ЭМ волны в материальных средах

Продифференцируем уравнение (1.25) по времени t и перепишем результат с учетом

(1.26):

div ∂D = 4π ∂ρst = −4π div j st ,

∂t ∂t

откуда получаем

Из равенства нулю дивергенции следует, что в круглых скобках стоит произвольный вихревой вектор. Мы можем выбрать его, как нам удобно. Полагаем

14

В вакууме, где ε =1, μ =1 это уравнение принимает вид

H − 1 ∂2 H = 0 , c2 ∂t2

где c имеет смысл скорости света. Сравнивая это уравнение с предыдущим, приходим к

Из уравнения (1.1) вычтем уравнение (1.27):

rot (B − H )= −1c ∂∂t (D − E)+ 4cπ ρv ,

откуда следует с учетом полученных ранее соотношений (1.12) и (1.23), что

Отсюда следует:

ρυ = ∂∂t (χe E)+ cχμm rotB .

В соответствии с (1.8), χeE = P ; где вектор P , параллельный вектору E , назван вектором поляризации. Окончательно получаем

15

Оно называется током поляризации. Заметим, что вихревая часть тока (второе слагаемое в правой части) тождественно совпадает с результатом, полученным для статического случая.

Таким образом, проведенное исследование позволило получить усредненное зна-

чение тока ρυ в виде двух слагаемых: тока поляризации

и вихревого тока

К этим двум наведенным токам следует добавить так называемый ток потерь, временно исключенный при нахождении токов (1.31) и (1.32).

Соотношение (1.34) получило название обобщенного дифференциального закона Ома.

1.3.Разные формы записи уравнений Максвелла

Втеории электромагнитного поля можно привести примеры таких типичных задач, важных с практической точки зрения.

1.В вакууме имеются сторонние источники электромагнитного поля в виде элек-

трических или магнитных токов, распределенных с заданной плотностью j e st или j m st . Необходимо найти поле этих источников.

2. В неограниченной материальной среде с макроскопическими параметрами ε , μ ,σ , зависящими от координат пространства (ε =ε (r ), μ = μ(r ), σ =σ (r )), рас-

пространяется электромагнитная волна, порожденная сторонними источниками, удаленными на бесконечность. Необходимо найти закономерности распространения этой волны в обозримой области пространства.

16

3. В безграничной области в вакууме имеется неоднородность, представляющая собой диэлектрическое или магнитодиэлектрическое тело, занимающее ограниченный объем V . На него падает электромагнитная волна. Необходимо найти поле, рассеянное этой неоднородностью.

Для решения первой задачи мы записываем неоднородные уравнения Максвелла в вакууме при наличии сторонних токов и зарядов:

Вуравнениях (1.1б)-(1.4б) фигурируют векторы поля E и H . Параметры ε , μ ,σ отсутствуют, вернее, полагаются такими: ε =1, μ =1, σ = 0 .

Впроцессе решения второй задачи удобно иметь дело с уравнениями Максвелла,

вкоторых материальные параметры ε (r ), μ(r ), σ (r ) фигурируют в явном виде. Для

этого выполним следующие преобразования. Запишем усредненные уравнения Максвелла (1.1)-(1.4) с учетом полученных выше выражений для усредненного наведенного тока (1.34). Уравнение (1.1) с учетом всех наведенных токов принимает вид

Объединим первое слагаемое в правой части с первым слагаемым в скобках, а второе слагаемое в скобках перенесем в левую часть уравнения. При этом получаем

Учитывая введенные ранее обозначения (1.11), (1.12), (1.22) и (1.23), перепишем первые два уравнения Максвелла в виде

17

Запишем эти уравнения для комплексных амплитуд, когда зависимость от времени описывается функцией exp{iωt} . Уравнение (1.36) принимает вид:

Его можно свести к более компактной форме путем введения комплексной диэлектрической проницаемости, учитывающей потери в среде:

ε =ε′+iε′′,

При отсутствии потерь в среде ε =ε (r ). Решение задач распространения элек-

тромагнитных волн в неоднородных средах, как правило, начинают именно с этого случая. Исходными являются уравнения (1.39), (1.40) при условии, что ε =ε (r ).

Решение третьей задачи начинается с того, что мы ищем в вакууме поле, рассеянное неоднородностью, занимающую объем V . Это поле порождается наведенными токами, возникающими в магнитодиэлектрическом теле под действием электромагнитного поля падающей на него волны. Для простоты полагаем, что потери в объеме V отсутст-

вуют (σ = 0 ). Первое из усредненных уравнений Максвелла для векторов полей E и B в

Здесь в правой части уравнения фигурируют два электрических тока: ток электрической поляризации jpole = ∂∂Pt = χe ∂∂Et и вихревой ток магнитного происхождения

18

2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ ПРИ

НАЛИЧИИ СТОРОННИХ ТОКОВ И ЗАРЯДОВ

2.1.Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд

Вуравнении Максвелла (1.39), (1.40) сторонние токи и заряды ( j st , ρst ) отсутствуют.

Если они отличны от нуля, уравнения Максвелла в однородной магнитодиэлектрической среде принимают вид:

странственных координат r . Уравнения (2.1)-(2.5) можно упростить, сводя их к уравнениям относительно компонент Фурье. Временную зависимость для векторных и скалярных функций, присутствующих в уравнениях (2.1)-(2.5), представим в виде интегралов Фурье:

−∞

20

Используем представления (2.6)-(2.9) в уравнениях (2.1)-(2.4). Легко показать, что уравне-

ния относительно E (r ,ω), H (r,ω) принимают известную форму, тождественно сов-

падающую с уравнениями Максвелла, записанными с использованием метода комплексных амплитуд:

2.2. Уравнения Максвелла в алгебраической форме

Комплексные амплитуды E (r ,ω), H (r ,ω) и др., в свою очередь, можно разложить в интеграл Фурье по плоским волнам:

rot (E (ω, k )e−ikr )= e−ikr , E (ω, k ) = −i k , E (ω, k ) e−ikr ; div(D(ω, k )e−ikr )= ( e−ikr , D(ω, k ))= −i(k , D(ω,k ))e−ikr ,

где D(r,ω)=εE (r,ω),

получаем уравнения Максвелла в алгебраической форме [1]:

21