книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез

> 2 (0.

* flu (0

«12(0

1 Г-М01

г м о и (0,

-

122(0

J 1*2 (О ]

L*2(0

'»i (0"

сп (0

с1 2 (0 1

* l ( 0 '

.У2 (0.

<?21 (О

С22 (О J

*2 (О.

10м

л

10м

I

им

С

К *

-

из блок-схемы исходной

линейной системы общего вида без написания урав­

нений этих систем.

3. 9. Вывести уравнения (3. 101).

1

cost

(s+1) ls+2)

а)

1

1

cost

(s+1)

fs+2)

5)

Рис. ПЗ. 12.

Импульсные системы с обратной свя­

зью в задаче 3.

12:

ществование входа u(t), который

переводит

выход от началь­

ного у (to) к окончательному y(tf)

значению.

Если обнаружится,

нием некоторого

входного

сигнала [11,

12,

13].

Это

понятие

управляемости

по

состоянию

* позднее стали

отличать от управ­

ляемости по

выходу [14], под которой

понимается

возможность

влиять на переходный процесс по выходу

приложением

входных

сигналов. При анализе и синтезе линейных систем

различают

три степени

управляемости:

1) полная

управляемость

означает,

Определение 4. 1. Система называется полностью

управляе­

мой по состоянию, если из начального состояния x(to),

соответ­

чательное состояние

X/ за конечное время tf

— 1 0 ограниченным

входным

сигналом

и(^), Ци(^) | | < о о . Следовательно,

существует

такое tf,

4 < ^ < ° о ,

что х(^) =Xf.

управляе­

Определение 4. 2.

Система называется полностью

мой по

выходу, если

начальный выход у (to),

соответствующий

ходу у/ за

конечное время tf — £0 ограниченным входным

сигна­

лом

u(t),

||u(i) | | < о о .

Следовательно,

существует

такое

tf,

t0<tf<<X>,

что у ( ^ ) = У / .

Пример 4. 1 [14]. В качестве примера объекта, неуправляемого по состоя­

нию,

но

управляемого по

выходу,

рассмотрим

систему,

показанную

на

рис.

4.1.

В

пространстве состояний

состояние x(t)=[xi(t),

Xz(t)]'

можно

перевести лишь на линию, параллельную прямой

xi(t) —x2(t).

Следовательно,

каким бы ни был вход u(t),

многие состояния x(tf)

недостижимы,

так что си­

вается слабо

управляемой.

Данное

ранее определение полной управляемости

допускает

делении

полной

управляемости

на

интервале

[/0, tf].

Определение 4. 4.

Система

называется

полностью

управляе­

мой

(«по состоянию» или «по выходу», «сильно» или «слабо») на

интервале [t0, tf],

или

просто

управляемой

на

[t0, tf], если

любое

начальное состояние х(/0 )

может быть переведено в любое окон­

чательное состояние

x(tf)

ограниченным

управлением

и(^), при­

кладываемым в замкнутом интервале [/0, tf].

В других задачах интервал [to, tf], на котором должно

быть

осуществлено управление,

априори

не может

быть

определен.

Для этих случаев целесообразно определение абсолютной

управ­

ляемости.

Определение 4. 5.

Объект

называется

абсолютно

управляе­

мым

(«по состоянию» или

«по

выходу»,

«сильно» или

«слабо»),

если

он

полностью

управляем

на

любом

конечном

интерва­

ле [t0,

tf].

Определение 4.6.

Объект

называется

абсолютно

управляе­

мым

на [/0, tf], если он полностью управляем на любом

конечном

подынтервале, принадлежащем

[to, tf]. Говорят, что объект

абсо­

лютно управляем

при to, если при данном £0

он полностью управ­

ляем на любом конечном интервале [to, tf].

i(t) =

H(t)u(t)

(4.2)

Путем эквивалентного

преобразования

z (0 =

T(/)x(/),

(4.3а)

где

<p(^0 = cp-i(/,/0 ),

T(f) =

(4.36)

Н =

В (*),

(4.4)

х ( / ) = Н ( / ) и ( / ) ,

(4.6)

где Н (t)

принадлежит

L2[to,

tf]*, полностью управляема по со­

стоянию

на [to, tf] тогда

и только тогда, когда пХп

матрица

M0(t0,tf)^^U(t)H'(t)dt

(4.7)

неособая.

to

Доказательство. Достаточность доказывается следующим об­

разом. Полагая вход u(t)

в виде

ч(*)

= Н ' ( 0 £ ,

(4.8)

* Lz[ta,

tf] — класс функций, квадрат которых интегрируем

на замкнутом

интервале [to, tf].

где

£ — постоянный

n-вектор,

подставляем

уравнение

(4. 8)

в

уравнение

(4. 6):

'x(t)

=

H(t)H[(t)l

,

(4.9)

Интегрируем в пределах от t0 до

tf.

x(tf)-x(t0)=

\fK(t)Y\'{t)dt\.

(4.10)

Принимая во внимание определение М0 (^о,

tf),

можно

это

выражение записать в виде

x(tf)-x(t0)=M0(tQ,tf)l

(4.11)

Если матрица Мо (^0 , tf)

неособая, то вектор

& = М-Ч*о,'/)[х(*,)-х(*о)]

(4.12)

существует

и,

следовательно,

существует

вход

u(t)

=Н'(t)l,

переводящий

систему из

состояния

х(/0 )

в

состояние

х(^)

на

интервале [t0, tf].

доказывается

от

противного.

Предположим,

Необходимость

что

матрица

М0 (^о,

tf)

особая,

а

система

управляема.

Если

М0 (^о, tf)

особая, то существует

такой

постоянный

ненулевой

n-вектор с, что с'М0 (^о, tf)=0.

Тогда, умножая

выражение

(4.7)

слева и справа

соответственно

на

с' и на

с,

получим

t

t

^fc'H(t)H'(t)cdt

=

^X2(t)dt

=

Q,

(4.13)

to

to

где

и-вектор

X(t) =[A,i(t),

K2(t),...,

Kn(t)Y

определяется

соотно­

шением

[c'H (OP ^

X« (t) =

X' (t)l

(t) s

l\(t)+11

(t) +

...+

X2(t)

>

0.

(4.14)

Отсюда следует, что если матрица

M0(t0,

tf)

особая, то сущест­

вует такой ненулевой вектор с, что

с'Н(*) =

0 t$[t2,tf}.

(4Л5)

Поскольку,

однако,

система

управляема,

существует

вход

u(t),

при

котором

х (tf)

-

х (/„)=

f

Н (t) u (t) dt.

(4.16)

to

Выберем

x(tf)=c

и

x(^>)=0

и

умножим

слева

уравнение

(4. 16) на с'. Тогда

t

с'с=У

c'H(t)u(t)dt.

(4.17)

h

ет уравнение (4. 15). Следовательно,

с'с =

с2 = 0,

(4.18)

откуда

вытекает, что с = х ( ^ ) = 0

при любом входе u(t).

Из

урав­

нения

(4. 17) можно также видеть, что если условие

с'Н(/)=^0

не имеет места в некотором конечном подынтервале [tu

t2]

интер­

вала [t0, tf], а имеет место в каких-либо точках интервала

[t0, tf],

нечном

входе и(/), т. е. при

входе в виде импульсных функций.

Таким

образом, ненулевой

вектор с

такой, что с/ М0 (^о, tf)

=0,

не может существовать, если система

управляема. Следователь­

но, матрица М0(^о, tf) не может быть особой.

пол­

Следствие 4. 1. Система, описываемая уравнением (4. 6),

интервале [to,

tf],

если

в некотором

конечном

подынтервале

[tu

t2] интервала [t0, tf] строки матрицы

H(t) суть линейно неза­

висимые функции

t).

Теорема 4. 2. Система

x(t) =

A(t)x(t)

+ B(t)u(t),

(4.19)

где

ф(/о» t)B(t)

принадлежит

L2[t0,

tf],

полностью

управляема

по состоянию на [t0, tf] тогда

и только тогда, когда п'Хл матрица

'/

M ( / o , 0 ) = f

<?(t0,t)B(t)W{t)<?'{t0,t)clt

(4.20)

z(/) =

H(/)u(0,

(4.21)

где

Н ( 0 = « Р ( / 0 , 0 В ( 0 .

(4-22)

Поскольку x(t) и z(t)

связаны неособым преобразованием

(4.3), управляемость по z(t)

означает и управляемость

по x(t).

Следовательно, достаточно

показать, что неособенность

матрицы

нием

(4.7) матрица M 0 {fa t) неособая. Подставляя уравнения

(4.22)

в уравнение (4. 7), получим

Мп (/0 ,

t) В W В' (Л ?' (*0, Л dt.

(4. 23)

'о

Таким

образом,

эквивалентное

преобразование

(4.3)

обес­

печивает

равенство

М(/ 0 , tf)—N\.0(t0,

tf).

Это показывает,

что

управляемость по z(t) имеет место

тогда

и только

тогда,

когда

матрица М(/0 , tf) неособая.

(4. 19), пол­

Следствие 4.2. Система, описываемая уравнением

ностью управляема на [t0, tf], если строки матрицы

<p(/o, t)

В (г)

(или, что эквивалентно, строка матрицы W-i(t)B(t),

где W(*f) —

функции t на некотором конечном подынтервале

[ti, t2] интерва­

ла [Аь tf].

Теорема 4. 3. Система

x(t) = H(t)u(t),

(4.24)

y ( 0 = G ( 0 x ( / )

полностью управляема

по

выходу

на [to, tf] тогда

и только

тог­

да, когда гХг матрица

Ро (t0, tf) -

f

G (tf) H (t) H' (t) G' (tf)

dt

C4. 25)

неособая.

to

Доказательство. Достаточность.

Принимаем вход u(t) в виде

u(t)=H'(t)G'(tf)i„

(4.26)

где £0 — постоянный я-вектор. Рассуждения,

аналогичные

при­

матрица Ро(^о, h)

неособая, то вектор

So = P 0 - 1 ( / I o . O)[y^) - yCo)]

(4-27)

существует

и вход u(^) = Н'(t)Gr(tf)%g,

производит

изменение

выхода системы от значения y(t0)

к значению

y(tf)

на

интерва­

ле [t0, tf].

как и в случае теоремы 4. 1, доказывается

от

Необходимость,

противного. Если

матрица Ро(Аь tf) особая, то существует такой

ненулевой

вектор

с0 , что c0G (tf) Н (/) =0.

Если

вместе с

тем,

си­

стема управляема

и c0G(tf)Н(t)

=0, то с0

= 0,

что и

требовалось

доказать.

Следствие 4.3.

Система, описываемая

уравнениями

(4.24),

полностью управляема по выходу на [t0,

tf], если строки матри­

цы G(tf)H(t)

(или, что эквивалентно, строки

матрицы

H(t)

и

y{t)=C(t)x{t)

(4.28)

полностью управляема

по выходу

на [t0,

tf] тогда

и только тог­

да, когда гХг

матрица

P(t0,tf)=jfQ(tfJW(tf,t)dt

(4.29)

неособая.

to

z(t) =

Доказательство. Применяя неособое

преобразование

= ф(/0 , t)x(t),

получим,

как видно

из уравнения

(4. 1)-4-(4. 5),

уравнения

^ ( Л = Н ( Л и ( Л ,

(4.30)

y(/)=G(/)z(/),

где

Н(0 =

В (г)

(4.31)

и

G (/) = С (Лср (/,/„)•

(4-32)

Эти уравнения имеют ту же структуру, что и уравнения

(4.24).

с.(

/ / ) t)=C

(tf) ф (ff, Л В (Л

(4.33)

доказывают теорему 4. 4.

Следствие 4.4. Система, описываемая уравнениями

(4.28),

полностью управляема по выходу на [t0, tf],

если строки матри­

цы il(tf,

t) [или,

что

эквивалентно,

строки

матрицы

1У_ 1 (^)В(Л

и столбцы

матрицы C(^) W ( ^ ) ,

где W(^) —фунда­

ции t на

некотором конечном

подынтервале

[tu t2] интерва­

ла [t0, tf].

4. 1. 3. Матрицы управляемости. Теоремы 4. 2 и 4. 3 дают необ­

ходимые

и достаточные условия

управляемости

линейной неста­

статок при

использовании этих теорем заключается в том, что

переходная

матрица q>(t, t0) системы должна быть известна.

переходная

матрица неизвестна

и не может быть легко найдена.

К счастью,

для большинства линейных нестационарных систем

можно вывести алгебраические

критерии управляемости, приме-