книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез
.pdf(5.98a)
|
|
N.2ft |
|
Bb(t)u(t), |
|
t$\tM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.986) |
|
|
|
M 0 = |
Вс (Ли(Л, |
^[АЛ ] |
|
(5.99a) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5. 996) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t)= |
|
\(t) |
, |
|
|
(5-100) |
|
|
|
|
|
A W . |
|
|
|
|
|
|
ya(0 = y M ( 0 + y a » W - f |
|
|
(5Л01) |
||||
|
Уравнения |
(5. 97) показывают, что подсистема |
Af2o полностью |
||||||
неуправляема |
на [tu |
t2] и полностью наблюдаема |
на [ta, |
4 ] , урав |
|||||
нения (5. 98) — что |
подсистема |
Ыгь полностью |
управляема на |
||||||
[tu |
4 ] и полностью ненаблюдаема на [/3, 4 ] , и уравнения |
(5. 99) — |
|||||||
что |
подсистема Л/2с |
полностью |
|
неуправляема на [ti,. t2] |
и полно |
||||
стью ненаблюдаема на [/3, 4 ] .
5.4.4. Примеры
Пример 5. 7. Обратимся вновь к системе примера 5. 3, являющейся полно- „стью управляемой, полностью наблюдаемой и редуцируемой. Как было пока зано,
О it, х) = [ е « « - П с2 |
it) е * ' - П ] |
*i < т ) ^ " ' Ч = |
Р (О Q (т) |
||
и |
|
|
|
|
|
D (/, т) = е°«-т)еа(г-.) |
= |
р о ( 0 Q o ( т ) _ |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
N (Г, *,) = \ Р 0 |
it) Р 0 (Оrf*= |
[e2a{<f |
Т ) |
- 1 |
|
М Co. т ) = \ |
Qo(x)Q'0ix)dx=—[e 2a(T-t0) |
|
|||
Используя уравнения (5.20) и (5. 24), находим
U (7", tf) = [l, 1],
V № , 7 - ) = [J
160
Правильность этих выражений подтверждается проверкой:
|
|
|
|
|
|
U |
(7\ |
tf)V(t0, |
П |
= |
1. |
|
|
|
|
|||
Найдем теперь эквивалентное преобразование, связывающее эти два раз |
||||||||||||||||||
ложения. Для |
определения |
матрицы |
К |
используем |
первое уравнение ( 5 . 3 4 ) , |
|||||||||||||
Т ' 6 ' |
|
|
|
|
|
|
U ( 7 \ |
tf) |
= |
J K , |
|
|
|
|
|
|||
принимающее при конкретных выражениях матриц вид |
|
|
|
|||||||||||||||
Второе уравнение (5. 34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
У (t0, |
Г ) = = К - и ' |
|
|
|
|
|
||||||
при подстановке конкретных выражений матриц сводится к виду |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
•1 |
I |
_ 1 Г 1 |
— |
|
tel |
[1 |
|
|
|
|
||
где |
= det |
К . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно проверить, что эти уравнения удовлетворяются при |
|
|
||||||||||||||||
т. е. матрицами |
|
|
& = |
0, |
kl |
= |
k2 |
= |
k4 |
= |
1, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 1 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К - |
[ |
о . . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K - I |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
применяя |
уравнение |
( 5 . 5 2 ) , |
придем к |
искомому |
эквивалент |
|||||||||||
ному |
преобразованию, |
связывающему |
разложения Ро(ООо(т) и |
P ( / ) Q ( T ) : |
||||||||||||||
|
|
|
|
Т (t) |
= |
ko |
(t, |
to) |
+ |
\n-no\ |
|
К ч |
(to, |
t) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
ea(ta-t) |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
О |
|
|
|
|
e"Uo-t) |
|
О |
еа(*°~п |
||
|
|
|
|
|
|
т - чо = |
j |
|
|
e-a{t0-t) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
e-a(ta-t) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Т(0 |
= |
Оо |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
Mt0-t) |
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ат |
(0 = Т (t) |
A (t) T - i (0 |
+ |
Т (О Т-1 (t) |
= |
а |
О |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в г ( 0 |
= Т ( О В ( о = \_Ь2 |
(t) |
|
еа<-'°-() |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Сг |
(t) |
= |
С (t) T - i (0 |
= |
[1, |
(с2 |
(t) - |
1) |
е~ в <'• - '>] . |
|
||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Q ( / , |
т) = |
С г ( 0 ? 7 . ( Л |
т)В 7 . (т) |
= |
|
|
|
|||||||
|
= |
[1, |
( С 2 ( 0 - 1 ) * - * ( |
' 0 - Х ) ] |
e *C<-0 0 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
О |
0 |
|
|
b2(t)ea^t°~t) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3593 |
161 |
Преобразованная система описывается следующими уравнениями:
ei |
(t) |
"а |
0" |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
" (0. |
|||
J2 (О. |
|
0 |
0 |
|
J2 (0 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
и о |
= [1, |
( C |
2 w - i ) ^ - ° ] |
.52 (О. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. 8. Рассмотрим |
систему |
с импульсной переходной функцией |
|||||||||||||
|
&(t, |
т) = |
fi |
(О gi (т) + |
/ 2 ( 0 f t ( t ) . |
|
|
||||||||
имеющей следующее разложение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О - | |
|
|
г |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
I |
I |
gi |
(О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-§•2 |
(Т) |
|
|
||||||
С (Л т) = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если, как легко |
видеть, fi{t) |
|
и f2(t) |
линейно |
независимы |
на [tf— е2 , tf], |
|||||||||
a gi(x) и g2(x) |
линейно |
независимы на [t0, |
t0+e,i] |
при любых |
конечных ei и |
||||||||||
е.2, то минимальная реализация соответствует разложению |
|
|
|||||||||||||
|
т) = |
[/!(0 |
f2U)] |
. £ 2 |
(О |
= Ро (OQo(t) . |
|
||||||||
Неособые матрицы |
N(//— |
е2 , tf) |
и M(f0 , U + ti) с размерами 2X2 полу |
||||||||||||
маются из уравнений |
(4.103) и (4. 20): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N ( ^ - e 2 , |
tf)= |
|
|
\ |
-if г \fl(t) |
[fl |
( 0 /2 ( 0 ] л |
= |
|||||||
|
|
|
/ 2 |
(О. |
|||||||||||
|
|
/? ГО |
|
|
|
/1 (О / 2 (О |
dt |
~ |
^11 |
^12 |
|||||
|
|
|
|
(0 / 2 (О |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
/ |
l |
/ 1 (О |
|
L^12 |
^22 |
||||||||
М (t0, |
t0 + Zl): |
|
ta + |
e, |
|
gi |
(О] |
|
|
|
|
G n |
G j 2 |
||
|
|
|
|
|
|
fei (т) й (т)] dx = |
G 21 G 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N - i |
(*/ — «2 ! |
, |
, |
|
L _ f |
F22^22- - FFill |
|
|
||||||
|
t |
f |
) ~ |
h [ |
- F F»X2 |
FFn\' |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G22 |
— G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
— G12 |
G I" |
|
|
||
г д е |
|
|
|
|
|
|
|
FnF22— |
|
|
i i J |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
F \ 2 , |
|
|
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(t, |
T) = |
P 0 |
( O Q O ( T ) = P ( O Q ( 0 . |
|
|
||||||||
162
матрицы |
u (tf~e2, |
tf) |
и V(*0 . |
*o + e i ) |
Р а н г а |
2 |
определяются |
уравнениями |
||||||||||||
(5.20) |
и |
(5.24): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(tf |
— е 2 . |
*/) = |
N - 4 * / |
—*2. |
*/) |
|
/1 |
(О |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
L/a(OJ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ 2 ( 0 , у / i ( 0 , о |
|
|
|
|
|
^22 |
|
Л 2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
•^12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ / 2 р |
у |
|
|
|
j |
Fa |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^22 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—- |
о |
— |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Q |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" О |
о - |
|
|
|
|
|
|
gl |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|||
V(f 0 . |
<о + ч) = |
j |
|
<?2 (О |
[gi(r)g2(x)]dxm-Ht0, |
|
t0 |
+ |
4)r= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Л СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
о |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
_<7 (О |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Легко видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, |
|
|
V(tf, |
|
|
Ч, tf)V(t0, |
|
<0 |
+ *l) = |
l2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
О |
1 |
О |
gi |
(т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" 2 |
2 |
£ 2 |
(О |
|
|
|
||||
|
|
U ( / / - « г . |
f/)Q0O |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 0 |
0 |
ffi СО |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f/i ( 0 / 2 ( 0 ] = Ро (О- |
_<?СО |
_ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рассмотрим две реализации матрицы Q (t, т), соответствующие двум раз |
||||||||||||||||||||
ложениям |
Po(OQo(0 |
и P ( ^ ) Q ( T ) . В |
соответствии с |
уравнениями (5.7) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Si(0 |
= |
Qo (0 и(0 = |
В„ (О и (О, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
у |
(t) |
= |
Р 0 |
(0 Si (О = |
С 0 |
(0 Si (О |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
х (О = Q СО ч ( 0 |
= в (0 и (О, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
г^(0 |
= |
Р ( О х ( 0 |
= |
С ( О х ( 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В соответствии с теоремой 5. 6 можно найти |
эквивалентное |
преобразова |
|||||||||||||||||
ние |
%{t) = |
T(t)x(t), |
|
преобразующее |
последнюю |
систему |
в |
систему |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
(0' |
|
Qo(0~ |
и (О, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
J |
2 |
(0 |
|
Q e ( 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У (О = |
</i (О + |
*2 (0 = |
[Ро (О Р а |
(0] |
Si (О |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 Ы 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
б* |
163. |
Неособая |
матрица T(t), |
производящая такое преобразование, определяет |
|||
ся уравнением |
(5.52). При вычислении |
матрицы T(t) по формуле |
(5.52) сле |
||
дует учесть, что в данном |
случае (po(t, |
to) = h, 4>(t, ^о) = |
IS , а К |
определяется |
|
из уравнений |
(5.34). Таким образом, в |
рассматриваемом |
случае T(t) = K, т. е. |
||
|
|
Fa |
|
Т(0 = |
|
Fb |
|
(FaQa |
+ FbGb) |
||
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
1 |
Из уравнений (5. 58) находим
1 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|||
0 |
1 |
0 |
0 |
|
- |
a b |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
— 1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
{Co (0 Pa (0] = С (0 T - i (0 = p(t), \ fiV), f 2 ( t ) ' \ |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
1 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Ga |
Gb |
|
Gn |
|
|
|
B 0 (0' |
|
|
|
.Q« (0. |
|
|
Fa |
|
|
|
Fb |
|
|
(FaGa |
+ |
FbGb) |
0
1
1 "
Fa |
|
|
|
|
|
Fb |
= [fi |
it) / 2 ( 0 : |
|
pit)]. |
|
|
|
||||
•F2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= Т ( / ) в (o = |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
0 |
1 |
0 |
0 |
gl |
(0 |
- G a |
- G b |
0 |
1 |
£ 2 ( 0 |
|
1 |
0 |
— 1 |
0 |
gi |
(0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
q(t) |
_ |
ft |
(0 |
£ 2 |
it) |
-Gagi |
it)-Gbg2it)+git) |
|
0 |
|
0 |
164
Таким образом,
Р» (0 = [оо |
Р i |
t ) |
] |
-Gagl (t) |
— G b g i |
( t ) |
+ g ( t ) |
Ча (О = |
О |
|
|
|
О |
|
|
иР а ( 0 О а ( т ) = 0 , как это и должно быть.
Всоответствии с теоремой 5. 7 подсистема
-Gagl |
( t ) ~ G b g 2 (t) + |
g(t) |
|
О |
и (t), |
|
О |
|
y2(t) = [0 0 p{t)] |
g2 (0 |
|
может быть преобразована (в данном случае достаточно преобразование, со храняющее идентичность матриц, и простое разделение) в следующие три подсистемы:
|
•Па (0 = |
[-Gagl (0 ~ |
Gbg2 |
i t ) + |
g U)] U |
i t ) |
, |
N.2а • |
|
|
|
|
|
|
|
|
4»2з(0=0 |
|
|
|
|
|
|
N2b: |
ift (0 = |
о |
|
|
|
|
|
г/г* (0 = |
о' |
|
|
|
|
|
|
N.2с |
• |
Р(01 1с(0. |
|
|
|
|
|
|
«/2f (0 = |
|
|
|
|
|
|
Теоремы 5. 3 и 5. 7 и соответствующие |
следствия: |
|
|
||||
1. Обосновывают тот факт, что система, соответствующая |
ми |
||||||
нимальной реализации |
импульсной |
переходной |
матрицы |
Q(t, |
т) |
||
на [to, tf], полностью управляема на интервале, |
предшествующем |
||||||
интервалу полной наблюдаемости. |
|
|
|
|
|
||
2.Устанавливают критерий, позволяющий определять, явля ется ли данная система редуцированной.
3.Выявляют критические соотношения между некоторой реа лизацией матрицы Щ/, т) и минимальной реализацией этой мат рицы Q(t, т) и, следовательно, указывают метод получения дру гих реализаций из минимальной реализации.
4.Вводят каноническую структуру, к которой может быть преобразована любая система, и отделяют редуцированную под
систему, определяющую вид импульсной переходной матрицы, от остальной части системы.
Однако, эти теоремы не позволяют указать алгоритм редуциро вания некоторой произвольной системы к ее минимальной реа лизации. Они даже не дают метода определения минимально воз можного порядка п0 системы. Эти весьма важные проблемы рас сматриваются в следующей главе.
165
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|
|
|
|
1. D'Angelo , |
Н, |
a n d С. G 1 a s s, |
Controllability |
and |
Reducibility of |
|
Nonanalytic Time-Varying Systems, Proceedings Princeton |
Conference |
on Infor |
||||
mation Sciences and |
System, March, 1968. |
|
|
|
|
|
2. D e s o e r C , |
a n d |
P. V a r i у a, The |
Minimal Realization |
of a |
Nonanti- |
|
cipative Impulse Response Matrix, J. SIAM Applied Math., vol. 15, no 3 (1967), pp. 754—764.
3. К a 1 m a n, R., Mathematical Desription of Linear |
Dynamical |
Systems, |
||||
J. SIAM Control, vol, 1, no. 2 (1963), pp. 152—192. |
|
|
||||
4. S i l v e r m a n |
L., Representation |
and Realization of |
Time-Variable Line |
|||
ar Systems, Technical |
Report No. 94. Dept. Electrical Engineering, Columbia |
|||||
University, New |
York, June, 1966. |
|
|
|
||
5. Y о u 1 a, |
D. |
C , The |
Synthesis |
of Linear Dynamical Systems from |
||
Prescribed Weighting |
Patterns, |
J. SIAM |
Applied Math,, vol. 14, no. 3 |
(1966), |
||
pp. 527—549. |
|
|
|
|
|
|
Задачи
5. 1. Синтезировать системы с ненулевой матрицей А, имеющие следую щие импульсные переходные функции:
1. |
Q(t, |
X): |
! В _ ( , _ Т ) + 2 |
Е _ 2 ( |
< _ , ) |
|
|
|||
2. |
Q(t, |
Т ) : |
= (* — т) е-~и-т~> |
+ 3 s i n |
[2(t- |
|
||||
3. |
Q(t, |
Т ) : ; sin t • In т + |
(t |
— |
T ) 2 In t |
cos т |
|
|||
4. |
|
|
|
- e - « - 0 |
|
|
|
2e -2(*-t) |
|
|
Q(t, |
х) |
= |
3 sin [2 (t • |
•*)] |
(t- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
sin t-ln |
x |
|
|
- |
r)2 In / cos X |
J |
5. 2. Найти эквивалентное преобразование, преобразующее приводимую ниже систему в каноническую форму (5. 10). Для канонической системы со ставить блок-схему в переменных состояния:
|
|
х: |
(ty\ |
|
•*2 |
(0 = |
*2 |
(t) + |
u(t), |
|
||||
_ *з |
(0. |
хг |
(0 |
|
|
|
хг (0 |
|
|
|
»(о = [о - 1 |
о] х2 |
(t) |
|
|
|
х3 |
(t) |
|
5.3. Доказать следствие 5. 3.
5.4. Доказать следствие 5. 4.
5.5. Доказать следствие 5. 5а.
5.6. Доказать следствие 5. 56.
5.7. Рассмотреть систему, описываемую уравнениями в переменных со стояния:
Г |
3 |
1 |
|
i i |
(0" |
2 |
2 |
xi (0 |
1 |
|
u(t), |
|
|
|
|
Х2 (0 + |
- / 1 (0 + |
/ 2 (О |
|
хч |
(t). |
1 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
- |
2 |
2 |
|
|
|
|
166
1 |
1 |
1 |
J |
Л(0_ |
|
У |
|
|
Ш |
||
где |
|
|
|
. * 2 |
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 ( 0 = в < - 1 Ч 0 - а ( |
1) |
|
|
||
/ 2 |
( 0 = » ( - 1 , « - !)• |
5 ( - 1 ) ( ^ _ 2 ) . |
|
||
Исследовать управляемость, |
наблюдаемость |
и редуцируемость этой систе |
|||
мы на интервале [0, 2]. Построить для этой системы плоскость «управляе мость — наблюдаемость».
|
5. 8. |
В соответствии |
с теоремой 5. 5 найти эквивалентное |
преобразование |
T(t), |
связывающее систему в задаче 5.7 с эквивалентной минимальной си |
|||
стемой. |
|
|
|
|
|
5. 9. |
В соответствии |
с теоремой 5. 5 найти эквивалентное |
преобразование |
T(t), |
связывающее систему в задаче 5.2 с эквивалентной минимальной си |
|||
стемой. |
|
|
|
|
Глава 6
РЕДУКЦИЯ И СИНТЕЗ СИСТЕМЫ
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Вэтой главе находятся алгоритмы построения эквивалент ных преобразований, служащих для редукции системы или при ведения ее к какой-либо канонической форме. Основное значе
ние для рассматриваемых алгоритмов имеют определенные в гл. 4 матрицы управляемости Qc(t) и наблюдаемости Qo(t). Для дальнейшего изложения существенно знать, какое влияние ока
зывают на |
эти матрицы |
эквивалентные преобразования. |
|
||||
Как показано в разд. 3. 5, при помощи эквивалентного |
преоб |
||||||
разования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z{t) |
= l{t)x(t), |
|
|
(6.1) |
|
где Т(^)—неособая (пХп)-матрица, |
можно |
перейти к |
новым |
||||
переменным |
состояния z(t), |
при которых система становится бо |
|||||
лее удобной |
для |
анализа |
и |
синтеза. |
Далее |
рассматривается |
|
влияние такого |
преобразования на матрицы |
управляемости и |
|||||
наблюдаемости. Эквивалентное преобразование 6. 1, будучи при менено к системе
x{t) |
= |
A{t)x(fl |
+ |
B(t)u{t), |
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
|
у (0 = С ( 0 х ( 0 , |
||||
переводит ее в систему |
|
|
|
|
|
z(t) |
= |
Ar(t)z(t) |
+ |
Br(t)u(t), |
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
|
y(t) |
= |
Cr(t)z(t), |
|
где |
|
|
|
|
|
А г (/) = |
T(t)A |
(t) T - i (t) + |
f (t) T - i (t), |
||
|
|
|
|
|
(6.4) |
B r ( / ) = T ( * ) B ( 0 ,
CT(t) = C(t) T - i [t).
168
Следовательно, матрицы управляемости и наблюдаемости исход ной системы
|
|
|
Q c ( 0 = [ B ( * ) , д е в ( * ) , . . . , д г 1 в ( * ) ] . |
|
( 6 . 5 ) |
||||||||
|
|
|
Q e ( / ) - [ C |
(/), д 0 С (/),. . . , |
Д»-1 С (/)] |
|
(6 . 6) |
||||||
для преобразованной системы принимают вид |
|
|
|
||||||||||
|
|
qr(t)=[BT(t), |
д г BT(t),..., |
|
д - ^ в и о ] , |
|
( 6 . 7 ) |
||||||
|
|
|
<• |
|
с |
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
Q r . ( 0 - [ c ; ( o . дг„с;(0,..., д ^ с ; ^ ) ] - |
|
(6 -8 ) |
|||||||||
Необходимо связь между этими матрицами выразить непосред |
|||||||||||||
ственно через |
преобразующую |
матрицу |
T(t). |
Принимая |
во вни |
||||||||
мание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д = |
_ \ т (/) |
+ |
А = |
_ т |
(t) А (О |
Т-1 |
(0 |
- f |
(О |
т-» |
(/) + |
, |
( 6 . 1 0 ) |
6 |
|
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
В г (*) = |
- Т (/) А (0 B(t)-\-T |
( |
t |
) |
= |
Т (/) д е В (0- |
|
( 6 . 1 1 ) |
||||
|
' |
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
Можно показать, что для общего случая |
|
|
|
|
|
||||||||
и аналогично |
|
Д<.Д(/) = |
Т(/)д<В(Л |
|
|
|
( 6 . 1 2 ) |
||||||
д ^ с ; ( / ) = ( Т - 1 ( / ) ) ' д < с ( / ) . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( 6 . 1 3 ) |
||||||||
Подставляя |
выражения |
(6. 12) и (6. 13) соответственно |
в урав |
||||||||||
нения |
( 6 . 7 ) |
и |
( 6 . 8 ) , |
приходим |
к искомым |
соотношениям |
|||||||
|
|
|
|
|
Q T - C W - T ( / ) Q C ( ' > , |
|
|
|
( 6 . 1 4 ) |
||||
|
|
|
|
Q r . W = ( T - W Q 0 ( 0 - |
|
|
|
( 6 . 1 5 ) |
|||||
Формулы |
(6. 1 4 ) , (6. 15) подтверждают, |
что неособое |
преоб |
||||||||||
разование переменных |
состояния |
вида |
z(t) |
= Т(/)х(/) |
не изме |
||||||||
няет свойств управляемости и наблюдаемости системы. |
|
||||||||||||
6.2. РЕДУЦИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ [12] |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Хотя многие свойства линейных |
систем, касающиеся |
вопро |
|||||||||||
са о редуцируемости, подробно исследованы в главе 5, какойлибо определенный алгоритм для осуществления редукции еще не указан. В этом разделе обосновывается алгоритм, пригодный для редуцирования большого класса систем. Так как редуцируемость тесно связана с абсолютной управляемостью и абсолют ной наблюдаемостью, вполне естественно, что процедура реду-
169