ЭМ волны в материальных средах

2.3.2. Анализ проекций уравнений Максвелла на поперечное и продольное направления

Анализ уравнений (2.19)-(2.24) позволяет сделать такие физические выводы. Век-

тор H всегда перпендикулярен вектору k : H = H , поскольку из уравнения (2.22) вид-

но, что H ≡ 0 . В соответствии с тем, что H ≡ 0 , уравнение (2.20) принимает вид

откуда видно, что векторы k , E и H образуют правую тройку взаимно ортогональ-

ных векторов.

Уравнение (2.24а) представляет собой особый интерес. Выясним на конкретном примере, что следует понимать под j st и E , и как абсолютное значение этих векторов зависит от направления в пространстве. Направление в пространстве задается направлени-

ем вектора k , которое первоначально удобно отсчитывать от направления тока, возбуж-

дающего поле. Если речь идет о j st , надо понимать, что k j st , значит, электромагнит-

ные процессы рассматриваются в направлении, являющемся продолжением направления прямолинейного тока. В случае, когда говорят о j st , это значит, что интересующее на-

правление перпендикулярно направлению тока, и там вектор k перпендикулярен вектору тока: k j st . Направление векторов поля E , H , E , H в любом случае рассматри-

вается по отношению к вектору k .

Для простоты рассмотрим поле электрического диполя Герца. В направлении, сов-

падающем с направлением оси диполя, j st принимает максимальное значение, а j st = 0 .

Из (2.24а) следует, что и E в этом направлении максимально, а E = 0 . В направлении,

перпендикулярном оси тока, проекция тока j st отсутствует ( j st =0). Из того же равенства

(2.24а) следует, что здесь и E = 0 . Отлично от нуля только E . Пусть отсчет угла ϑ сферической системы координат начинается от направления линейного тока. Тогда с уве-

личением угла ϑ от нуля до π2 величина проекции E изменяется от максимального

значения до нуля, а проекция E , напротив, увеличивается от нуля до максимального значения. Это полностью коррелирует с представлением о диаграмме направленности электрического диполя Герца. В дальней зоне рассматривается только поле

ку с увеличением расстояния от точки наблюдения до источника поле E убывает гораздо быстрее, чем E .

23

Особый интерес представляет собой случай отсутствия сторонних источников. При отсутствии сторонних токов и зарядов имеет место равенство

В плазме, где под действием поля E происходит направленное движение электро-

нов, возможна ситуация, когда ε = 0 . Тогда E может быть отличным от нуля. Это так

называемые электростатические волны, в процессе распространения которых наблюдают-

ся не поперечные, а продольные колебания вектора электрического поля E .

2.3.3. Выражение векторных спектральных функций E (ω,k ) и H (ω,k ) через спектральную функцию j st (ω,k )

Напомним, что здесь везде идет речь о векторных спектральных функциях. Из совместного рассмотрения уравнений (2.23) и (2.25) можно выразить спектральные функции

Скалярное произведение в левой части равенства обращается в ноль. Из (2.27) получаем вектор E (ω,k ) в следующем виде:

Пользуясь соотношением (2.25), получим также и выражение для H (ω,k ):

24

Полученные выражения (2.28) и (2.29) представляют собой спектральные функции разло-

жения в интеграл Фурье векторных функций E (r,t ) и H (r ,t ). Этот интеграл для од-

ной из них (например, E (r,t )) с учетом (2.6), (2.14) и (2.28) принимает следующий вид:

Подчеркнем, что в подынтегральном выражении переменные интегрирования ω и k являются независимыми. Чтобы получить E (r,t ) в замкнутой аналитической форме,

выражение (2.30) необходимо дважды проинтегрировать – сначала по переменной ω, а

потом по k или наоборот. Проведем первое интегрирование по параметру ω.

2.4. Первое интегрирование в процессе определения векторных функций E (r,t ) и

H (r ,t )

Запишем внутренний интеграл J в таком виде

Интегрирование по действительной оси в (2.31) можно заменить интегрированием в комплексной плоскости ω. Подынтегральное выражение удовлетворяет условиям лем-

мы Жордана, которая при условии t > 0 позволяет замкнуть контур интегрирования по действительной оси дугой бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. При этом контур интегрирования становится замкнутым. Известно, что интеграл по замкнутому контуру в комплексной плоскости равен сумме вычетов подынтегральной функции.

В рассматриваемом случае подынтегральная функция имеет два простых полюса в

Выясним, куда попадут эти полюсы при наличии потерь в диэлектрике. Ранее было показано, что комплексная диэлектрическая проницаемость имеет вид ε =ε′+iε′′, где

25

Таким образом, внутрь контура интегрирования попадает только один полюс ω01 . При отсутствии потерь этот полюс лежит на действительной оси, и его обходят снизу. В результате интегрирования с помощью теории вычетов получаем:

Далее мы везде будем подразумевать, что ω =ω(k ), и писать просто ω. Подстав-

ляя (2.33) в (2.30), получаем после первого интегрирования следующее выражение для

E (r,t ):

Аналогичным образом находим H (r,t ):

где ε (ω)μ(ω) – показатель преломления.

26

Выражение (2.36) представляет собой дисперсионное уравнение среды. Если ε и μ не зависят от частоты, имеет место линейная дисперсия. При этом фазовая скорость

меньше фазовой скорости света в вакууме и не зависит от частоты.

Таким образом, в процессе первого интегрирования получено дисперсионное уравнение среды. Для выполнения второго интегрирования необходимо конкретизировать спектральную функцию в выражениях (2.34) и (2.35).

2.5. Второе интегрирование при определении векторных функций E (r,t ) и

H (r ,t ). Процесс интегрирования и анализ результата

Для упрощения дальнейших математических выкладок выберем декартову систему координат, ось x которой совпадает с направлением вектора k . При этом проекции век-

тора k на оси y и z равны нулю ( ky = 0, kz = 0 ), а kx = k . Тогда выражение (2.34) су-

щественно упрощается:

Введем обозначение A(k )= −4π2 j st (ω, k )ε (ω). При этом равенство (2.38)

принимает вид

Рис.2.1. Волновой пакет

27

мени первого слагаемого в (2.45). Для этого продифференцируем равенство (2.45) по вре-

мени t . При этом с учетом (2.36) получаем фазовую скорость dxdt в таком виде:

Закон модуляции амплитуды (пространственно-временная форма огибающей волны) определяется множителем

Постоянное значение амплитуды огибающей обеспечивается постоянством аргумента функции (2.47). Это значит, что должно выполняться равенство

Повторяя рассуждения, проведенные при получении фазовой скорости, приходим к выводу о том, что постоянное значение амплитуды огибающей сигнала перемещается в пространстве со скоростью

названной групповой скоростью. С этой скоростью перемещается фиксированное значение амплитуды огибающей сигнала, связанной с его энергией квадратичным соотношением.

2.6. Соотношение неопределенности

Проанализируем функцию (2.47). Из ее вида (рис.2.2) следует, что основная энергия сигнала заключена между двумя нулями по обе стороны от максимума, когда аргумент η принимает значения ±π , иными словами, когда выполняется соотношение

29

Величина η может изменяться за счет изменения времени t или координаты x . Зафикси-

руем координату x . В выбранной точке пространства в соответствии с (2.50) должно вы-

Это значит, что чем уже спектр сигнала, тем большее время требуется для его наблюде-

ния. Монохроматический сигнал, когда ω = 0 , не несет информации, так как для ее извлечения потребовался бы бесконечно большой промежуток времени, чтобы принять сигнал с нулевой скоростью перемещения энергии и, следовательно, информации.

Зафиксируем теперь момент времени. Изменение η при этом происходит за счет

В этом случае видим, что сигнал не может занимать бесконечно малый отрезок пространства. Чем уже полоса сигнала, тем на большем участке пространства его следует анализировать в заданный момент времени, чтобы извлечь необходимую информацию.

30

3.ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

3.1.Общие положения

Анизотропной называется среда, диэлектрическая проницаемость которой пред-

Всегда можно выбрать систему координат, в которой этот тензор приобретает диагональ-

Рассмотрим закономерности распространения однородной плоской волны в такой среде. Вектор электрического поля плоской волны представим в виде:

ление переноса энергии совпадает с направлением луча. Показатель преломления не зависит от направления и, как следует из дисперсионного уравнения изотропной среды (2.36),

что собой представляет показатель преломления n в анизотропной среде. Но сначала про-

31