Теорема 6. 1. Если

существует такое неособое

= Т ( Л х ( Л , что

о

(6.22)

где

Q T C I ( 0

имеет ранг k

почти

везде,

то

исходная

система ре­

дуцируема со стороны входа до абсолютно

управляемой

подси­

стемы k-то порядка.

Доказательство. В общем случае преобразованная

система

имеет вид

zx{t)

А Ц ( Л

А1 а (Л"

1

В ^Л'

и (Л.

(6.23)

М<)

А2 1 (Л

А М ( Л

Mt)

т

в а ( 0

Система будет редуцированной со стороны входа, если оп­

ределяемая

выражением

(6.22)

матрица

0 Т с

(Л

приводит к

А 2 1 ( Л = 0 и В 2 ( Л = 0 .

Образование матрицы управляемости QTc

(t)

из

преобразо­

ванной системы (6.23) показывает, что матрица

Q Rс

(Л

имеет

вид

(6. 22) в том случае, если

Q r ^ I B ^ ) ,

д ^ л , . . . ,

д -

^

л ]

(6. 24)

В2 (Л = А2 1 (Л В, (Л = А2 1

(Л Д ^ ^ (/) =

= А2 1 (Л д«-"В1 (Л = 0,

(6.25)

где

А г е 1

( 0 = - А 1 1 ( 0 +

- ^ Г

.

(6.26)

Таким образом

В2 (Л = 0

(6.27)

А и ( Л [ В 1 ( 0 , Д Г с 1

В , ( / ) , . . . , д«-«В1 (Л] =

0.

(6.28)

Но

если

k<Cn,

то

k — I < п — 2.

Следовательно,

ранг

0 Г с 1 - р а н г

[ В , ! / ) , Д ^ В ^ ) , . . . , Д ^ В ^ / Л - р а н г

[BL (t), Д т

ВГ (/),...

Д * ~ 1 В 1 ( 0 ] = р а н г [ B i W , Д г , 1 В 1 ( 0 , . . . , Д п г - а В 1 ( 0 ] = *

п о ч т и

везде. Отсюда

вытекает,

что

A21(t) — 0.

Теорема

6.2. Матрица

T(t),

удовлетворяющая

условиям тео­

ремы 6. 1, существует тогда и только тогда, когда Qr.(t)

имеет

ранг k почти везде и первые km

столбцов Qc(t)

могут быть пред­

ставлены в виде произведения Rk(t)Qc.k{t),

г Д е

Rfc(0 —

[пХЩ-

матрица, имеющая

ранг

k

почти везде, и

(kxkm)-матрица

Qrh(t)

и произведение Rh(t)QCh(t)

имеют

ранг

k

почти везде.

Доказательство. Достаточность. Предположим, что первые

km столбцов матрицы Qc(t)

представимы

в виде

произведения

Rk(t)Qch(t),T.

е.

Так

как согласно

уравнению (6.14) Q R C

(t) = T (t)Qc (t),

то

QrAt) =

T(t)[Rk(t)Qck(t),

Q ; W ] - = [ T ( / ) R A ( / ) Q C F T ( / ) , T (*)<£(*)] =

о

,

T(*)Q!(*)

(6.35)

(п — k) строк матрицы

Q,*W'j

равны нулю, то и последние

о

(п — k)

строк матрицы

также

должны

равняться

нулю, т. е.

о

о

(6. 36}

Поэтому

Qrf l

(6.

37}

Необходимость.

.. 0

I

Необходимость

доказывается

от

противного.

Предположим,

что

Q r (t)

имеет форму (6. 21) и что

или

Пранг

Qf (*)>*.

и л и р а н г 2 ^ Л 0 < ^ и л и З ^ Д ; ) # [ а д ( Ы 0 ,

где Rk(t)

QC i(0 имеет ранг £ (так что Rk{t)

и Qc f t (/) имеют ранг

k).

1. Если

ранг Qc (/)>•£, т

о

неособое преобразование

Qy- (0

=

= T(/)Qc (0 не может привести

к форме (6. 21),

т. е.

Q r

(/)

долж-

на иметь более чем k ненулевых

строк,

что

отвергает

предпо­

ложение

1).

Qc{t)-<^k,

2. Если

ранг

то

неособое

преобразование

Q r

(^)

=

= -T(/)QC (/) не может привести к

форме

(6.21),

т. е. Q r

(/)

не

может иметь ранг

k, что и отвергает предположение

2).

3. Разделим Qc(t)

следующим

образом:

Qc{t)

=

[Qco(t)

Q*Wb

где Qc 0 (0

представляет собой

первые &т

столбцов

Qc (0-

Тогда

Теорема

6. 3. Система

редуцируема до абсолютно

управляе­

мой системы

порядка k^.n

тогда и только тогда, когда

Qc(t)

имеет ранг

k

почти везде и когда первые km столбцов

Qc(t)

мо­

ляется понятие обобщенного обращения

прямоугольной матрицы.

Некоторые обобщения. Д6.1

П с е в д о о б р а щ е н ие и обобщенное

обращение [7, 9,

10]

Определение Д6.1. Матрица А" называется псевдообращенной

по отношению к прямоугольной (не

обязательно

квадратной)

матрице А, если *

(Д6. 1)

АА"А = А.

Определение Д6. 2. Матрица

А+ называется обобщенным об­

ращением прямоугольной (не

обязательно квадратной)

матри­

цы А, если

А А + А = А,

(Д6.2)

A + A A - - - A + ,

(Д6.3)

( А А + ) ' ^ А А + ,

(Д6.4)

(А+А)' =

А+А.

(Д6.5)

ствует одна и только одна

матрица А+, одновременно удовлетво­

ряющая соотношениям (Д6. 2)

(Дб. 5).

Теорема Д6. 2. Рассмотрим

алгебраическое уравнение А х = Ь ,

Пусть

х° = А+Ь и х ^ х 0 .

Тогда или

или

И Ах 1

— Ь]1 >

— Ь|1,

(Д6.6)

| | А х 1 - Ь | | = | | А х ° - Ь | | и

Их1]! >

||х°||,

(Д6.7)

где

V X,

Таким образом, х°=А+Ь представляет собой решение урав­

нения

Ах = Ь,

если

оно существует, и

дает

наилучшее

прибли­

женное решение, если точное решение не сущствует.

Пусть ||А||—норма матрицы А, определяемая формулой

||А||2 = с л е д А ' А - 2 ^ а

^

(Д6'8)

Следствие Д6. 2.

Пусть

t=\j-i

матри­

А"=^А+ — псевдообращение

цы А.

Тогда

||А"|1>ЦА+||.

Следовательно,

в смысле

нормы

следующую развернутую форму:

~1

1

1 -

•*1

1

1

1

=

_1

1

1 -

—

о

А 2 =

О

о

о

J _

О

О

а обобщенное обращение

3 .

" 1

9

А +

=

1

I T

выражениями:

А ; Ь = [ 1 ,

1,

1 ] ' ,

||Ах?" — Ь|| =

0;

Ajb =

[ l ,

1,

1]' .

ЦАх°" —b||

=

0;

A+b =

[ l ,

1,

1]'

||АхО— b|| =

0.

Таким образом, для случая, когда

решение существует,

псевдообращения

(пХпт)-матрицу

W ранга п. Поскольку матрица W имеет ранг

п, (пХп)-матрица

(M^F') также имеет ранг п, так что матрица

3.

= ( W ( W ) - 1 ) ' = I « = I J , = W " ,

4.

( 4 r + , F ) ' = (4f '(4r i F)~: t 4'')' = 4'v (Ч*"^')-1 ^ ^ Ч ^ Ч * *

7(t) =

Qrc(f)Q?(t).

(Дб. ю)

Уравнение

(Д6. 10)

особенно полезно

при нахождении мат­

рицы T(t), преобразующей данную систему уравнений

в некото­

рую желаемую каноническую форму.

Для случая, когда

(птХт)-матрица

Н имеет ранг

т, быва­

ет полезным обобщенное обращение

(Н'Н)- ^ .

(Д6.11)

И в данном

случае

легко

проверить

выполнимость

свойств

(Д6 . 2) - ь(Д6 . 5) :

4. ( Н + Н У ^ Н ' Н ^ Н ' Н У =

4 = I„, =

H+H.

Заметим, что обобщенное

обращение

Н+, определяемое фор­

Теорема 6. 4.

Если Qc (t)

имеет ранг k<,n всюду и субматрица

матрицы Qc(t),

скажем

Qc i(r), также имеет ранг k<Zn всюду, то

система неуправляема

и может быть редуцирована

при помо­

щи преобразования

Т(Л

Ч

0

(6.42)

к абсолютно управляемой

системе

порядка k. В

выражении

(6.42) матрица

Q.t\(t)

представляет

собой обобщенное обраще­

Q r c ( 0 - T ( / ) Q c ( / ) =

о

X

L - Q c 2 ( 0 Q c + i W

К-

X

0

(6.44)

Пример 6. 1. Рассмотрим систему третьего

порядка

с одним входом

~

t—

1

0

— t+

2-

~ r

*2

= — t - 2 1

t + 2

1 и

0

— * +

1_

0_

Матрица управляемости этой системы имеет вид

"11

— *

0

Q, (О

=

11

+

*

2

_0

— {

- 1 .

Эту матрицу можно записать следующим образом:

"

1

г

"0

— f

о-

— 1

1

2

1

1

1

0_

_ — 1_

Следовательно, в соответствии с теоремой

6.2,

преобразующая

матрица

Ti(*), редуцирующая

систему со стороны

входа, определяется выражением

"

1 1

0"

Т Г 1 ( 0

=

[К*,

к»-*]

=

— 1 1

0

1 о

1_

где Rn-k—произвольно

выбираемая

матрица,

придающая матрице

Т пол­

0

— *

- 1 "

1

1

1

В Г ] (0 = T!B =

о

J

1

1

о

—

1 1 0

1

0

1

Так как первый и третий столбцы Qc(t)

образуют субматрицу ранга 2, мож­

но найти другую преобразующую матрицу Т2 (<), имеющую вид

~1

0

0

Т 7 1 it) =

1

2

0

01

1—^0

Qc (t) =

1

2

t 1

0

-1

мое через Qci(0. Qc2(t)

и

(t):

Г1

1— t

01

Q " W

= [ l l + * 2 . '

Q , 2 ( O = [0 -t

- l ] ,

l

l

1

1 — *

0

"1

1

- l

— ^ 1 +

1 — t 1

+t

г

1 - M

2

0

2

1

,0

2

"О

1

ti

— 2t +2

^ 2 + 2

1 — t

I

+ t

—

fi +

2

2 +

2* + 6

0

2