Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

9.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При t = ti «после» приложения импульса должен достигаться же

лаемый

переход

от

состояниях^_ ) к состоянию х<+>. Итак,

пола

гая в уравнении

(4. 90) t=U,

получим

xt + ) =

x(-) + V

( - l y - ^ B f o ) ^ .

(4.91)

Таким

образом,

желаемый

мгновенный

переход

состояния

х4(+) — Xj(-) достигается, если

может быть

найден

такой

ряд

л-векторов к{, i=

1,.. ., л, что

х{+>-х[-> = 2

(-ly-W-WVJk,.

(4.92)

Уравнение (4. 92)

можно записать в виде

x ( + ) - x ( - ) = Q c ( ^ ) k ,

(4.93)

где Qc(^i) •—матрица управляемости, определяемая

выражени

ем (4.52),

а к — дт-вектор:

к =

- к .

(4.94)

L ( - i ) « - i k „

Если система (4.51) равномерно управляема

на

[t0, tf], то

ранг Qc(ti)

равен

при

всех tit

принадлежащих

интервалу

[^о, tf]- В этом случае решение уравнения

(4. 93)

относительно

лт-вектора

к может

быть выражено

через

х{+ ) —х<- ) , Qc(ti) и

я (яг — 1) произвольно выбранных значений к.

Один из способов решения уравнения (4.93), при котором обеспечивается простейший вид входного сигнала u(t), когда выражение (4.87) состоит из наименьшего возможного числа производных импульсной функции 6(t-—т), заключается в сле дующем.

1. Формируем неособую (пХп)			матрицу		Qc(ti)	из	первых
п линейно независимых столбцов матрицы управляемости
		Qc(*i).
2. Формируем я-вектор к из я			элементов		яяг-вектора к, по
своему положению соответствующих я взятым из						Q c ( ^ ) столб
цам матрицы Q c ( 4 ) .		произвольностью		выбора		остальных
3.	Пользуясь
( я — \ ) т	элементов	ллг-вектора	к,	принимаем		их	равными
нулю.

120

4. Тогда уравнение	(4. 93) можно записать в виде
x [ + ) - x { - ) = Qc (*i)k.		(4.95)
Поскольку матрица	Qc (^) неособая, решение имеет вид
k =	Q r 1 ( ^ 1 ) [ x ( i + ) - x [ - ) ] .	(4.96)
Имея в виду использование этих результатов, заметим, что
иногда, в особенности при аналоговом моделировании,		бывает

желательно задачу определения импульсной переходной функции равновесной системы заменить задачей определения переход ного процесса в свободной от внешних воздействий системе и наоборот. В этом случае ищется входная функция u(t), которая при приложении к равновесной системе возбуждает такой же процесс, какой наблюдается при движении системы от некото рых начальных условий х ( / 0 ) = х 0 при отсутствии внешних воз действий. Входная функция, мгновенно изменяющая в момент t=ii состояние системы от х(/0 ) = 0 к х ( / 0 ) = х 0 , как раз и явля ется такой функцией. Следовательно, для указанной цели мож


но	использовать определяемую		выражением		(4.87)	функцию
u(t)	с коэффициентами kit	находимыми из уравнения				(4.96).
	Пример 4.2. Найдем вход	и(^), который,		будучи	приложен	к системе
	к (t) = A (t) х (t)		-i- u (t),	x ^o) =	0,

возбуждает переходный процесс, идентичный переходному процессу в одно родной системе


		i ( 0 = A(Ox(0,		х(г;0 ) = х0 .
В данном	случае	В(^) = 1„,	так что матрица управляемости имеет вид
Поскольку	ранг	1„ равен	п, выберем Qc (t) = 1„. Тогда k = k^ a kj =
= k 3 = . . . = 0.	Следовательно,		из уравнения (4.96) при х^+ ' = х 0 и x'j~'=0
		k ^ k ^ Q J " 1		( г 0 ) х 0 = х0

и согласно уравнению (4. 87) входной сигнал имеет вид

и(0 = х05 (t - т).

4.1.5.Примеры. Для разъяснения некоторых положений уп равляемости рассмотрим примеры.

Пример 4.3. Определим, является ли управляемой по состоянию или по выходу стационарная система

_5_	_3_
~~ 2	2	3	6'	'"1 '
Х2	-Х2\	+ .1	2.	"2 .
	U - 2 J	Х\
. у Л	U - 2 J	. Х2.

121

Для исследования управляемости по состоянию составим, согласно выра

жению (4. 85), матрицу Qc :
Q . = ГВ,		— А В ]	[3		6	6	12]
Q . = ГВ,		— А В ]	=	2		2	4
Ч с	1	J	[l	2		2	4
Так как ранг Qc равен	Г, т. е.	меньше	2,	система не управляема ни рав

номерно, ни абсолютно, ни полностью. Следует отметить, что минимальная система я-го порядка (т. е. система с п независимыми переменными состоя

ния) с я или большим числом входов не управляема по выходу, если не яв ляется управляемой по состоянию.

Пример 4. 4. Определим, является ли система

sin

cos

~t'

l_ — cos

sin

_*2.

и,

•y =

[|sin

t\ |cos

t\ x

управляемой по состоянию или по выходу.

Чтобы исследовать

управляемость

по состоянию, составим в соответствии

с уравнением (4.52)

матрицу управляемости

Qc(t):

Qc(t) =

[B(t),

ДВ(0]

— ^ sin ^ - -<2 cost

t cos

t —

sin t

откуда

Q c (0 = (#

det

+ *4) cos t

t2.

Поскольку detQc(t)

равен нулю

на

интервале

[0, оо]

лишь

при отдель

ных значениях t (т. е. почти нигде), все конечные интервалы

[to,

tf] содержат

конечные подынтервалы,

в которых

det Qc(t)=^0.

Следовательно,

система год

ностью управляема по состоянию на каждом конечном интервале [^>, tf] и по

этому абсолютно управляема по состоянию. Однако система не является рав

номерно управляемой				на	интервале [0, оо). Она				равномерно		управляема на
		п
интервале 10,		—
Для исследования управляемости по_ выходу составим согласно выраже
нию (4. 77)	матрицу			Sc(t):
	Sc	(t) =	С (tf)		[В (t),	Л, В (t)] =	[\|sin		t}\t	+ Icos tj\	*2,
Isin	tf\	(1 — t	sin		t — V cos t) + \|cos		tf\	(2t	— t2	sin t -£t	cos *)]•
Так как ранг Sc(t)				равен 1 почти везде, система полностью управляема
по выходу на		каждом		конечном		интервале	[t0,	tf] и,		следовательно, абсолют

но управляема по выходу. Она не является равномерно управляемой по выходу

на (0, оо) в случае, когда				sin ti—Q. Во				всех	других	случаях система равно
мерно управляема по выходу на (0, оо).
	Пример 4. 5. Рассмотрим систему
	Xl	(t)			а	0	Xi	Л	(О
	_х2	(0			.0	Ь	хч.	+ J	lit) u{t),	афЬ.
Здесь		/ i ( 0	=	sin* 2				(-V'b(~1}V-tn),
		/ i ( 0	=	sin* 2				(-V'b(~1}V-tn),
					Л ( 0 = /1			(* + я),
где	&<-!>(* _ т ) =		1,	t	>	х	• единичная ступенчатая функция.
			0,	t	< и

122

Для исследования полной управляемости системы по состоянию на ин тервале [0, 2я] используем теорему 4. 7. Составим согласно выражению (4. 52) матрицу управляемости Qc(t)

fi(t) a/i(0 + / i ( 0

Q C ( О -

/2(0 * / 2 ( 0 + Л ( 0

Так как в любой момент времени одна из строк Qc{t) обращается в нуль, ранг Qc (0 равен 1 почти везде. Следовательно, можно ошибочно заключить,

что система не является полностью управляемой по состоянию. В действи тельности же переходная матрица системы имеет вид

	0 - a ( t - t 0 )		О
<Р(0 *о) =			О
<Р(0 *о) =		О	e - b ( t - t 0 )
		О	e - b ( t - t 0 )
так что		-a(t0-t)	/ l ( 0
		-a(t0-t)
> ( W ) B ( 0 =
> ( W ) B ( 0 =		-b(t0-t)	/2 (0
		-b(t0-t)

Строки cp (г'о, О В (0 линейно независимы			и согласно следствию 4.2 систе
ма полностью управляема по состоянию на интервале [0, 2я].

Таким образом, применение теорем 4. 2 и 4. 7 привело к противоречивым заключениям. Если, однако, вспомнить, что теорема 4. 7 дает лишь достаточное условие управляемости, указанное противоречие разъясняется. Так как си стема не является полностью управляемой на конечном подынтервале [0, я] интервала [0, оо], то в соответствии с определением 4. 6 она не относится к абсолютно управляемым системам. Этот вывод вполне согласуется с теоре

мой 4.8, согласно		которой	для		абсолютной управляемости				на	интервале
[О, я] необходимо,		чтобы	ранг Qc (0			был равен п почти		везде	на	интерва
ле [0, я].
Пример 4. 6.	Рассмотрим			систему с диагональной матрицей А
* i	00		а	0"	'*1 (01		e - a t -
* i	00		а	0"	'*1 (01		и (0> а ф Ь.
			.0	*.	хг	(о]	и (0> а ф Ь.
_-*2 (0.			.0	*.	хг	(о]	j T b t .
Сформируем для этой			системы матрицу				управляемости	Q c (0 :
						e~at	0'
				Qc (t)		= le~bt	0.

Интуитивно можно предположить, что система абсолютно управляема по состоянию, так как вход оказывает на каждую из координат независимое влия ние. Однако матрица Qc (0 имеет ранг 1, т. е. меньше 2, и в соответствии с

теоремой 4.8 система не является абсолютно управляемой. Этот вывод под крепляется тем, что строки матрицы

			Se-ata ]
	> ( * о , О В ( 0	=	„~bt0
			„~bt0
не являются линейно независимыми, так как
	С'<Р(О,)В(*) = 0,
где с =	— ненулевой вектор.
	a—ata
Таким	образом, согласно следствию	4.2 система неуправляема по со
стоянию.

123

Этот пример показывает, что в случае нестационарных систем интуиция может привести к неверным выводам. Известно, что линейная стационарная система с диагональной матрицей А всегда управляема, если матрица В не имеет строк, состоящих из нулей. Как показывает рассмотренный пример, этот результат нельзя механически распространять на линейные нестационар ные системы.

4. 2. НАБЛЮДАЕМОСТЬ

Понятию управляемости по состоянию, характеризующему способность входа и (Л возбуждать все переменные состояния, близко понятие наблюдаемости, характеризующее способность состояния системы создавать выходной сигнал. Легко видеть, что если управляемость по состоянию определяется из уравнения

х(Л = А(Лх(Л + В(Ли(Л,

(4. 97)

содержащего возмущающий член, причем уравнение выхода не используется, то наблюдаемость определяется из свободной си стемы

х(Л = А(Л х(Л,

(4.98)

у(Л = С(Лх(Л,

т. е. системы, не содержащей возмущающего члена.

Дуальность управляемости по состоянию и наблюдаемости станет более ясной из приводимых ниже определений и крите риев.

Определение 4. 8. Система

				х(Л = А(Лх(Л+В(Ли(Л,							(4. 99)
				у ( Л = С ( Л х ( Л

называется			полностью		наблюдаемой,		если существует такое зна
чение		tf>to,	что начальное			состояние		свободной		системы
х ( / 0 ) = х 0 можно определить по известному								на интервале [to, tt]
выходу у (Л-
	Определение 4.9. Система, описываемая							уравнениями			(4.99),.
называется			полностью		наблюдаемой		на интервале		[t0, tf],		если
при	заданных			t0 и tf	начальное	состояние		свободной		системы
х(^о)=х0 можно определить по известному								на интервале			[t0, tf]
выходу		y(t).
	Определение 4 . 10. Система, описываемая уравнениями										(4. 99),
называется			абсолютно		наблюдаемой		на интервале		[t0,	tf], если
она	полностью			наблюдаема на каждом подынтервале интервала
[t0,	tf]. Система			абсолютно наблюдаема			в момент tf, если при за

данном tf она полностью наблюдаема на каждом конечном ин

тервале [to, tf].
Определение 4 . 1 1 .	Система, описываемая уравнениями	(4.99),
называется абсолютно	наблюдаемой от момента t0, если	для

всех tf>fo она полностью наблюдаема на [to, tf].

124

С учетом определений (4. 8)(4 . 9), (4.10) и (4.11) степень наблюдаемости можно интерпретировать аналогично тому, как

это	было		сделано	в отношении управляемости по состоянию,
Система,			начальное состояние которой можно определить по
известному на конечном интервале [t0, tf] выходу y(t),						где	tf —
любой		не	заданный	момент	времени, подчиняющийся	условию
tf>t0,		называется полностью			наблюдаемой на [t0, tf].	Система,
начальное			состояние х(/4 ) которой можно определить,			зная	вы
ход	y(t)		на любом	конечном подынтервале [tu t2]		интервала
[to,	tf],	где	произвольные t\ и t2 подчиняются условию t\<t2,				на
зывается			абсолютно наблюдаемой на [t0, tf]. Таким образом, пол

ная наблюдаемость означает, что начальное состояние х(/0 ) мож но найти, зная выход у(/) на некотором конечном интервале [/"о, tf], длина которого заранее не предопределена. Напротив, аб

солютная наблюдаемость		означает,		что	начальное		состояние
x(t0)	можно определить,	зная	выход	y(t)	на	некотором задан
ном	конечном интервале	[to, tf]	независимо от			того,	сколь мал

этот интервал. Из понятия равномерной управляемости следует,

что	понятие равномерной	наблюдаемости должно быть	опреде
лено	как возможность мгновенного определения состояния x(to)
по выходу у (t0), известному в момент t=t0.
Найдем теперь условие		наблюдаемости, из которого	станет

видна дуальность понятий управляемости по состоянию и наблю даемости.

Теорема 4.13. Система, описываемая уравнениями (4.99), полностью наблюдаема на интервале [t0, tf] тогда и только тог да, когда столбцы матрицы С(£)ср(/, to) линейно независимы на интервале [to, tf].

Доказательство. Достаточность доказывается следующим об разом. Состояние свободной системы

	х ()=?(,	t0)x(t0)	( 4 . 1 0 0 )
определяет выход
у (г) = С (/)?(/,		/0 )х(/0 ).	( 4 . 1 0 1 )
Умножим уравнение	(4. 101) слева	на q/(^, t0)C'(t)	и проинте
грируем на интервале	[to, tf]:

125

	Вводя обозначение
										(4.103)
получим
										(4.104)
	Отсюда		можно	заключить, что матрица N(/0 , tf)					неособая
тогда и только тогда, когда столбцы C(t)<p(t,								to) линейно неза
висимы. В этом случае состояние х(/0 ) может								быть определено-
по выходу			у (Л, известному на интервале [t0,					tf\.
										(4.105)
	Необходимость			становится очевидной, если предположить, что
столбцы		С(/)ф(^, t0) не являются линейно независимыми. В этом
случае существует такое ненулевое состояние								х(^0 ), что		у ( Л = 0
на	[t0, tf].		Следовательно,			состояние,	обусловливающее			выход
y(t)	=0, не может быть наблюдаемым.
	Следствие 4.13. Система, описываемая уравнениями									(4.99)»
полностью наблюдаема					на интервале [^о, tf] тогда и только					тогда,
когда		определяемая			выражением		(4. 103)	(пХп)-матрица
N	(^о, tf)	неособая.
	Из определения 4. 10					абсолютной	наблюдаемости		выводит
ся следующая теорема.

Теорема 4. 14. Система, описываемая уравнениями (4.99), аб солютно наблюдаема на интервале [t0, tf], если столбцы матрицы С(Лф(^, t0) линейно независимы на каждом подынтервале ин тервала [t0, tf].

Следствие 4.14. Система, описываемая уравнениями (4.99), абсолютно наблюдаема на [t0, tj], если определяемая выражени ем (4. 103) (пХп)-матрица N(tu t2) неособая при любых /4 и t2>tu принадлежащих интервалу [t0, tf].

Теорема 4. 13 (и вытекающее из нее следствие) о наблюдае мости имеет большое сходство с теоремой 4. 2 (и соответствую щим следствием) об управляемости по состоянию. Сходство между этими теоремами используется ниже для формализации дуальной связи между наблюдаемостью и управляемостью по состоянию [13].

126

Теорема 4.15. Система, описываемая уравнениями 4.99, пол ностью наблюдаема на [to, tf] тогда и только тогда, когда сопря женная система *

x * ( / ) = - A ' ( / ) x * ( 0 ± C ' ( 0 u * ( / ) ,

y * W = + В ( O x * (О


полностью управляема			по состоянию на [to, tf].
Доказательство. В			соответствии			с	теоремой	4. 13	система
(4.99) полностью		наблюдаема			тогда		и только	тогда, когда
столбцы матрицы		C(t)y(t,		t0)	линейно		независимы.		Согласно
следствию 4. 2 сопряженная				система		полностью		управляема по
состоянию	тогда	и	только		тогда,		когда строки		матрицы
Ф*(^о. t)C'(t)	линейно		независимы. Из				уравнения (3.75а) вид
но, что ф*(^о, t)=q>'(t,			to). Следовательно, сопряженная						система

полностью управляема по состоянию тогда и только тогда, ког

да строки матрицы q>'{t, t0)C(t)	линейно	независимы или,	что
эквивалентно, тогда и только	тогда, когда	столбцы C(t)(p(t,	to)

линейно независимы. Таким образом, необходимые и достаточ ные условия полной наблюдаемости системы идентичны необхо димым и достаточным условиям полной управляемости по со стоянию сопряженной системы.

Следствие 4.15. Система, описываемая уравнениями (4.99), абсолютно наблюдаема на [to, tf] тогда и только тогда, когда со пряженная система абсолютно управляема по состоянию на

[to, tf].

Теорема 4. 15 имеет весьма большое значение, так как все критерии для исследования управляемости системы по состоя нию можно на основании этой теоремы использовать для иссле

дования наблюдаемости системы. А именно: для		определения
наблюдаемости	теперь могут быть применены теоремы		4.7 и
4. 8 и следствия	из этих теорем. Таким образом,	теорема	4. 15

устанавливает дуальную связь между наблюдаемостью и управ ляемостью по состоянию. Важно отметить, что такой имеющей физический смысл дуальности для понятия управляемости по

выходу не существует.
Для простоты обозначений в дальнейшем матрица	наблюдае

мости Qo(0 определяется как матрица управляемости сопряжен

ной системы	(4. 106). Имеем
Q 0 W	=	Q ; ( 0 = [ C ' ( 0 , Д Ь С ' ( 0 , - . - . ДО- 1 С'(t)],				(4.107)
где
		А 0 ^ А ' ( 0	+ ^ - .		(4.108)
			at
Тогда дуальные теоремы 4. 7			и 4. 8	можно записать	в	отно
шении матрицы		наблюдаемости	Qo(0> в	результате чего		обра-
* Теорема, связывающая наблюдаемость системы с управляемостью по со
стоянию дуальной		системы, также может быть доказана (см. задачу			20).

127

зуются следующие алгебраические критерии наблюдаемости си

стемы.
A(t)	Теорема 4.16. Система, описываемая уравнениями									(4.99), где
	и	C(t) — матрицы,			дифференцируемые				соответственно
(п — 2)		и (п — 1) раз почти везде на интервале							[to, tf], полно
стью наблюдаема			на [to, tf], если (пХпг)-матрица						наблюдаемо
сти	Qo(0 имеет		ранг	п почти везде на			некотором			конечном
подынтервале интервала [/0, tf].										(4.99), где
	Теорема 4.17. Система, описываемая уравнениями
A(t)	и	С(^) —матрицы,			дифференцируемые				соответственно
(п — 2) и (п— 1) раз на интервале [t0, tf], абсолютно										наблюдае
ма	на [to, tf] тогда и только тогда,					когда	(пХ пг)-матрица				на
блюдаемости Qo(t) имеет ранг п почти							везде		на	интервале
['о, tf].
	Определение 4.12. Система, описываемая уравнениями										(4.99),
называется равномерно				наблюдаемой		на [to, tf], если матрица
наблюдаемости Qo(t) имеет ранг п						везде	на	интервале			[t0, tf].
	В разделе 4. 1.4 было				показано, что если			система		равномер
но	управляема по состоянию, то эту систему можно									привести

в любое состояние мгновенно. В соответствии с определением дуальности аналогичным свойством обладают равномерно на

блюдаемые	системы. А	именно:	если	система	равномерно
наблюдаема,	то ее состояние x(f4 )		в момент t = t\		может быть
определено по известному		выходу	системы	y(^i) в этот момент
t = ti. Это можно показать		следующим образом. Принимая во

внимание, что выход
	у ( 0 - С ( / ) х ( 0				(4.109)
однородной системы	можно	дифференцировать			(п—1)	раз,
получим
у(0=С()х()=[С'(')]'х(0,
у( 1 ) (0 = С (t) A (t) х (0 + С( 1 ) (0 х (0 =				[До С (*)]' х it),		(4. 110)
у ( Л	- 1 , ( / ) = [ д Г 1 С		(t)]'x(t)
или в более короткой записи
Г У ( 0
	у ( 1 ) . (0	= Q 0 ' ( * ) x ( 0 .			(4.111)
		= Q 0 ' ( * ) x ( 0 .			(4.111)
Если система равномерно		наблюдаема		на [t0,	tf], то Qo(0
имеет ранг п везде на [to,h] и,		следовательно, (пХп) -матрица

128

Q J ( 7 ) Q J ' (0 неособая. Тогда, умножая уравнение (4. 111) слева на Qo(0> выражаем состояние х(^) через известный выход у (А):

					(4.112)
			.(л-1)
		СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	А т а н с	М. и Ф а л ь б П. Оптимальное управление.			М., «Машино
строение», 1968.
2. Д е р у с с о П. и др. Пространство состояний в теории					управления. Для
инженеров. М., «Наука», 1970.
3.	З а д е	Л. А. и Д е з о е р	Ч. Теория линейных	систем. Метод прост
ранства состояний. М., «Наука»,			1970.
4.	С о л о д о в А. В. О преобразовании начальных			условий на выходе ли

нейной системы с переменными параметрами в эквивалентный входной сиг нал.— «Автоматика и телемеханика» 1958, № 7.

5. С h a n g, A. An Algebraic Characterization of

Controllability, I E E E

Trans,

on Automatic Control, vol. AC-10,

no.

1 (1965), pp. 112—113.

D'A n g e 1 о, H. Conversion

Initial

Conditions in Linear Time-Varving

Systems,

I E E E Trans, on Circuit

Theory, vol. CT-14, no. 4,

(1967).

7. Q i 1 b e r t

E . G. Controllability

and Observability in Multivariable

Cont

rol Systems, J. SIAM Control, vol. 2,

no. 1 (1963), pp. 128—151.

H a y n e s ,

G. Controllability

Nonlinear Systems, NASA Report No_

NASA-456, Martin — Marietta

Corp.,

Denver,

Colo.,

for

Ames

Research

Center..

April

1966.

IT e r m a n, R., On the

Accessibility Problem

Control Theory,

J. P.

LaSalle

and S. Lefschets (eds.), Proceedings

International Symposium on

Non

linear Differential Equations and Nonlinear Mechanics, Academic Press., New York, 1963.

10. H e r m e s

H. Controllability and

the Singular Problem, J. SIAM

Cont

rol,

vol. 2, no. 2, 1965, pp. 241—260.

11.

К a 1 m a n,

R. On the General Theory

Control Systems,

Proceedings

First International Congress of the International Federation of Automatic

Cont-

rgl,

Butterworth, London,

1961, pp. 481—492.

12. К a 1 m a n

R. Y. С. Ho a n d K. N a r e n d г a. Controllability of

Linear

Dynamical Systems, Contributions to Differential

Equations,

vol.

no.

(1962), pp. 189—213.

13.

К a 1 m a n,

R. Mathematical Discription

Linear Dynamical

Systems,

J. SIAM Control, (1963), vol. 1, no. 2, pp. 152—192.

14.

К r e i n d 1 e r E., a n d

P. S a г а с h i k, On the Concepts

Controllabi

lity

and

Observability

Linear

Systems,

I E E E

Trans, on

Automatic

Control,

(1964) , vol AC-9, pp. 129—136.

15.

L u e n b e r g e r ,

D.,

«Observers

for

Multivariable

Systems»,

I E E E

Trans, on Automatic Control, (1966), vol AC-11, no. 2, pp. 190—197.

16.

S c h w a r z

R. a n d

F r i e d l a n d , Linear Systems,

McGraw-Hill,

New York, 1965.

17.

S i l v e r m a n ,

L. a n d H. M e a d o w s ,

Controllability

and Time-Va^

liable Unilateral Network,

I E E E

Trans,

Circuit Theory,

vol CT-12,

no.

(1965) , pp. 308—314.

18.

S i l v e r m a n ,

an d

H. M e a d o w s ,

Degreess

Controllability

in Time-Variable Linear Systems,

Proceedings

National Electrpnics

Conference,

November, .1965, pp. 689—693.

19. S i 1 v e r m a n, L. Representation and Realization of Time-Variable Linear

Systems, Technical Report No. 94, Dept. Electrical Engineering, Columbia Uni

versity, New York, June, 1966.

3593

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ