книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

нение которых не требует знания переходной

матрицы. Для

класса систем, уравнения

которых

содержат

матрицы

А(^) и

В (t), допускающие дифференцирование

соответственно п — 2 и

п — 1 раз, далее

находятся

достаточные

условия

полной

управ­

ляемости. Необходимые и достаточные условия

получены

для

абсолютной управляемости [5, 8, 20, 21].

Теорема 4.5. [8]. Система

х(*) = Н(/)и(*),

(4.34)

где матрица H(t)

—дифференцируема (п— 1)

раз почти

везде

на интервале [t0,

tf], полностью управляема по

состоянию

на

[t0, tf], если пХпт

матрица

управляемости

Н(/),

d n

d

" ~ l H ^

(4.35)

dt

d t n - l

вале [tu t2]

интервала [to, tf].

0(/г —1)

Доказательство. Дифференцируя

с|Н(/) =

раз, обра­

зуем

равенство

Н ф

dB(t)

dn~lH(t)

=

0,

(4.36)

dt

at"'1

или просто

C ; Q c 0 ( 0 = 0 .

(4.37)

Ясно, что если на [/ ь t2] ранг

Q c o ( 0 равен

п,

то по необходи­

мости

Ci = 0. Следовательно,

соблюдение

на [ti, t2]

равенства

с / Н ( £ ) = 0

означает,

что Ci = 0,

а соблюдение

условия

с 2 ' Н ( ^ ) ^ 0

указывает

на то, что с2=^=0.

Тогда на основании следствия 4. 1 система полностью управ­

ляема по состоянию.

Теорема 4. 5 дает достаточное условие полной

управляемости

по состоянию для случая, когда матрица H(t)

дифференцируе­

ма (п—1)

раз на интервале [t0,

tf].

Однако необходимые и достаточные условия могут быть до­

казаны для более сильного понятия абсолютной

управляемости

по состоянию.

H(t)

Теорема 4.6. Система (4.34), в которой

дифференцируе­

ма (п — 1) раз почти везде на интервале [t0,

tf], абсолютно управ­

ляема по состоянию на [t0, tf]

тогда и только тогда, когда пХпш

матрица управляемости Qco(t)

имеет

ранг

«я»

почти

везде на

тервале [tu

t2] интервала

[t0, tf].

Если ранг Qc o(0

меньше

n на

[tu

4], то существует такой

ненулевой

аналитический

п-вектор

Ь'(/)=[&!(*),...,

М О ] на [tu

hi

что

b ' ( O Q c o (0 = 0 .

(4.38)

Записывая уравнения

(4.38)

по элементам,

получим

Ь'(ОН ( 0 = 0 ,

b'(t)

dU

(О

-о,

(4.39)

Ь'(0

н

( о

:0.

Дифференцируя уравнения (4. 39)

и учитывая эти уравнения,

находим

Ь ' ( О Н ( 0 = 0 ,

dt

Н ( / ) = 0 ,

(4.40)

. л - 1

Ь'

Н ( о = о ,

dtл-1

или

W „ ( * ) H ( 0 = 0 ,

(4.41)

где

Ь ' (0

rfb' (О

w „ ( 0 =

dt

(4. 42)

jn—l b'(0

Л—1

Поскольку ни одна из строк Н ( 0 не состоит из нулей

(нуле­

вая

строка

Н (t)

означала

бы, что соответствующая

переменная

состояния

неуправляема), ранг

матрицы W „ ( 0 меньше

п

на

[tu t2]. Без

потери общности

положим,

что ранг

Wn(t)

равен

п—1

на [ti, t2]. Тогда элементы

матрицы b(t)

можно

записать

в виде линейных

комбинаций из

( я — 1)

независимых

решений:

bi (0 = Л

(0 ku +

/2

(t) *„ + ...+

/ „ _ ! (/) £„-Ы

=

(4. 43)

где

¥{t) =\}i(t),...,

fn-i{t)]

есть

(n — 1)-вектор,

представляю­

щий

п—1

независимых

решений на

[tu

t2], а

к / = [&1г-,

k2i,...,

£n _i,i — постоянный

(n—1)-вектор.

Уравнения

(4.43) можно

записать

как

(4.44)

или как

(4.45)

где

11

ь 12

•

• • ^ Ъ л

^21

^22

• • • ^2, л

(4.46)

L^rt — 1,1 ^л—1,2 • • • ^л—1,л

Здесь Ь(г') и f (t

)не обращаются в нуль на [г4, £2], матрица К так­

же ненулевая.

(п — 2) раз, получим

Дифференцируя уравнение (4. 45)

- b'(o

-

~

/At)

/ . ( 0

• •

• fn-lit)

-

db'(t)

dfx

(0

dt

dfn-1

(0

dt

=

dt

kК= w „ _ 1 w k ,

d"-2 b'

dn~2A

(t) d"-2f2(t)

dt"~2

dt"~2

dt"-2

л я

- а

(4.47)

где W„_i(/) —матрица Вронского скалярной системы

(п— 1)-го

порядка,

имеющей (п—\)

независимых решений

/ч( £ ), ...

..., fn-i(t).

Умножая уравнение (4. 47) справа на H(t),

получим

Так

как

W„_i (t) — матрица

Вронского,

соответствующая

(п—1) независимым

решениям,

det W n _ i (t) ФО для

всех t на

интервале [h, t2], откуда

следует:

0 = KH (*).

(4.50)

Поскольку К =7^0, то существует ненулевой

n-вектор с такой,

что

c'H(t)=0

на [U, t2]. Согласно

следствию

4. 1 это

означает,

х (*)=А

(*) х(/) +

В (/)и(*),

(4.51)

где

А(^),

B(t)—дифференцируемые

соответственно

(п — 2)

и

(п—

1)

раз матрицы почти везде на интервале [t0, tf],

полностью

управляема

по состоянию на [to, tf],

если

nXntn

— матрица

уп­

равляемости

Qc (/) = [В (0,

Де В (0, . . . ,

Д Г 1

В (0]

(4. 52)

имеет ранг «га» почти везде на некотором конечном

подынтерва­

ле интервала [to, tf]. Оператор Ас

определяется как

д , =

- А ( * ) + - £ - .

(4.53)

dt

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 4. 2, при­

меняем

неособое преобразование

z(t)—<p(to,

t)x(t).

Тогда систе­

ма (4. 51)

переходит в систему

где

z(/) = H(/)u(/),

(4.54)

Н ( 0 = В (*)•

(4.55)

Применяя

теорему 4. 5

к преобразованной

системе

(4.54),

по­

лучим

Q e o ( 0 = [ ? ( / o . t ) B ( t ) , j - { ? ( t 0 , t ) B ( t ) } , . . . , ^ - { 9 ( t 0 , t )

В(0)

L

dt

din-i

(4.

56)

Принимая во внимание уравнения (3.23) и (4.53),

это

вы­

ражение можно записать в виде

Q e oW=<Pto >. WBW,

А , В ( * ) , . . . ,

A ^ B W ]

(4-57)

или просто как

Q c

o M =

<P(>o.*)QrW-

(4.58)

Поскольку ранг <p(t0, t) равен

«га»,

ранг

Q c o(0

равняется

«га» тогда и только тогда, когда ранг Qc(t)

равен «га».

(4.51),

где

Теорема 4.8. Система, описываемая уравнением

А(^)

и

В(^)— дифференцируемы

соответственно

(га — 2)

и

(га — 1)

раз

почти везде на

интервале

[t0, tf], абсолютно

управ­

ляема

по

состоянию

на

[/0,

tf]

тогда

и

только

тогда,

когда raXra/n-матрица управляемости

Qc(t)

имеет

ранг

«га» почти

везде на интервале [to, tf]-

x(t) =

H(t)u(t),

(4. 59)

Н(0,

dH

(t)

.л-1 н ( 0

(4.60)

dt

dt л-1

имеет ранг «г» почти везде на некотором конечном

подынтерва­

ле [tu

t2] интервала [t0, tf].

Доказательство, Дифференцируя c'G (t})

Н (t) — 0

(п—1)

раз,

формируем

C i ' G ( ^ ) Q c O (0 = 0 ,

(4.61)

или просто

c;Sc 0 (0 = 0.

(4.62)

Если,

следовательно,

на интервале [tu

t2] ранг Sc0(t)

равен

«п»,

то

необходимо,

чтобы

Ci = 0.

Поэтому

равенство

Ci'G(tf)H(t)

= 0

на

интервале [tit

t2] означает, что ^ = 0 , а

нера­

венство c2G (tf)

Н (t) =7^=0 означает, что с2=#=0. Отсюда

следует, что

G(^)H(^)

имеет г

линейно независимых

строк

на подынтервале

[tu

t2], и, согласно

следствию 4. 3, система

полностью

управляе­

ма по выходу.

Теорема 4. 10.

Система, описываемая

уравнениями

(4.59), где

H(t)

дифференцируема

(ft — 1)

раз почти

везде на [to, tf], абсо­

лютно управляема

по выходу на [/0, tf] тогда и только тогда,

ког­

да

гХ«т - матрица

управляемости

S c 0 ( 0

имеет

ранг г

почти

вез­

де на интервале [Y0, tf].

Доказательство. Достаточность непосредственно вытекает из

теоремы 4. 9.

Необходимость

* доказывается

от противного. Предположим,

что

система абсолютно

управляема по выходу

на [t0,

tf],

а

ранг

Sc0(t)

меньше г на некотором конечном

подынтервале [tu

t2] ин­

тервала [t0, tf]. Если ранг Sc0(t)

меньше

г

на [tu

t2],

то сущест­

вует такой ненулевой r-вектор Ъ'(t) =[bx(t),..

.,

br(t)]

на

[tu

t2],

что

b ' W S e , ( / ) = 0 .

(4.63)

Ь ' ( Л О ( ^ ) Н ( 0 = 0,

b ' ( f ) G ( < , ) ^ = 0 ,

7

dt

(4.

64)

b>(t)G(tf)

dn~x H (t)

= 0,

dt л—1

b'(t)G(tf)H(t)

= 0,

(4.65)

dt

G(/«)H (0 =

0

или

(4. 66)

V ( / ) G ( / ; ) H ( / ) = 0 ,

где У(Л- га X /"-матрица

вида

Ь'(Л

dt

V(/)

=

(4.67)

bt

W = A (t) Ьи+f*

W hi+.-•

+ / r - i (0

kr-u=

=

i'(t)kt,

/ = 1

r,

(4.68)

где f (t)=[f1

(t),...,/r_!

(t)] — (г — 1)-вектор, представляющий на

/2 ](г —1)

независимых решений, a

\L'x—[klh...,kr-lyl]

—постоян­

ный (г — 1)-вектор.

Уравнения

(4. 68) можно записать как

b'(0 = f ' ( ' ) [ k i , k 2 , . - - . M

(4.69)

или как

V(t) =

t'(t)K,

(4.70)

где (г—1)

X/'-матрица К определяется выражением

K = [ k 1 , k a , . . . , k r ] .

(4.71)

Так как b(t)

и i(t)

не равны нулю на [tu

t2], матрица К также

не равна нулю. Дифференцируя уравнение (4.70)

(г — 2) раз,

получим

b'(o

Л (О

db'

(t)

dt

dt

K - W r t ( / ) K ,

Ь'(0

d r ~ 2 /i(О

dr-2fr-X

(t)

Г-2

dtT'

(4.72)

где Wr _i(/) — матрица Вронского, представляющая

(г — 1 ) не­

зависимых

решений

fi{t),...,

fr-i(t)

скалярной

системы

(т — 1)-го порядка.

(4.72) на G{tf)H(t),

Умножая

справа

уравнение

получим

-b'(t)Q(t})H(t)

db'

(t) G(tf)H(t)

dt

= Wr _1 (*)KG(// )H(*).

(4.73)

dr-2b'

(t) G(tf)H(t)

dt r-2

Отсюда в соответствии с уравнением (4. 65)

имеем

0 = W J . _ 1 (0KG(^ / )H(0 .

(4.74)

Так

как

Wr _i(^)-матрица

Вронского,

соответствующая

(г— 1) независимым

решениям, detWr _i(/) ф0

при всех t в ин­

тервале [ti, t2] и

0 = K G ( ^ ) H ( / : ) .

(4.75)

Поскольку

КФО,

существует

такой ненулевой r-вектор Ci, что

CjG (t}) Н {t)=0

на

[tit t2\. Это

означает,

что

строки

матрицы

G(^)H(/)

линейно зависимы на интервале [t\, t2]

и,

согласно

следствию

4. 3, система не является полностью

управляемой по

выходу на [ti,

t2]. Но это противоречит исходному

предположе­

нию, что и требовалось доказать.

Теорема 4. 11. Система

x ( 0 = A(/)x(*) + B(0u(*),

y( 0 = C(0x(0 ,

(4.76)

где А (Л, В (Л — дифференцируемы

соответственно

(п — 2)

и

(я—1) раз почти везде

на [to, tfi,

полностью

управляема по

выходу на [t0,

tf], если

(гХпт)

—матрица

управляемости

Sc

(0 = С (tf) [В (/),

ДСВ ( 0 , . •, Д Г 1

В (/)] = С (tf) Qc

(t)

(4. 77)

имеет

ранг «г» почти везде на некотором конечном подынтерва­

ле [tu

t2] интервала

[/0. Л]> Д = —А (Л + — •

Доказательство.

dt

z(t)

=

После

неособого

преобразования

= ф(^0 , t)x(t)

можно применить теорему 4. 9:

Sc0(t) = C(tf)<?(tf,t)Qe(t).

(4-78)

Согласно теореме 4. 9 система

(4. 76)

полностью управляема по

выходу,

если

ранг

S c 0 ( 0 = P a H

r

G(tf)(f(tf)<f{tf,

t)Qc(t)

=r.(4.79)

Для системы n-го порядка

ранг (f(tf, t) =п.

(4.80)

Принимая

во внимание

уравнения

(4.79), (4.80), видим, что

ранг Sc 0 (/) < л .

(4.81)

Таким образом, если число выходов г превышает порядок си­

стемы п, система не является управляемой по выходу.

Для случая г ^ я

ранг S c 0 ( 0 = p a H r

С(*/)О с (*)=ранг

Sc (f).

(4.82)

Следовательно, если ранг Sc(t)

равен г, то система полностью

управляема по выходу.

Следствие

4. 11. Если в системе

(4.76)

число выходов

г пре­

вышает

число переменных

состояния

я, то система

не является

полностью управляемой по выходу.

Теорема 4. 12. Система, описываемая уравнениями

(4. 76), где

А (Л

и

В (Л — дифференцируемы

соответственно

(я — 2)

и

(п—

1) раз почти везде на [to, tf], абсолютно управляема

по вы­

ходу

на [t0, tf] тогда и только

тогда,

когда

(гХпт)-матрица

уп­

равляемости

Sc(t)

имеет ранг г почти

везде на интервале [to, tf].

Доказательство

аналогично

доказательству

теоремы

4. 11

с

тем лишь отличием, что к преобразованной

системе

применяется

Следствие 4.12. Линейная стационарная система

х(Л = Ах(Л + Ви(Л, у ( 0 = Сх(Л

(4.83)

SC- = C[B,

- А В ,

А2 В,..., ( - А ) " - ^ ]

(4. 84)

имеет ранг г.

Критерий абсолютной управляемости по состоянию получа­

ется из следствия 4.12

при С = 1. Следовательно,

г = п,

и

для

полной управляемости по состоянию

матрица

Q, = [B,

- А В ,

А 2

В , ( - А ) » - ^ ]

(4. 85)

должна иметь ранг п.

4. 1.4. Равномерная управляемость. Из изложенного в

преды­

дущем разделе ясно, что управляемость тесно связана

с

ран­

гом

матрицы

управляемости

на

рассматриваемом

интервале

[to,

tf]. Для большей ясности последующего изложения обратим­

ся к матрице управляемости Qc(t),

представленной

уравнением

(4.52). С помощью этой матрицы

определяется

управляемость

по

состоянию

системы

(4.51). Теоремы 4. 5 и 4. 7 и

их

доказа­

рица

управляемости Qc(t) имеет ранг п, вход

связан с

состоя­

нием

так, что каждая переменная состояния

управляема,

т. е.

переменных состояния заданным образом. С

другой

стороны,

в момент времени, для которого ранг

Q c ( 0

меньше

п, сущест­

вует по меньшей мере одна переменная

состояния, в

известном

смысле не связанная со входом. В более конкретной

формули­

висимости одной

переменной

состояния от других,

вследствие

чего существует

такое неособое

преобразование T(t), что

одна

из преобразованных

переменных

как-либо определенно не

свя­

зана со входом.

Как следует из теоремы 4.

8, абсолютная

управляемость

име­

ет место, когда ранг

матрицы

управляемости

Qc(t)

равен п

поч­

ти везде на каждом

конечном

подынтервале

рассматриваемого

для любого момента, когда ранг Qc(t)=n,

такой перевод воз­

можен с помощью импульса, состоящего

из дельта-функций и

их производных.

Изложенное показывает, что степень управляемости

более

высокая, чем абсолютная управляемость, достигается

требова­

нием, чтобы

матрица управляемости Qc(t) имела

ранг

п

везде

на интервале [t0, tf]. Отсюда

вытекает следующее

определение

равномерной

управляемости.

Определение 4.7. Система, описываемая уравнением

(4.51),

называется

равномерно управляемой по состоянию на [t0, tf], если

матрица управляемости Qc(t)

имеет ранг п везде на интервале

[4, tf]. Легко видеть, что если

линейная стационарная

система

управляема

полностью или абсолютно, то она является и равно­

чу сформулируем как проблему определения входа

и (г), кото­

рый,

будучи приложен в некоторый момент t—ti

на

интервале

[t0, tf], изменяет состояние

отх(^) —х<-> к х(^1 )=х(

1 +'. Состояние

системы можно

определить

из уравнения (3.42), положив,

что

С(/) = 1 п :

x ( 0 = T ( M i ) x < r > +

j <p(/,t)B(t)u(t)flrt.

(4.86)

Как

уже отмечалось, вход и (г), прикладываемый

в момент t=

= ti, принимается в виде

uW =

2M('-1)(<-^).

(4-87)

Подставляя

выражение

(4.87) в уравнение (4.86), получим

Х ( 0 = < р ( * Л ) Х < - > + V

^ - [ T ( / , t ) B ( t ) M , . ( l .

( 4 . 88)

Используя формулы

(3.23)

и (4.53), можно показать, что

т

[ср (/, т) В (т)] =

( - 1 )'-»<р {t, х) д <В (х).

(4. 89)

Подставляя

выражение (4.89) в уравнение (4.88), находим

х(*) = <р(*Л)

x (

r ) + 2 ( - 1 ) ' ~ 1 ^ ~ 1 B ( / i ) k '

(4.90)