Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

9.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2915 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

5. 3.

Определения

Определение 5. 4.

Система

называется

глобально

редуциро-

той

* на интервале [to, tf], если она полностью управляема

по

состоянию и полностью наблюдаема на интервале [to,

tf].

Из

теорем

4.2

и 4. 13

соответствующих

следствий

выте

кает следующая

теорема.

Теорема 5.2. Реализация матрицы Q(t,

т)

является

глобаль

но редуцированной тогда и только тогда,

когда

матрицы

М(/0 ,

^ ) = _ | V o ,

t)B(t)B'(t)<?\t0,t)dt=j'

Q(t)Q'(t)dt

(5.

12)

N (*0, tf)=^f

cp' (/,

/0 ) С (t) С (t) cp

/0 ) dt=

(t) P (t) dt

(5.

13)

неособые. Здесь

Q(/)

и P(/)

определяются

формулами

(5.5)

и (5.6).

Следствие

5. 2а. Система

глобально

редуцирована

на

[to,

tf],

если

столбцы

P(t)

=C(t)y(t,

t0)

и строки

Q(t) =q>(t0, t)B(t)

ли

нейно

независимы

на [t0, tf],

или,

что эквивалентно,

реализация

Q (t,

х)

глобально

редуцирована

на [to, tf]

тогда

и только

тогда,

когда при ненулевом

выборе векторов b и с имеет место

Р ( О Ь * о,

c'Q (t) ф

на некотором конечном подынтервале [ti,

интервала

[to,

tf].

Следствие 5. 26.

Любая

реализуемая

матрица Q(t,

т)

обла

дает глобально редуцированной

реализацией.

Чтобы подчеркнуть возможность дальнейшей редукции

систе

мы, уже

являющейся

глобально

редуцированной,

определим

по

нятие редуцируемости

и укажем отличие его от понятия

глобаль

ной

редуцируемости.

Определение

5. 5. Система

называется

редуцируемой

на

ин

тервале

[to,

tf],

если ее импульсная переходная

матрица

может

быть реализована на [t0, tf] системой более низкого порядка.

Сравнивая определения 5.4 и 5.5, видим, что термин

«редуци

рованная

система»

означает большую степень

редуцированности,

чем

«глобально

редуцированная

система».

Практически

система

глобально редуцированная часто является также и редуцирован ной. Однако в качестве иллюстрации рассмотрим пример, когда система, будучи глобально редуцированной, является еще реду цируемой.

* Следует отметить, что с точки зрения	весовой функции	Qw(t, х), опре
деляемой для всех / и т, но равной импульсной переходной		матрице Q(t, %)
Для t^r, глобально редуцированная система	является также	редуцированном

в том узком смысле, что представляет собой минимальную реализацию,

140

Пример 5. 3. Исследуем глобальную редуцируемость и редуцируемость сле дующей скалярной системы на интервале [t0, tf):

	"х\ it)		a 0"	[*i (ty		+	Ъ	(t) -	u(t),
	X2 (0		0 a	1X2(0			b2(t)_		u(t),
	X2 (0		0 a	1X2(0			b2(t)_
		y(t)	= [\	c2(t)} xi			(ty
						lx2	(t)
Здесь a — ненулевая постоянная, а переменные коэффициенты
		*1 (0 =		1 t0		< t < T
		*1 (0 =		0 T < t < tf				'
				0 T < t < tf				'
	«2 (0 = с2 (t) = j 0 t0						< t < T.
					1 T <t			<tf
Переходная матрица этой		системы легко			определяется и имеет вид
			е Ж'-'о)				о
	t(t,t0)		=	о		e a ( t - t 0 )
						e a ( t - t 0 )

Следовательно,
	>(t0, t)B(t)		=	bi(t)e<oa(t0-ty				= Q(0
	>(t0, t)B(t)		=	Ь2(Г)еа^"-{)				= Q(0
				Ь2(Г)еа^"-{)
С (t) <f (t,		t0)	= t e e ( ' - ' o ) c 2		(t) ef l ( '-'o ) ] = P (t).
Так как строки q>(t0, t)fl(t)		и столбцы С(0<р(^, М линейно независимы на ин
тервале [A), tf], заключаем, что на этом интервале								система полностью управляе
ма и полностью	наблюдаема		и, в соответствии со следствием 5. 4, — глобально'
редуцирована.
Импульсная	переходная		функция этой системы имеет вид
S (I, х) = e^'-^bi		(х) + с2		(t) ea(t~x)b2			(х) = e a { t ~ x ) , t > т.

Легко видеть, что система редуцируема в смысле определения 5. 5, так как может быть реализована системой первого порядка, описываемой уравнениями

x(t) = ax(t) + u(t),

W)= x(t).

Следовательно, описанная система является как глобально редуцированной, так и редуцируемой.


Из рассмотренного примера можно			заключить, что глобаль
но редуцированная система		не обязательно представляет		собой
минимальную	реализацию	заданной импульсной переходной
матрицы. Чтобы система была глобально			редуцированной,	тре
буется полная	управляемость и полная		наблюдаемость этой си

стемы. Далее показывается, что, в отличие от этого, редуцирован ная система получается только тогда, когда имеет место опреде ленная последовательность интервалов полной управляемости и полной наблюдаемости системы.

141

5. 3. 2. Необходимые и достаточные условия

минимальной реализации
Теорема 5. 3. Система	п-го порядка, соответствующая разло
жению Q ( / , T ) = P ( / ) Q ( T ) ,	является минимальной реализацией

матрицы Q(t, х) тогда и только тогда, когда щ строк Q(t) ли


нейно	независимы		на любом	конечном		подынтервале			[tu	t2],
а п0	столбцов	Р(/)	линейно независимы			на любом		конечном
• подынтервале		[t3, 4 ] , где £ о « £ ^ 1 < 4 ^			ts<U<tf.		В	этом	случае
число щ называется			порядком	матрицы	Q(t, х).		Это число			рав

но минимальной размерности системы, с помощью которой мо жет быть реализована матрица Q(t, х).

Эквивалентная	формулировка: система с импульсной пере
ходной матрицей Q(t, х) является минимальной		реализацией
тогда и только тогда, когда существует конечный		подынтервал
[ti, t%] полной	управляемости, предшествующей	конечному


подынтервалу [tz, 4 ]			полной наблюдаемости.			разложение
Доказательство.			Достаточность. Рассмотрим
		Q{t,	x) = P0(t)Q0(x)tf-l)(t-x),				(5.15)
в котором п0		строк	QO(T)	линейно независимы		на [ti,	t%] и «о
столбцов	Ро	(0 линейно		независимы на [t3,		4 ] . Множитель
б( - 1 ) (^ — т)	представляет			собой	единичную ступенчатую		функ
цию, определенную			в примере		4. 5. Здесь необходимо обратить

внимание на причинность, наличие которой без специальной ого


ворки	обычно предполагается.			Предположим,	что существует
другое(	разложение Q(t, т) = P(i)Q(T)6(~1 >(£ — т), в котором P(t)
и 0(т)	имеют соответственно п столбцов и п строк. Тогда
	Р0	(/) Q0	(т) 8 ( _ 1 ) (t - х) = Р (t) Q (т)		(/ -	х).	(5. 16)
Умножая		слева	обе части уравнения (5. 16)		на	Р</(0	и инте
грируя по t на интервале [t3, 4 ] ,				получим

Принимая во внимание выражения (5. 5) и (4. 103), это урав нение можно записать в виде

j Р„'(*)Р(/)Л Q(t) = N(*„ <4)Qo(t), t < V

(5.18)

142

Так как

столбцы

Ро(0

линейно

независимы

на

[/3,

А],

(п0Хп0)-матрица

N(^3, 4 )

является

неособой. Следовательно,

где

Q O ( T ) = U ( V * 4 ) Q ( T ) , * < ' з >

( 5 - 1 9 )

U (/3 ,

/4 ) =

N - 1 (/3 ,

/4 )

f Р 0 ' (О Р (О Л ,

^0 <

/3 <

/ 4 <

(5. 20)

есть

(поХп)-матрица.

Аналогичным

образом,

умножая

справа

обе части

уравнения

(5. 16)

на Q O ' ( T )

И интегрируя

по т на

ин

тервале [tu

t2],

получим

P o W ' f Q e ( t ) Q 0 ' ( t ) r f t = P ( 0

fQ(T)Qo'(t)c?t,

/ „ < ' i < ' » < ' -

(5.21)

Принимая

во

внимание

выражения

(5.5)

и (4.20),

можно

это

уравнение записать в виде

<»

Р 0

(t) Ж

4 ) =

Р (0 f Q (х) Q0 ' (t) dt,

/2 < /.

(5. 22)

Так как строки Q 0 ( T )

линейно независимы на [U, t2],

(п0 Х«о)-мат-

рица

М ( / ь

/2 )

является

неособой. Следовательно,

P0 (0

P ( 0 V ( ^ ,

t2\ / 2 < / ,

(5.23)

где

jQ (т) Q0 '

(t)

rft

L b

есть (nX«o)-матрицы. Из уравнения

(5. 19) видим,

что

число п й

линейно

независимых строк

Q O ( T )

не

может

превзойти

ранг

U(/3 ,

ti),

который, в свою очередь,

не может превысить

число п ,

равное числу

столбцов

U ( r 3 , 4 ) и числу строк

Q ( T ) . Таким

об

разом

п0<;рангU(t3,

/ 4 ) < п ,

(5.25а)

или просто

л 0 < / г .

(5.25в)

Необходимость.

Для

некоторой

реализации

импульсной

пере

ходной

матрицы

Q(t,

х) существует лишь три возможности

не

соблюдения условий теоремы:

1. Система не является полностью управляемой ни на одном интервале. В этом случае существует по крайней мере одна пере-

.менная состояния, на которую входной сигнал не оказывает какого-либо влияния. Эта переменная не влияет на импульсную переходную матрицу и, следовательно, система является реду цируемой.

143

2.Система полностью управляема на некотором подынтерва

ле [tu i2], но не является полностью наблюдаемой ни на одном подынтервале. В этом случае существует по крайней мере одна управляемая переменная состояния, не оказывающая какоголибо влияния на выходной сигнал и, следовательно, не влияю щая на импульсную переходную матрицу. Поэтому система яв ляется редуцируемой.

3.Система полностью управляема на некотором подынтер

вале [tit t%\ и полностью наблюдаема на подынтервале \t3, ti], причем подынтервал [t3, ti] целиком предшествует подынтервалу [ti, /г]. В этом случае до и на интервале полной наблюдаемости существует по крайней мере одна переменная состояния, на кото рую входной сигнал не оказывает.никакого влияния. Следова

тельно, на интервале [to, ti] система редуцируема. После				момен
та /4 наступает интервал [tu t%]	полной	управляемости.		Однако,
начиная с ti, система не является	полностью наблюдаемой. По
этому на данном интервале существует по крайней			мере		одна
ненаблюдаемая переменная состояния, так что на			интервале
(Д, tf] система редуцируема. Таким образом, система			редуцируе
ма на интервалах [t0, ti] и [4, tf] и, следовательно, на всем				интер
вале [to, tt]*.
Следствие 5. 3. Предваряющая	система	(т. е. имеющая			им

пульсную переходную матрицу ii(t, т) ФО для /<т ) является ми нимальной реализацией матрицы Q(t, х), если эта система гло бально редуцирована.

5.3.3. Примеры. Рассмотренная в примере 5.3 система полно стью управляема на всех интервалах [t0, Т + г], где е > 0 . Однако эта система не наблюдаема на интервалах [Т+г, tf] при любых е > 0 . Следовательно, в соответствии с теоремой 5. 3 эта система редуцируема. Приводимые далее примеры служат дальнейшей иллюстрацией применений теоремы 5. 3.

Пример 5. 4. Рассмотрим систему, описываемую следующими уравнениями

8 переменных состояния:
х\ (t)	а 01	Г Ху (t)
. *2 (0.	О ft J	U 2 ( 0 J+ U w J e ( 0

* Это заключение основывается на предположении о возможности исполь зовать импульсные функции в матрице А. Тогда переменная состояния Xi(t) может быть сделана равной нулю в момент t, где tk<t<U. Следовательно, не

которая переменная состояния может содержать модальную составляющую, поддающуюся наблюдению на интервале [t3, U], и другую, отличную от угомя-

«утой модальную составляющую, поддающуюся управлению на		интервале
[t\,	t%\. Физически это означает, что накопителю энергии (например,	интеграто
ру)	предоставляется возможность разрядиться в некоторый момент между ин

тервалами г4 ], [ti, ti], а на самих интервалах участвовать в создании раз

личных модальных составляющих. Все это иллюстрируется примером 5. 4.

.144

Здесь
10	Т < t	<tf
U	Т <t	<tf,

причем а и b — ненулевые постоянные, подчиняющиеся условию афЬ, Переход

ная матрица этой системы легко определяется и имеет вид

	? ( 0 x) =	0
	? ( 0 x) =	0
		0
	Следовательно,
	P (0 = С (t) <t (t, 0) = [C l (0 e a ( , c2 (t) ebt],

'Q(x) = <p(0, т)В (t) =

Отсюда заключаем, что система не является полностью управляемой на любом конечном подынтервале интервала [to, if], предшествующем конечному

dft-Tfr»—I

		ct(t)e -at	- y f t J
+b2(t)ebt		-bt

Рис. 5.6. Реализация импульсной переходной функ
ции Q(t, T)=ci(t)b1(t)e<4-'-^	+	c2(t)b2(x)b<-t-t)

подынтервалу полной наблюдаемости, и, в соответствии с теоремой 5. 3, эта си стема является редуцируемой.

Импульсная переходная функция данной системы выражается следующим

образом:
Q (t, т) = сг (О Ьх (т) еа { t ~ x ) + с2 (0 Ь2(х)			е^'^К
Нетрудно видеть, что на интервале	[t0,	Т] можно	возбудить и наблюдать
лишь модальную составляющую еа^'-^1,	а на интервале [Т, tf]—только модаль
ную составляющую eb <f _ T ). Следовательно,		на всем	протяжении интервала

[to, tf] может быть возбуждаема и наблюдаема лишь одна модальная составляю

щая. Поэтому данная импульсная переходная функция может быть реализована системой первого порядка. Теоретически эту импульсную переходную функцию


можно	реализовать	системой первого		порядка, показанной на рис. 5. 6. Урав
нения	этой системы	в переменных состояния имеют вид
	х (0 = -		5 (t — Т) х (t) +	[Ьг (0 eat + b2 (0 в*'] и (()
	y(t)		= [Cl	(t)e-at'+c2(t)e-bt]x(t).

Хотя приведенная схема является идеальной реализацией данной импульс ной переходной функции, она не совсем приемлема по причине разрывности матрицы А. Важным здесь является то, что эта разрывность имеет вид им пульсной функции. С физической точки зрения наличие импульсной функции в матрице А означает, что энергия накопительного устройства (например, конден сатора, пружины и т. д.) должна изменяться на конечную величину мгновенно. Практически это может быть осуществлено лишь приближенно. Можно поэтому заключить, что с физической точки зрения система не является редуцируемой.

145

Представляет интерес рассмотреть для		этой системы			плоскость «управляе
мость— наблюдаемость»,	т. е. плоскость t,	т	(рис. 5.7).		Заметим, что
	О в области 1
	еа С-'1 )	в	области	2,
Q\t,	т) = О в области 3
	еь (t—t)	в	области	4.

На рис. 5. 7 показано, что две модальные составляющие системы не могут од новременно быть управляемыми или наблюдаемыми. Максимальное число мо дальных составляющих, поддающихся управлению в некоторый момент времени на [to, tf], можно установить, подсчитывая общее число модальных составляю

Рис.	5.7.	Плоскость		Рис.	5.8.	Плоскость
«управляемость — на				«управляемость — на
блюдаемость»		для	систе	блюдаемость»		для	систе
мы	в примере		5. 4	мы в примере 5. 5
щих (число линейно независимых столбцов матрицы					P(t), входящей в Q (г, т),
для соответствующих		областей плоскости		«управляемость —наблюдаемость»),
приходящееся на соответствующую вертикаль в плоскости						«управляемость —
наблюдаемость». Аналогичным образом, общее число модальных							составляющих

[число линейно независимых строк матрицы Q(T), входящей в Q (t, т), для со

ответствующих областей плоскости «управляемость — наблюдаемость», поддаю щихся наблюдению в некоторый момент времени, можно установить, подсчиты вая число модальных составляющих, приходящихся на соответствующую гори зонталь в плоскости «управляемость—наблюдаемость»]. Легко видеть, что для рассматриваемой системы любой вертикали или горизонтали соответствует одна модальная составляющая.

Если общее максимальное число модальных составляющих, приходящихся на какую-либо горизонталь или вертикаль плоскости t, т, равно По, то система

может быть редуцирована по меньшей мере к системе я0 -го порядка, если только в матрице А допускается присутствие импульсных функций.

Пример, 5. 5. Рассмотрим систему, описываемую следующими уравнениями

впеременных состояния:

*i (О

'x(t)

У (0 = [1 c2(t) хх	(О"
*2	(t) .

146

Здесь bi(t), b2(t), c%(t) определяется	так же, как в примере 5.4. Таким
образом,
P(t) = [eat,	c2(t)ebt],
Q (О = е-"тЬ2	(т)
Отсюда видим, что система полностью управляема на любом интервале \t0,
Т + е], е > 0 , и полностью наблюдаема на любом подынтервале [Т, tf]. Следова

тельно, в соответствии с теоремой		5. 3, система нередуцируема.		Импульсная
переходная функция этой системы имеет вид
Q(t, x) = bi (т)а		+c2(t) b2(x)	е * ^ - ч > .
Обращаясь к плоскости	«управляемость — наблюдаемость»			этой	системы
(рис. 5. 8), заметим, что
	[О в области 1
2 (t,	т) = \еа	в области 2
	\еь	в области	3.
В то время, как управляемой в любой момент			времени на [t0, tf]		может

быть лишь одна модальная составляющая, наблюдаемыми на интервале [Т, tf]

и] b,(t)eat

Рис. 5. 9. Реализация импульсной переходной функ

ции Q(t, т ) = 6 1 ( т ) е а « - ^ + с 2 ( 0 Ь 2 ( т ) е « - ' ) :

/—запоминающее звено

могут быть две модальные составляющие. Следовательно, интервала полной уп

равляемости, предшествующего интервалу полной наблюдаемости, не сущест вует. Можно поэтому ожидать, что минимальная реализация данной системы будет иметь более высокий порядок, чем в случае системы, рассмотренной в примере 5. 4. С другой стороны, вследствие отсутствия в плоскости «управляе

мость — наблюдаемость» области, в которой импульсная переходная	функция
представляла бы собой сумму двух модальных составляющих, можно	ожидать

что минимальная реализация будет иметь порядок, меньший двух. В связи с этим возникает вопрос, возможна ли система, порядок, которой меньше двух, но больше единицы. Если допустить введение в систему запоминающих звеньев,

то на этот вопрос можно дать положительный ответ. Например, рассматривае мая система может быть реализована, как показано на рис. 5. 9. Вследствие введения запоминающего звена в системе используется только один интегратор. Уравнения этой системы относительно переменных состояния имеют следующий вид:

х	(0 = В {t — Т) х (t) + [б, (0 eat	+ b2 (0 еы]	и (t),
У	(0 = [ci (0 e~at + с2 (0 е-"') х	(/) + e~atx	(7).

147

5 . 3 . 2 ,

Нетрудно видеть, что необходимость введения запоминающего звена обуслав ливается членом е~а'х(Т) в правой части уравнения, определяющего выход

ной сигнал. Характер уравнений этой системы относительно переменных состоя ния отличен от канонической формы:

х (0 = А (Ох (0 +• В (0 и(0,

У(0 = С (0 х (О-

Всвязи с этим данная система псевдо-первого порядка не может рассмат

	риваться как редуцированная.
	Пример 5. 6.		Рассмотрим				систему
	хх (t)	а	(Г	хх	(ty	+	'»1 (0"	и (О,
	. *г (0.	о	ь	х2	(0.		1
	«/(0 = [сх(0 с2 (0]						X i ( t )
	«/(0 = [сх(0 с2 (0]						x2(t)
	до некоторой степени				аналогичную			системе
	в примере 5.5. Здесь			b\(t),		62(0, ЫО		опреде
	ляется так же, как в примере 5. 4.
	Следовательно,
Рис. 5. 10.	Плоскость	Р (0 =	[С! (О ef l '				c2(t)ebt],
«управляемость — на
блюдаемость»	для систе	Q ( T ) =
мы в примере 5. 6		Q ( T ) =
мы в примере 5. 6

Отсюда видим, что система полностью управляема на любом подынтервале [to, Т] и полностью наблюдаема на [Т — Б, if] при любом е > 0 . Согласно теоре

ме 5. 3 эта система нередуцируема.

Импульсная переходная функция рассматриваемой системы имеет вид

Q(t,x) = C l (0 *i (т) еа + с2 (t) е" ( ' - т ) .

Обращаясь к плоскости «управляемость — наблюдаемость» этой системы

(рис. 5. 10), видим, что
	0 в области 1
	e a { t ~ r )	в области	2 "
	1е* ('--О	в области	3.

Хотя в любой момент времени на интервале [to, tf] наблюдаема лишь одна модальная составляющая, на протяжении интервала [to, Т] управляемыми яв

ляются две модальные составляющие. Легко видеть, что эта система полностью управляема на [t0, Т—е] и полностью наблюдаема на [Т—е, ti], где 0 < е < 7 \

Гаким образом, согласно теореме 5. 3 система нередуцируема.

5. 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ СИСТЕМАМИ

Матрицы U ( / 3 , ti) и V{tu t2), определенные в разделе

тесно связаны друг с другом и используются в дальнейшем для установления связей между эквивалентными системами. Эти связи можно обнаружить, умножая уравнение (5. 16) слева и справа соответственно на Р</(0 и на Q O ' ( T ) И затем интегрируя дважды обе части на интервалах [t3, U] и [tu t2] соответственно

148

по t и т. С учетом соображений причинности интервалы инте грирования выбираются таким образом, что ^ o ^ / i < ^ ^ ^ < 4 <

<tt\

Po'(/)P»W* fQ 0 (*)Q 0 ' ( T )art=

= P 0 ' (О P (*) Л

Q (t) Q0 ' (т) dx,t0

< tx <

4 < / 3 < /4

^ .

(5. 26)

Из уравнений

(4. 20) и (4. 103)

следует, что

N (/3 ,

4) М

/ а ) = j

Р 0 ' (0 Р ( 0 Л

j ' Q (т)Q„'

(т)rfr,

4 < / 1

< 4 < ^ з < ^ 4 < ^ -

(5.27)

Если система

полностью

управляема

на

[^, £4]

полностью

наблюдаема

на |73, U], то

матрицы

N(f3 ,

£4)

и М(^,

^3) неособые,,

так что

'я0:

j ' Q ( t ) Q 0 ' ( T ) a ' T M - 1 ( / 1 , / 2 )

<з

А > < ^ < 4 < Л < ^ < ^ -

(5.28)

Учитывая

выражение

(5.20)

(5.24)

из уравнения

(5.28),

получим

U = U(*8> U)\{tlt

Q, / 0 < / 1 < ^ < ^ < ^ 4 < ^ -

(5. 29}

Уравнение

(5.29)

еще

раз подтверждает,

что как

U(t3, 4)»

так и V ( 4 , 4 ) имеет ранг

п0.

5.4.

1. Редуцированные системы

Для случая, когда

как

P O W Q O ( T ) 8 ( ~ 1 )

так

P ( / ) Q ( T ) 8 ( _ 1 ) ( ^ ~ T )

соответствуют редуцированным системам, имеющим импульсную переходную матрицу ii(t, т) (т. е. п=п0), U(/3 , 4 ) и V ( 4 , t2) представляют собой неособые (nQXn0)-матрицы. Тогда из урав нения (5. 29) следует

U ( / 3 , ^ 4 ) = V - 1 ^ *Я) = С.

(5.30а)

Нетрудно видеть, что в этом случае U(4-, 4 ) и V ( 4 , t2) не зависят от /3 , 4 и 4 , ^- Таким образом,

U ^ V - ^ C .

(5.306)

149

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2915 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ