книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

стем большую роль

играет понятие минимальной

реализации

системы, приводящее

к каноническим структурам.

При этом

ноническую

структуру,

и подробно

рассматриваются

методы

определения таких преобразований.

5. 1. РЕАЛИЗАЦИЯ

СИСТЕМЫ

Рассматриваемая

в этой главе проблема синтеза заключает­

ся в реализации системы по ее импульсной переходной

матрице

Q(t,

х ) . Как

известно,

линейная

нестационарная

причинно обу­

словленная

система

с

сосредоточенными

параметрами

описы­

вается конечно-размерными уравнениями

состояния

х(Л = А(Лх(Л +

В(Ли(Л,

(5.1)

у(Л = С(Лх(Л

и имеет импульсную переходную матрицу

Q(t,

т)=С(Лср(Л т)В(т).

(5.2)

Таким образом, система с импульсной переходной

матрицей

il(t,

х) должна

быть реализована системой

с коэффициентами

в виде конечно-размерных матриц А(/), В(^),

С (Л,. Если

матри­

цы

А (Л,

В (Л,

С(/)

известны, то

реализация

системы

со

струк­

турной схемой

на рис.

3. 3 при

помощи

аналоговой модели не

представляет какой-либо трудности.

Следовательно,

проблема

синтеза линейной системы по ее импульсной

переходной

матри­

ц е — это

в основном

проблема определения

матриц А (Л, В (Л,

С (Л, по

импульсной

переходной

матрице. Однако

эта

проблема

осложняется

тем обстоятельством, что реализация

заданной им-

5*

131

Из всех систем, реализующих импульсную переходную

матрицу

Q(t,

т),

система,

вектор

состояния

которой имеет

наименьшую

размерность,

называется

минимальной

реализацией

матрицы

Q{t,

х).

В проблеме синтеза важно решение вопроса о

реализуемо­

сти заданной импульсной переходной матрицы

( 5 . 2 )

конечно-

размерной системой (5. 1) [3].

Q(t,

х)

Теорема 5.1.

Импульсная переходная

матрица

реа­

лизуема

конечно-размерной

системой (5. 1) тогда

и только

тогда,

когда существуют такие непрерывные матрицы Р ( / ) и

Q ( T ) , ЧТО

Й ( / , T) = P ( / ) Q ( Y )

( 5 . 3 )

для всех

t^x.

Доказательство.

Необходимость

доказывается

подстановкой

выражения

( 3 . 2 0 ) ,

взятого

при ti = to, в уравнение

( 5 . 2 ) :

Ц (/, T )

=

С (Л <р (Л /„) <р (/„,

t) В (т), t > t0

>

т.

(5. 4).

Отсюда

находим

и

Р ( Л = С ( Л т ( Л

/ 0 ) . t>to

(5-5)

Q(r) =

«p(/0, t ) B ( t ) , f0>x.

( 5 . 6 )

Достаточность доказывается путем выбора системы, для ко­

торой А ( Л = 0 , В ( Л =СШ)

и

С ( Л = Р ( Л :

\(t)

= Q(t)u(t),

(5_7)

у ( Л = Р ( Л х ( Л -

Замечая, что для данной системы q>(t, %)=ln,

получаем

в со­

ответствии с выражением

(5. 2 ) следующую импульсную

пере­

ходную матрицу:

Q(t,

т) = P ( / ) Q ( T ) .

сти и наблюдаемости переменных состояния

Xi(t),

i=\,.

.., п.

Определение 5. 1.

Переменная

состояния

Xi(t)

полностью

уп­

равляема

на

[to,

tf],

если

существует

ограниченная

входная

функция u(t),

переводящая Xi(t0)

BXi(tf).

Xi{t)

неуправ­

В противном

случае

переменная

состояния

ляема.

состояния Xi(t) полностью на­

Определение 5. 2.

Переменная

блюдаема на [t0, tf], если изменение переменной состояния

Xi(t)

всегда производит изменение выхода y(t):

В противном

случае

переменная состояния

ненаблюдаема.

Определения

неуправляемых

и

ненаблюдаемых

переменных

состояния

приводят к определению не поддающейся

управлению

и не поддающейся наблюдению

системы.

Определение 5. 3.

Система не поддается

управлению

(не

под­

дается наблюдению)

тогда

и

только тогда, когда ни одна из

переменных состояния не является управляемой

(наблюдае­

мой) .

Важно отметить, что необходимо проводить различие между

неуправляемой

системой

(по крайней

мере одна

переменная

состояния

неуправляема)

и не

поддающейся

управлению

систе­

мой (все переменные состояния

неуправляемы).

где

\i(t)—переменные

состояния,

управляемые,

но

ненаблю­

даемые;

Хг(/) —переменные состояния управляемые и наблюдаемые;

х3 (^)—переменные

состояния,

неуправляемые

и

ненаблю­

даемые;

х 4 (/) —переменные

состояния,

неуправляемые,

но наблю­

даемые.

*Ц N,

^

У

=о

Юм

10»

*3 И*

Рис. 5. 1.

Каноническая

структура

Рис. 5.2. Схема

с

постоянным»

линейной

системы,

соответствую­

омическими сопротивлениями

щая уравнениям (5.9) и

(5. 10)

Такого

рода

системы

представляются

канонической

структу­

рой,

показанной

на

рис. 5. 1. Уравнения,

соответствующие этой

канонической

структуре, имеют вид

N,

хх

(t)=Au

(/)X l

(t) + A M (t) x2 {t) + A 1 3 [t] x 3

(t)

+

+

A1 4 (0x4 (/) +

B 1 Wu(/),

л г 2

x 2

(0= A 2 2

it) x 2 (t) + A 2 4

(0 x4

(0 + B2 (t) u (0,

(5.9a)

N.

x 4 ( / ) = A 4 4 ( / ) x 4 ( 0

y ( 0 = C 2 ( / ) x 2 ( / ) + C 4 ( ^ ) x 4 ( 0

(5.96)

или в матричной форме

" X 1 (0 "

X l ( / )

xa(*)

0

A 2 2 ( / )

0

A2 4 (0

+

в2 (0

CO

, О

x3 (0

0

0

Af f l (0 A3 4 (0

0

u(*)~

Ю

_x«(0_

0

0

0

A 4 4 (^) _

_X4 (0.

0

Xi(0 -

y ( 0 = [ o c , ( O O C 4 {t)\

x,W

(5. 106)

1

/

dL(t)\

1

* 1 ( 0 в - 7 й ( 1 +

" 5 г ) Х 1 ( 0 + Т ( о в ( 0 '

1

/

dC

(t)\

1

if,(0

=

* i ( O - J T 2

( 0

+

«(0.

или в матричной форме

1

1 +

tf£

(Q

dt

(0"

*i

+

Ua (0.

1

/

dC

(t)

U a

(0.

С (О

1 +

dt

—

i

£ (0

в(0,

1

Lew

и(0

=

[1

- i ]

* 2

(0

• U

( t

) .

Примем L(t) = C(t) и определим новую систему переменных состояния:

г\ = — (*i

+х2),

z2 = — ( X ! — х2 ).

Тогда

1(0

1

+ rfL (О

* i

(О

+

| > 2 (О

1

1 +

rfl(Q

L*2

(О

L (О

Г

1

+

L(t)

и (О.

О

у (0 =

[0

2]

* i

(О

(О-

*а'(0

ма, а переменная состояния z2(t)

неуправляема, но наблюдаема. Каноническая

структура этой системы показана на рис. 5. 3.

uftj-

L/t)

I

*1(t)

M

Lft)17

dt '

янными омическими

сопротивлениями, показанной на

рис.

5. 2

Пример 5. 2*. Рассмотрим стационарную

систему

х ( 0

=

Ах (t) +

Bu,

У (О=

Сх (0

Г

- 3

- 3

0

26 3 6 — 3

—

25

30 3 9 — 2

—

27

30 4 3 — 3

— 32 _

3

3~

В

- 2

— 1

0

0

0

1-

С = [ - 5 ,

- 8 ,

1, 5].

Введем новый вектор состояния z(t)

при помощи неособого эквивалентно­

го преобразования z(t) = Tx(t),

где

2

3 0

—

т

Т

=

—

1

1 0

—

1

2

— 3 0

3

— 6

— 9 1

6-

^0

3

1

0'

Т-1

1 — 2

0

0

3

0

0

1

-1

0

1

0-

Имеем

z(t)

B 7 u (t).

=

ATz

(0 +

y(0

=

C r z

(0,

где

2

4

1 —

г

A 7- = T A T - i =

0 — 1

0

1

0

0

— 3

— 2

0

0

0

0

г

В, = ТВ

=

1

1

С 7

= С Т - 1

= [ 0 1 0 1].

о о

.0

о.

Нетрудно видеть, что эквивалентное

преобразование z(t) = Tx(t)

приводит

систему к канонической

форме

(5. 10). Каноническая

структура этой

системы,

аналогичная структуре на рис. 5. 1, показана на рис. 5. 4.

Определим другой вектор состояния w(7)

с помощью неособого эквивалент­

ного преобразования w(£) = Sx(r),

где

3

4

0

— 3

-

S =

1

1

0

— 1

-5

— 7,5

0,5

б

- —-6

— 9

1

6

~0

3

1

— 0,5'

1

— 3

0

0

3

— 3

0

1

.1

— 1

1

— 0,5-

Тогда

w(/) =

A*w (t)

+

Bsu(t),

где

1

— 0,5

As =

S A S - i

=

SB

=

о

0

.0

0.

C S - i =

[ 0 1 0

1].

Таким образом, видим, что преобразование w(^)=Sx(^) также приводит

систему к канонической

форме

(5. 106). Каноническая

структура этой

системы,

аналогичная структуре на рис. 5.1, показана на рис. 5.5.

Тот факт, что различные эквивалентные

преобразования Т и

S приводят систему к канонической форме, означает, что кано­

ническая структура

не

единственна. Заметим, что не все пока-

I

LI

/

- J

1_

1*Г

- 3

.Щ («)

'

u2(s)

Нетрудно видеть, что

на

передачу «вход — выход» влияет

системы по состоянию на произвольный

входной

сигнал

и (Л

в этом случае

нет необходимости

рассматривать неуправляемые

подсистемы N3

и

N l . Аналогично

этому,

при определении

пере­

ходного процесса

системы по выходу от

входного

сигнала

или

ное преобразование, в результате которого выявляется

полно­

стью управляемая и полностью

наблюдаемая

часть JV2

системы,

или, что эквивалентно,

система,

описываемая

уравнениями

ха (Л = А м ( / ) х а ( Л +

Вя (/)и(Л,

( 5 . 1 1 )

у ( Л = С я ( Л х 2 ( Л ,

называется

глобальной

редукцией

системы. Нетрудно

видеть,

что система

(5. 11), порядок которой п0 меньше или

равен п,